“小時(shí)不識(shí)月，呼作白玉盤”

胡勝偉

[摘要]時(shí)而除法，時(shí)而變身小數(shù)（整數(shù)），時(shí)而化為比，分?jǐn)?shù)不僅有自己的屬性特征（分?jǐn)?shù)屬性），還有其它的不同屬性，“三頭六臂”，變幻莫測(cè)。一些孩子認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)往往記其形、忽其意，只看表象而不知內(nèi)在的具體原因，于是碰到分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算時(shí)極易出錯(cuò)。學(xué)生需要對(duì)分?jǐn)?shù)有全面整體的認(rèn)識(shí)和理解，并能在各種多變的情境中對(duì)分?jǐn)?shù)本身加以分析和判斷，做出相應(yīng)的理解，從而正確地解決問題。

對(duì)分?jǐn)?shù)的理解、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用是小學(xué)高段學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。我在多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，不少孩子小學(xué)畢業(yè)了，對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、運(yùn)用還存在很多模糊認(rèn)識(shí)，還有不少的問題出現(xiàn)。這也是很多數(shù)學(xué)老師在有關(guān)分?jǐn)?shù)的教學(xué)上很頭痛的一件事。在此，筆者對(duì)分?jǐn)?shù)的整體認(rèn)識(shí)和理解，做了一個(gè)小分析和梳理。

一、“得形忘義，忽略本質(zhì)”

把整體“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份，我們把這樣的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這是分?jǐn)?shù)的基本概念。如：把一個(gè)蘋果平均分成2份，其中的一份就是 。這是不同版本的教材對(duì)分?jǐn)?shù)最基本的闡述，也是孩子們理解分?jǐn)?shù)的一個(gè)最基本的描述。此后，孩子們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解逐步加深。如分?jǐn)?shù)的大小比較，可以通過比較的法則來進(jìn)行：同分母的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)較大;異分母的分?jǐn)?shù)比較先通分后再比較。后面的分?jǐn)?shù)加減法，也基本上是遵循基本的法則計(jì)算。但隨著乘除法的出現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的理解不再那么好厘清，讓學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解有些莫測(cè)起來。

分?jǐn)?shù)的“再認(rèn)識(shí)”一課，讓分?jǐn)?shù)有了更豐富的表達(dá)。孩子們一定會(huì)判斷 和 的大小，但是在具體的情景里，它們的大小關(guān)系是可以改變的。不少學(xué)生學(xué)完分?jǐn)?shù)后，就熟其形、忘其義了。一本80頁(yè)的書的 和一本120頁(yè)的書的 表示的頁(yè)數(shù)是一樣多的;這時(shí)的大小不在分?jǐn)?shù)本身，而在于它背后的那個(gè)整體“1”的大小。這里的 和 實(shí)際上表示的是數(shù)量所占的份數(shù)，而非直接表示大小或多少的具體數(shù)量。

一直以來，在分?jǐn)?shù)的一些學(xué)習(xí)中，并未過多的考慮它對(duì)應(yīng)的整體“1”，總是把分?jǐn)?shù)當(dāng)成和整數(shù)一樣的具體數(shù)量來理解，在單純的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算時(shí)沒有去關(guān)注分?jǐn)?shù)的具體意義，這樣久之對(duì)其本質(zhì)的屬性難免忽略、淡化。因?yàn)閷?duì)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)“得形忘義”，導(dǎo)致一些學(xué)生把分?jǐn)?shù)常?？闯梢粋€(gè)和整數(shù)一樣的數(shù)來看待了，這種疏忽在一些分?jǐn)?shù)問題解決過程中體現(xiàn)得最為直接。

二、“望文生義，黑白不分”

在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘除法后，一些問題慢慢凸顯。如果把分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)當(dāng)成分?jǐn)?shù)外形學(xué)習(xí)，那么在乘除法的學(xué)習(xí)中分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)才真正從其本意開始了，也是學(xué)生真正深刻認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，意義的真正理解才開始，分?jǐn)?shù)的不同屬性才真正得以體現(xiàn)。我們來看：

