三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)“一題多問(wèn)”復(fù)習(xí)方法淺談

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校(510095)閆煥民

三角函數(shù)不僅是高考數(shù)學(xué)六大板塊之一,而且也是學(xué)生的重要得分點(diǎn).三角函數(shù)圖象與性質(zhì)位于新課標(biāo)教材(人民教育出版社,2019年版)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章,是三角函數(shù)的核心內(nèi)容,但是高一大部分學(xué)生對(duì)這章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)存在“夾生飯”現(xiàn)象,這也為高三的復(fù)習(xí)添加了障礙.那么,如何幫助高一學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)呢? 基于此,筆者試圖結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),運(yùn)用“一題多問(wèn)”的復(fù)習(xí)方法獲得了較好的效果.

一、在本章節(jié)授課時(shí)教師常忽略的問(wèn)題

(一)忽略學(xué)生的主體地位

課堂上,教師不僅要提出問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考,又要留足學(xué)生思考的空間,給足學(xué)生展現(xiàn)自我的機(jī)會(huì).高一數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間緊,內(nèi)容多,這就導(dǎo)致部分教師為了完成教學(xué)任務(wù)從課堂的第一分鐘講到最后一分鐘,無(wú)形中壓制并扼殺了學(xué)生的主動(dòng)性.

一次公開(kāi)課,某老師問(wèn): 如何求函數(shù)f(x)=2x)的單調(diào)增區(qū)間? 還沒(méi)等學(xué)生思考,老師自問(wèn)自答: ”利用誘導(dǎo)公式知:f(x)=即x的系數(shù)ω負(fù)轉(zhuǎn)正……”學(xué)生不求甚解,只是機(jī)械性的記住了解法,其實(shí)并不理解為什么要負(fù)轉(zhuǎn)正……導(dǎo)致做題時(shí)生搬硬套.教師對(duì)于自己拋給學(xué)生的問(wèn)題,要給足學(xué)生思考時(shí)間,與其告訴學(xué)生怎么做,不如讓學(xué)生去犯錯(cuò),讓學(xué)生在糾錯(cuò)中獲取知識(shí)的根基.

(二)過(guò)于依賴(lài)多媒體技術(shù)

在高一階段的教學(xué)中,仍然有教師過(guò)于依賴(lài)多媒體技術(shù),快速的演示和講解,沒(méi)能有效組織學(xué)生研討三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),如: 復(fù)習(xí)正余弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí),大部分教師通過(guò)課件展示正余弦函數(shù)的圖象,進(jìn)而復(fù)習(xí)性質(zhì),其實(shí)忽略了學(xué)生的遺忘率,忽略了學(xué)生的動(dòng)手繪圖能力,忽略了課堂上學(xué)生需要時(shí)間消化知識(shí)的能力,更重要的是: 忽略了知識(shí)的輸出過(guò)程,導(dǎo)致部分學(xué)生只知三角函數(shù)的五性,但對(duì)于“五性具體是怎么推導(dǎo)和歸納出來(lái)的,怎樣與三角函數(shù)的定義結(jié)合去理解三角函數(shù)的五性”等這些問(wèn)題,學(xué)生卻知之甚少.高一大部分學(xué)生未能真正的理解三角函數(shù)的性質(zhì),一個(gè)源于函數(shù)的性質(zhì)未學(xué)好,一個(gè)源于未能真正的掌握三角函數(shù)的圖象,最終導(dǎo)致不能很好的運(yùn)用性質(zhì)去解題.

(三)忽略學(xué)生圖感能力的培養(yǎng)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高頻考點(diǎn),解相關(guān)題目時(shí)往往用到數(shù)形結(jié)合的思想,由于在課堂教學(xué)中,很多教師采用了課件展示三角函數(shù)的圖象,由動(dòng)態(tài)的圖效展示三角函數(shù)的變化,引導(dǎo)學(xué)生利用課件中的圖象解決問(wèn)題,從而忽略了學(xué)生動(dòng)手繪圖能力的培養(yǎng),導(dǎo)致學(xué)生不能很好的用數(shù)形結(jié)合的思想去解題.由于圖感不強(qiáng),所以學(xué)生在求解三角函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)中心,解三角不等式等問(wèn)題時(shí),經(jīng)常忽略三角函數(shù)的周期性.

(四)忽略數(shù)學(xué)思想的滲透

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)涉及到的數(shù)學(xué)思想有: 函數(shù)與方程,換元,轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等.

平時(shí)的教學(xué)中教師不可忽略這些數(shù)學(xué)思想的滲透,避免學(xué)生盲目套用解題方法,而不知道數(shù)學(xué)的真正本源,如: 求函數(shù)在區(qū)間上的值域;

換元格式: 令2x-=t,因?yàn)榧此浴躶int≤1,所以所以f(x)=的值域?yàn)?/p>

教師應(yīng)重視高一學(xué)情,其實(shí)高一學(xué)生會(huì)混淆坐標(biāo)軸中的橫軸究竟是指本題中的x還是2x-如果教師能夠用換元思想來(lái)解決本題,學(xué)生會(huì)豁然開(kāi)朗.

