團(tuán)簇狀缺陷對纖維束斷裂過程的影響*

曹振 郝大鵬 唐剛 尋之朋 夏輝

(中國礦業(yè)大學(xué)材料與物理學(xué)院, 徐州 221116)

(2021 年2 月10 日收到; 2021 年5 月6 日收到修改稿)

1 引 言

材料在受到過度負(fù)載作用時, 會發(fā)生由微觀裂紋到宏觀斷裂的不可逆演化過程. 在各種工程領(lǐng)域, 經(jīng)常發(fā)生起源于微裂紋或終結(jié)于裂紋擴(kuò)展的災(zāi)難性斷裂事故, 如地震引起的地質(zhì)構(gòu)造開裂或建筑垮塌, 工程結(jié)構(gòu)受到反復(fù)負(fù)載或者碰撞而損壞, 壓力管道的裂紋或機(jī)械構(gòu)件的斷裂等. 這些損壞或斷裂給生產(chǎn)生活帶來巨大損失[1], 因此研究材料斷裂過程中的斷裂力學(xué)性質(zhì)具有十分重要的理論和實(shí)踐意義[2]. 研究材料宏觀斷裂的微觀機(jī)制有助于掌握斷裂的臨界現(xiàn)象, 進(jìn)而避免或者減少材料斷裂造成的危害[3,4], 甚至可以對材料的宏觀斷裂現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測[5]. 材料本身或材料在制備過程中都會存在不同程度的雜質(zhì)和缺陷, 導(dǎo)致實(shí)際非均勻材料的微觀結(jié)構(gòu)屬于一種無序系統(tǒng)[6-8]. 由于無序系統(tǒng)的復(fù)雜性, 目前沒有確定的微分方程可以描述和解決無序材料斷裂中復(fù)雜的動力學(xué)過程. 所以研究無序材料的微觀斷裂機(jī)制需要依賴于一些基于統(tǒng)計(jì)的格點(diǎn)模型[9], 纖維束模型是研究無序材料拉伸斷裂機(jī)制的常用統(tǒng)計(jì)模型. 雖然纖維束模型相對比較簡單, 但是卻能夠模擬材料的微觀斷裂機(jī)制, 模擬結(jié)果也可以和實(shí)際拉伸實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較[10-12]. 近年有針對PET 纖維束的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)拉伸斷裂實(shí)驗(yàn)的研究, 通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比, 發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)拉伸斷裂實(shí)驗(yàn)得到的本構(gòu)曲線與纖維束模型的模擬結(jié)果比較符合[13].

經(jīng)典纖維束模型用來模擬線彈性纖維在準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下的脆性斷裂過程[6], 纖維的斷裂閾值滿足具體的概率分布函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù), 關(guān)系如下[14,15]:

當(dāng)纖維承受的負(fù)載超過閾值后, 這根纖維發(fā)生斷裂, 不再承受任何力, 釋放的負(fù)載再分配給其他未斷纖維. 根據(jù)負(fù)載再分配方式的不同, 纖維束模型可分為平均應(yīng)力再分配模型 (GLS)、最近鄰應(yīng)力再分配模型(LLS)和一般的局域應(yīng)力再分配模型. 平均應(yīng)力再分配模型可以看成是考慮了長程作用的平均場模型, 可以應(yīng)用平均場理論得到精確的解析結(jié)果, 而最近鄰應(yīng)力再分配模型則考慮了短程相互作用, 纖維斷裂后負(fù)載只會分配給最近鄰的纖維[16-19], 最近鄰應(yīng)力再分配模型難以得到解析結(jié)果[19,20], 主要依賴于數(shù)值模擬方法進(jìn)行處理.

為了更好地模擬不同材料的拉伸斷裂過程, 在經(jīng)典纖維束模型的基礎(chǔ)上, 又構(gòu)建了大量的擴(kuò)展纖維束模型. 經(jīng)典纖維束模型的每根纖維本身是脆性斷裂, 即纖維達(dá)到閾值后立即斷裂. 而在連續(xù)損傷模型中, 當(dāng)纖維承擔(dān)的應(yīng)力在達(dá)到損傷閾值后, 纖維并不會直接斷裂而是先受到損傷, 此時受損傷纖維的楊氏模量會衰減[21,22]. 在連續(xù)損傷模型中損傷次數(shù)和閾值分布是影響非脆性斷裂過程及其斷裂性質(zhì)的主要因素[23]. 為了模擬高聚物等纖維強(qiáng)化復(fù)合材料的動態(tài)力學(xué)行為而構(gòu)建的黏彈性纖維束模型可以研究蠕變斷裂行為. 黏彈性纖維束模型中最重要的斷裂性質(zhì)就是蠕變壽命的統(tǒng)計(jì)[24,25]. 近年來有些研究者通過改變閾值分布指數(shù)和閾值上限值這兩個無序參數(shù)控制系統(tǒng)的無序程度, 分布指數(shù)越大閾值無序度越低, 閾值上限值越高無序程度越高[17,26,27]. 這類模型實(shí)質(zhì)是通過控制閾值分布改變系統(tǒng)無序性, 系統(tǒng)無序程度的變化導(dǎo)致斷裂性質(zhì)發(fā)生極大的改變. 另外還有針對高維度纖維束模型的研究, 在最近鄰應(yīng)力再分配的基礎(chǔ)上分別對1—8維的模型進(jìn)行了模擬計(jì)算, 結(jié)果發(fā)現(xiàn)隨著維數(shù)增加, 最近鄰應(yīng)力再分配模型逐漸渡越到平均應(yīng)力再分配模型[28,29].