1、 一堆煤3噸，平均分成5份，每份是幾分之幾？每份有幾噸？

2、 一根繩子長(zhǎng)4米，第一次減掉 ，第二次減掉 米，還剩幾米？

這是兩道非常典型的有關(guān)分?jǐn)?shù)問題的題型，很多孩子只要碰到基本都會(huì)出錯(cuò)。

如：第一題不少人填每份是 ，每份有 噸，或者都填 。在這道題的理解上，學(xué)生因?yàn)閷⒎謹(jǐn)?shù)的意義和除法兩個(gè)概念混淆而出錯(cuò)。第一問是要把3噸（整體一）看做單位“1”，平均分成5分，每份是 ，這是對(duì)分?jǐn)?shù)的最初的意義的理解。平均分是除法的基本運(yùn)算。在兩個(gè)看似一樣的的問題面前，部分學(xué)生對(duì)于表示分?jǐn)?shù)的意義和除法的意義容易混為一談。第一題中的第二問是除法的基本應(yīng)用，因?yàn)槠浣Y(jié)果是分?jǐn)?shù) ，這個(gè)分?jǐn)?shù)與其說是分?jǐn)?shù)，不如說是一個(gè)小數(shù)，表示每份的數(shù)量——0.6噸。孩子真正要明白，還得從分?jǐn)?shù)意義和除法運(yùn)算的本義加以分析和理解，真正理解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。一些所謂的解題技巧往往會(huì)僵化孩子的思維，缺乏思考和創(chuàng)新，對(duì)基礎(chǔ)教育是不利的。

第二題中的兩個(gè) ，也是有不同的意義的：第一次是4的 ，即1米;第二次的 米，就是一個(gè)具體的數(shù)量，即0.25米，這時(shí)它僅表示一個(gè)數(shù)量，其實(shí)和分?jǐn)?shù)的意義沒有直接的關(guān)系，可以說是一個(gè)“偽分?jǐn)?shù)”，僅有它的形而無它的實(shí)際意義，像前面說的長(zhǎng)期以來孩子一直記住了分?jǐn)?shù)的外形，疏忽了本義，沒有仔細(xì)審視兩個(gè) 表示的是什么，少了對(duì)分?jǐn)?shù)的深刻印象和理解。

題中的分?jǐn)?shù) ，一個(gè)是表示具體的數(shù)量，可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)，如減去一根繩子的 米;另一個(gè)表示一個(gè)整體的份數(shù)，不是直接的具體的數(shù)量，但是又能指向和它對(duì)等的數(shù)量，雖不能直接對(duì)等，卻可以表示相等。分?jǐn)?shù)的這兩種屬性需要區(qū)分開來，在具體的情境中要注意分析理解，不能一味地當(dāng)成一個(gè)數(shù)量來看待。通常而言，單純的分?jǐn)?shù)加減的四則計(jì)算并沒有太多的考慮其意義，就是基本的技能計(jì)算訓(xùn)練。具體到乘除法的問題時(shí)，對(duì)于分?jǐn)?shù)的理解和運(yùn)用不僅需要基本的技能計(jì)算，還需要對(duì)一些分?jǐn)?shù)本身加以分析和判斷。如：減掉 ，是把整體“1”（4米的繩子）平均分成4份，其中的一份是 ，即1米;減掉 米，這時(shí)的 要和米連在一起，是一個(gè)具體的數(shù)量——0.25米，其實(shí)沒有分?jǐn)?shù)屬性特征，和整數(shù)4米表示的意義一樣，可以直接加或減。

綜上，在分?jǐn)?shù)乘除法中的分?jǐn)?shù)問題，如果學(xué)生對(duì)這類問題的基本模型沒有弄明白就會(huì)出錯(cuò)。實(shí)際上，對(duì)分?jǐn)?shù)的不同屬性的理解，才是這類問題的根本。是表示量還是表示份數(shù)，以及它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是解決上述問題的基本模型，如果學(xué)生能自如地判斷，做出相應(yīng)的理解，就能正確地解決問題。

三、“三頭六臂，難以辨析”

分?jǐn)?shù)有其自己的屬性特征（分?jǐn)?shù)的意義），也有其它的不同屬性。學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的全面認(rèn)知，既要認(rèn)識(shí)它的本質(zhì)，也要知道它還可以從其它地方加以認(rèn)識(shí)，如從小數(shù)演變而來。對(duì)于不同的屬性特征，要加以分類對(duì)比，在不同情況下的運(yùn)用計(jì)算是不盡相同的。分?jǐn)?shù)，小數(shù)，除法，是其多變的形式特征，它們有著內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別，有時(shí)表示的是一種分法，可能就是人類最為原始的生活法則——平均分，有時(shí)它就是一個(gè)具體的量，有時(shí)它又反映幾個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。它就像多變的孫猴子一樣，時(shí)而除法，時(shí)而變身小數(shù)（整數(shù)），時(shí)而化為比……如同三頭六臂的“孫大圣”，讓孩子們有時(shí)難以辨析，識(shí)得它“真身”。教給學(xué)生識(shí)別其不同的身份，掌握它變化的規(guī)律，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，才能讓其更好地為我所用。