(五)忽略學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

教師不要覺(jué)得自己的學(xué)生能力一般,講難度偏上的題目浪費(fèi)時(shí)間,其實(shí)班級(jí)總有數(shù)學(xué)思維好的同學(xué),需要知識(shí)的拓展及提升.若對(duì)知識(shí)的傳授偏于簡(jiǎn)單化有礙于學(xué)生思維的提升.部分學(xué)生在結(jié)束三角函數(shù)圖象與性質(zhì)章節(jié)后,大多能在教師的引導(dǎo)下作出三角函數(shù)的圖象,并能利用圖象與性質(zhì)解決一些基礎(chǔ)問(wèn)題,但是在遇到復(fù)雜的問(wèn)題,如對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性及周期性的綜合應(yīng)用時(shí),往往不能很好的運(yùn)用知識(shí)連貫的思考問(wèn)題,有時(shí)處于游離狀態(tài),甚至部分學(xué)生高三畢業(yè),都未能完全理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),如:

例1( 2016年高考新課標(biāo)I 卷第12 題(選擇壓軸題))已知函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)(ω ＞0,|φ| ＜為f(x)的零點(diǎn),x=為f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸,且f(x)在上單調(diào),則ω的最大值為( )

A.11 B.9 C.7 D.5

本題主要考查含參數(shù)三角函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題.對(duì)于單獨(dú)考察三角函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)性等問(wèn)題,學(xué)生很容易解答.但對(duì)于綜合性的題目如上題,學(xué)生不知如何入手,尤其對(duì)于“已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間的某一部分,確定參數(shù)ω的范圍”這一類(lèi)問(wèn)題,學(xué)生往往找不準(zhǔn)突破口.這就需要教師找個(gè)基礎(chǔ)題為此題做鋪墊,問(wèn)題的層層遞進(jìn),有助于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ),拓展思維.

在高一復(fù)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)時(shí),還有一些其它原因?qū)е赂咭粚W(xué)生不能有效且快速的掌握和運(yùn)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),如何尋求一種比較好的復(fù)習(xí)方法幫助學(xué)生理解和掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),顯得尤為重要.

首先,課堂上教師要注重知識(shí)的輸出過(guò)程;其次,課堂上教師要善于把多媒體技術(shù)與學(xué)生動(dòng)手操作相結(jié)合;再次,課堂上教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的圖感能力及數(shù)學(xué)思想的滲透;最后,課堂上要善于拓展學(xué)生的思維.比如對(duì)2016年高考新課標(biāo)I 卷選擇壓軸題第12 題,當(dāng)教師借助此題給高一學(xué)生拓展時(shí),不妨找個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)的題目為此題做鋪墊,如: 已知ω ＞0,函數(shù)f(x)=上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是____.這樣一步步引導(dǎo)學(xué)生走向思維深處.

二、高一年級(jí)“一題多問(wèn)”的復(fù)習(xí)策略

筆者根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)情的分析,認(rèn)為采用“一題多問(wèn)”的復(fù)習(xí)方法較適合高一新生,具體做法如下:

(一)一題多問(wèn)編題策略

1.尋找合適的起始條件,便于學(xué)生理解和記憶

在編輯“一題多問(wèn)”復(fù)習(xí)題時(shí),要尋求合適的起始條件,如果條件過(guò)于狹窄,那么編輯題目的前幾問(wèn)后,就會(huì)出現(xiàn)斷層,無(wú)法進(jìn)一步的編輯多問(wèn),一般情況下,建議從三角函數(shù)的定義,如已知終邊一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)作為起點(diǎn),然后由定義解讀它的正弦、余弦等,簡(jiǎn)單易懂,也能帶動(dòng)學(xué)生從頭復(fù)習(xí)三角函數(shù),進(jìn)而全面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2.由淺入深,逐步編輯問(wèn)題,帶動(dòng)學(xué)生思維螺旋上升

在編輯“一題多問(wèn)”復(fù)習(xí)題時(shí),要充分了解學(xué)生的學(xué)情,問(wèn)題編排由淺入深,層層遞進(jìn),每一個(gè)問(wèn)題都能涵蓋相關(guān)的知識(shí)點(diǎn),以問(wèn)題帶動(dòng)學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生二次學(xué)習(xí)教材,進(jìn)一步理解知識(shí)的前后聯(lián)系,達(dá)到學(xué)中有問(wèn),問(wèn)中有學(xué),逐步使學(xué)生思維螺旋上升.

3.理清本章知識(shí)結(jié)構(gòu),全面掌握?qǐng)D象與性質(zhì)的應(yīng)用

在編輯“一題多問(wèn)”復(fù)習(xí)題時(shí),教師要能有效把握本章的知識(shí)結(jié)構(gòu),從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā),編排問(wèn)題應(yīng)以教材為核心和從高考考綱出發(fā),問(wèn)題既能代表高考的方向,又能促進(jìn)學(xué)生理解教材的概念,不斷推動(dòng)學(xué)生的思維發(fā)展.