在研究材料斷裂的微觀機(jī)制時發(fā)現(xiàn), 實(shí)際材料的拉伸強(qiáng)度常比應(yīng)用連續(xù)性理論得到的理論結(jié)果小得多, 出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因是材料的微觀結(jié)構(gòu)中廣泛存在的缺陷結(jié)構(gòu). 缺陷對材料的力學(xué)性質(zhì)和斷裂過程具有復(fù)雜影響, 缺陷不僅具有隨機(jī)性,而且種類繁多, 常見的缺陷包括空洞、空隙、雜質(zhì)、位錯和微裂紋等. 近年有些工作利用實(shí)驗(yàn)方法和有限元方法研究材料微觀結(jié)構(gòu)中的缺陷對材料斷裂的影響, 這些隨機(jī)分布的微觀缺陷結(jié)構(gòu)對復(fù)合材料的力學(xué)性能和斷裂過程造成顯著的影響[30,31]. 缺陷影響了材料斷裂過程中裂紋微觀的成核過程和前沿的傳播性質(zhì), 進(jìn)而影響材料的可靠性, 制約了材料的負(fù)載能力. 因此, 有必要從理論上研究缺陷對材料拉伸斷裂性質(zhì)的影響[32,33]. 理論上研究缺陷的影響, 首先需要構(gòu)建能夠描述缺陷的統(tǒng)計(jì)模型. 纖維束模型可以很好地描述無序材料的拉伸斷裂性質(zhì), 但沒有考慮到缺陷對拉伸斷裂性質(zhì)的影響.在以往的工作中, 我們在經(jīng)典纖維束模型的基礎(chǔ)上, 初步構(gòu)建了考慮單尺寸缺陷的含缺陷纖維束模型, 并應(yīng)用數(shù)值模擬的方法分析了缺陷對纖維束模型拉伸斷裂性質(zhì)的影響[34,35]. 本文將在此基礎(chǔ)上, 構(gòu)建更加符合實(shí)際材料結(jié)構(gòu)的含缺陷纖維束模型, 進(jìn)一步深入研究缺陷對材料拉伸斷裂性質(zhì)的影響.

2 含缺陷纖維束模型

在已有研究單尺寸缺陷的簡單含缺陷纖維束模型[34,35]中, 僅考慮了隨機(jī)分布的單根纖維的缺陷, 沒有考慮缺陷尺寸這一重要因素的影響. 除了纖維束模型, 彈簧網(wǎng)絡(luò)模型中也有相似的缺陷算法, 缺陷密度是彈簧網(wǎng)絡(luò)模型中最重要的影響因素[36]. 僅僅考慮單一尺寸缺陷的密度和缺陷程度還不足以描述實(shí)際材料的缺陷性質(zhì). 為了更好地分析缺陷對材料拉伸斷裂過程的影響, 本文構(gòu)建更加符合實(shí)際的含缺陷纖維束模型. 縱向上, 同一根纖維可能出現(xiàn)多處缺陷, 計(jì)算時取最大程度的缺陷值為這根纖維的缺陷; 橫向上, 考慮缺陷聚集在一起形成團(tuán)簇狀結(jié)構(gòu). 此模型在考慮缺陷空間分布的基礎(chǔ)上, 引入隨機(jī)缺陷尺寸變量, 同時考慮缺陷程度的空間衰減因素, 假設(shè)缺陷程度按照一定的函數(shù)關(guān)系隨著缺陷尺寸變化.

在模擬過程中, 首先構(gòu)建經(jīng)典纖維束模型, 假設(shè)纖維閾值最初滿足均勻分布, 其概率密度為

對應(yīng)的累積分布函數(shù)為

然后, 在此基礎(chǔ)上, 引入團(tuán)簇狀缺陷的描述方法[37].首先假設(shè)纖維束中有α個大小不同的缺陷, 缺陷的中心位置在纖維束中滿足均勻分布, 再根據(jù)缺陷尺寸確定缺陷的邊界范圍. 缺陷尺寸可以采用固定值或滿足一定的概率分布, 本文選定缺陷尺寸在[0,β]之間滿足均勻分布, 并假設(shè)缺陷同纖維束一樣滿足周期性邊界條件. 第i個缺陷的缺陷尺寸記為βi, 其中心纖維的缺陷程度定義為Ci,