來看， =（ ）÷8=（ ）∶40=（ ）%=（ ?）折=（ ?）（小數(shù)）

這道題最能溝通分?jǐn)?shù)與所有的有關(guān)知識(shí)，幾乎串聯(lián)了整個(gè)小學(xué)階段的主要的重要知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)成了一個(gè)有機(jī)的知識(shí)鏈條。能對(duì)分?jǐn)?shù)做出很好的完整的解釋，也成了很多習(xí)題中的經(jīng)典題型。學(xué)生若能熟練完成好，一定是把分?jǐn)?shù)的屬性、變化、聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行了充分消化并加以運(yùn)用。

從最初的除法意義、小數(shù)，再到分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)等，分?jǐn)?shù)是一個(gè)紐帶，生動(dòng)形象的轉(zhuǎn)化和變身，需要孩子對(duì)分?jǐn)?shù)的全面認(rèn)識(shí)和理解，并且能在各種多變的情境中找出其不同的意義。而這些轉(zhuǎn)化、變通都需要厘清分?jǐn)?shù)的本質(zhì)——平均分，進(jìn)而派生出和它緊密相連的、不同的又有自己屬性的知識(shí)?？辞暹@些，無論它如何變化，我們都能準(zhǔn)確把握，解決相關(guān)問題。

四、“陰晴雨雪，計(jì)算復(fù)雜”

分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)障礙還體現(xiàn)在它的計(jì)算上，它既不能像整數(shù)那樣進(jìn)行相同單位的合并，也不同于小數(shù)的數(shù)位的確定，雖然整數(shù)和小數(shù)的計(jì)算也容易出錯(cuò)，但是和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算比起來，這些都不是問題。

如： 計(jì)算 ? ?+ ? ? ? ? ?×

一些孩子經(jīng)常出現(xiàn)加法中等于 或 這樣的一些答案，除去孩子因?yàn)槭韬隹村e(cuò)出錯(cuò)的原因，還有就是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的計(jì)算在不同的計(jì)算法則時(shí)所用的方法完全不一樣，稍不小心就出現(xiàn)上面這種所謂的“低級(jí)錯(cuò)誤”，而這些不同的法則中所用的方法沒有太多的聯(lián)系，稍不注意就出錯(cuò)：如加減法要通分，計(jì)算完還要約分;通分、約分其實(shí)沒有太大問題，但在具體的計(jì)算中往往這兩種運(yùn)算同時(shí)出現(xiàn)就難免出錯(cuò);乘除法時(shí)要先約分再計(jì)算，有除法時(shí)還要先把它變成乘以除數(shù)的倒數(shù)再乘。沒有一個(gè)踏實(shí)的態(tài)度和熟練的訓(xùn)練極易犯錯(cuò)，每每在做有分?jǐn)?shù)的計(jì)算時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤的幾率幾乎成倍增加。對(duì)于分?jǐn)?shù)的這種計(jì)算中的變換、轉(zhuǎn)換需要熟練的訓(xùn)練，更需要把分?jǐn)?shù)的獨(dú)特特點(diǎn)、不同屬性等做到充分的理解掌握，才能避免一些不必要的錯(cuò)誤。

分?jǐn)?shù)的加減法、乘除法的復(fù)雜多變就如“陰晴雨雪”的天氣，這些計(jì)算都離不開它各自的意義，離不開運(yùn)算本身的意義，只有徹底結(jié)合起來才能把分?jǐn)?shù)的計(jì)算熟練且正確地計(jì)算好。在分?jǐn)?shù)單位統(tǒng)一的基礎(chǔ)上才能去合并。把不同的分?jǐn)?shù)統(tǒng)一起來，在理解它能表達(dá)數(shù)量也能表示份數(shù)的基礎(chǔ)上，更好地把乘除法的意義法則徹悟，做好它的四則運(yùn)算，熟悉它的不同和相同之處。

“小時(shí)不識(shí)月，呼作白玉盤”。一些孩子認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)記其形，忽其意。只看表象，而不知內(nèi)在的具體原因。知其原，還要知其所以原，是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)根本，需要從每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的起點(diǎn)開始，去展開，聯(lián)系，回顧，系統(tǒng)化?！鞍子癖P里奇妙多，識(shí)得表象求真理”。學(xué)會(huì)把握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)能深層次、多方位的研究到位，不做一知半解，積極追尋背后的依據(jù)和意義，讓學(xué)習(xí)鮮活起來。