4.復(fù)習(xí)實(shí)例展示

結(jié)合我校學(xué)情,筆者編輯了一道“一題多問(wèn)”題,在高一有針對(duì)性的進(jìn)行了復(fù)習(xí),以供同仁們參考和借鑒.

已知函數(shù)f(x)=

(1)分別寫(xiě)出該函數(shù)的振幅、周期、相位和初相;

(2)求函數(shù)f(x)=的對(duì)稱(chēng)中心;

(3)求函數(shù)f(x)=的對(duì)稱(chēng)軸;

(4)求函數(shù)f(x)=的零點(diǎn);

(5)求函數(shù)f(x)=的最值,并指出取得最值時(shí)x 的取值集合;

(6)求函數(shù)f(x)=在區(qū)間上的值域;

(7)求函數(shù)f(x)=的單調(diào)減區(qū)間;

(8)求函數(shù)f(x)=在[-π,π]的單調(diào)增區(qū)間;

(9)求函數(shù)g(x)=的單調(diào)增區(qū)間;

(10)函數(shù)f(x)=是由y=sinx通過(guò)怎樣的變換得到的;

(11)求不等式f(x)=的解集;

(12)當(dāng)α=時(shí),比較f(α)與f(β)的大小;

(13)若將f(x)的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的t倍(t ＞0)后在區(qū)間上遞增,求t的最小值;

(14)若對(duì)任意的x ∈都有f(x)≥m2-2m成立,求m的取值范圍;

(15)若對(duì)任意的x ∈R,存在x1,x2使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,求|x1-x2|的最小值;

(16)若方程f(x)-a=0 在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍并求此時(shí)兩根之和;

設(shè)計(jì)意圖 ①此一題多問(wèn),主要考察了三角函數(shù)振幅、周期、相位和初相的概念,對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心的求法,函數(shù)零點(diǎn)的求法,函數(shù)最值的求法,實(shí)數(shù)集及給定區(qū)間上單調(diào)區(qū)間的求法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,三角變換,三角不等式的解法,利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍及最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題,已知方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍及各個(gè)根的和.隨著高一學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備的增加,還可以繼續(xù)編輯下去……; ②注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透; ③入口較易,逐題遞進(jìn),激起全體同學(xué)的興趣及求知欲; ④“以題帶面”有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的聯(lián)系,形成章節(jié)知識(shí)框架.

(二)一題多問(wèn)復(fù)習(xí)策略的優(yōu)勢(shì)

1.全體學(xué)生均衡發(fā)展 題目設(shè)問(wèn)入口較易,層層遞進(jìn).由于學(xué)生知識(shí)水平參差不齊,故課堂上老師特別注重提問(wèn)不同層次的學(xué)生,有效的開(kāi)發(fā)各層次學(xué)生的智能,力求使全體學(xué)生能在原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展.

如第(1)-(7)問(wèn)可以提問(wèn)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生回答,第(8)-(16)問(wèn)可以提問(wèn)優(yōu)等生,這樣既給了基礎(chǔ)差的學(xué)生表現(xiàn)的機(jī)會(huì),培養(yǎng)了其自信心,同時(shí)又拓展了全體同學(xué)的數(shù)學(xué)思維,尤其顧及到了優(yōu)等生.

2.優(yōu)化課堂教學(xué)時(shí)間 初高中數(shù)學(xué)銜接難度跨度較大,再加上高一課時(shí)緊,任務(wù)重,故復(fù)習(xí)時(shí)間少之又少.課堂上采用“一題多問(wèn)”復(fù)習(xí)方法,縮短了學(xué)生重新審新題的時(shí)間,教師可以與學(xué)生一起復(fù)習(xí)更多的知識(shí)點(diǎn),快速構(gòu)建三角函數(shù)圖象與性質(zhì)本章節(jié)知識(shí)框架.

3.循序漸進(jìn),步步誘導(dǎo) 一題多問(wèn)題目的設(shè)置遵從“由易到難”、“由簡(jiǎn)到繁”,課堂上從基礎(chǔ)引入,步步誘導(dǎo),使學(xué)生越學(xué)越感興趣.幫助學(xué)生從這一類(lèi)題中總結(jié)方法,發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律及技巧.

4.抓住知識(shí)主線,融會(huì)貫通 一題多問(wèn)可以促使學(xué)生用一條主線貫穿整個(gè)章節(jié)內(nèi)容,便于構(gòu)建知識(shí)框架,如筆者上面展示的一題多問(wèn)例題,以一個(gè)三角函數(shù)為主線,把三角函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)、不等式、方程等問(wèn)題貫通起來(lái),可以幫助學(xué)生很好的復(fù)習(xí)要點(diǎn).

綜上所述,針對(duì)高一的學(xué)情,高一的三角函數(shù)教學(xué)任重道遠(yuǎn),如何有效促進(jìn)學(xué)生更快的理解、記憶和運(yùn)用知識(shí),是一個(gè)很值得探討的問(wèn)題.我將不斷的積累和完善,進(jìn)一步的探索解決之道,為高中的數(shù)學(xué)教學(xué)工作貢獻(xiàn)自己的力量.