其中γ>β是決定中心缺陷程度的控制變量. 如圖1所示, 以缺陷中心為坐標(biāo)零點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系. 在缺陷內(nèi)部不同纖維的缺陷程度與其位置之間滿足一定的函數(shù)關(guān)系, 本文首先采用了簡單的線性衰減函數(shù)關(guān)系. 如圖1 所示, 假設(shè)第i個缺陷內(nèi)部, 以缺陷中心為計(jì)數(shù)基準(zhǔn), 第j(j≤βi/2) 根纖維的初始閾值記為xj, 引入缺陷后其斷裂閾值x?j表示為

圖1 一維纖維束模型的團(tuán)簇狀缺陷程度示意圖Fig. 1. Schematic diagram of cluster defect degree for onedimensional fiber bundle model. The Cartesian coordinate system is established with defect center as its coordinate zero.

對一維排列的纖維束來說, 缺陷中心纖維的缺陷程度最大, 向左右兩邊逐漸呈線性衰減. 不同尺寸的缺陷, 其中心纖維的缺陷程度與該缺陷的尺寸呈正比, 缺陷尺寸越大, 中心纖維缺陷程度越高.因?yàn)榭紤]了不同尺寸的缺陷, 所以會出現(xiàn)同一根纖維可能同時處于多個缺陷之中. 由于模型假設(shè)了在多個缺陷重合的情況下, 取最大的缺陷程度作為這根纖維的實(shí)際缺陷. 因此, 在多個缺陷出現(xiàn)空間重疊現(xiàn)象時, 纖維束系統(tǒng)會出現(xiàn)一個大尺寸缺陷邊緣處的缺陷程度與小尺寸缺陷中心位置缺陷程度的競爭, 也就是說大尺寸缺陷不能完全覆蓋其他缺陷. 圖2 為團(tuán)簇狀缺陷模型示意圖, 以3 個缺陷為例, 同一根纖維可能多次受到團(tuán)簇狀缺陷的影響,缺陷滿足周期性邊界條件.

圖2 一維纖維束模型的團(tuán)簇狀缺陷模型示意圖, 其中包含3 個缺陷, 缺陷和纖維束都采用周期性邊界條件Fig. 2. Schematic diagram of the clustered defect model of the one-dimensional fiber bundle model, which contains 3 defects, both the defect and the fiber bundle adopt periodic boundary conditions.

在以上構(gòu)建的含缺陷的纖維束模型中, 假設(shè)纖維束被準(zhǔn)靜態(tài)地拉伸直至完全斷裂. 一根纖維斷裂后, 所承擔(dān)的應(yīng)力需要在其他未斷裂的纖維中進(jìn)行重新分配. 由于缺陷對整個纖維束來說是局域的,直接影響了纖維之間的局域相互作用, 因此, 本模型的應(yīng)力再分配機(jī)制采用最近鄰應(yīng)力再分配. 根據(jù)上述模型構(gòu)建方法可知, 該模型最重要的參數(shù)是缺陷個數(shù)α以及缺陷尺寸上限β. 接下來, 應(yīng)用數(shù)值模擬方法分別分析缺陷個數(shù)α以及缺陷尺寸上限β對模型拉伸斷裂性質(zhì)的影響. 在模擬中, 纖維束尺寸取100000 根纖維, 以下分析的結(jié)果是不少于5000 次模擬結(jié)果的系綜平均.

3 缺陷個數(shù)α 對斷裂過程的影響

缺陷個數(shù)α表示了纖維束中缺陷的多少, 為了單獨(dú)分析缺陷個數(shù)α對模型拉伸斷裂性質(zhì)的影響, 首先固定缺陷尺寸上限β的值. 在本模型中,考慮到系統(tǒng)的尺寸以及實(shí)際材料出現(xiàn)缺陷的情況.一般情況下, 缺陷尺寸相比系統(tǒng)的尺寸來說要小得多, 因此β不應(yīng)太大; 另外, 在以往的研究中, 我們已經(jīng)分析了β= 1 的極限情況, 當(dāng)β太小時, 模型趨向于β= 1 時的極限情況, 團(tuán)簇狀缺陷結(jié)構(gòu)不明顯, 因此,β取值也不應(yīng)太小. 在以下的模擬中,首先固定β= 150,γ=200 , 考慮缺陷個數(shù)α在50—3200 之間變化, 分析缺陷個數(shù)α對斷裂性質(zhì)的影響.

圖3 給出了模型在拉伸斷裂過程中本構(gòu)曲線與缺陷個數(shù)α的關(guān)系, 橫坐標(biāo)ε表示應(yīng)變, 縱坐標(biāo)σ表示應(yīng)力, 其中缺陷尺寸上限β固定為150. 從圖3 可以看出, 雖然模型中每一根纖維都具有脆性斷裂性質(zhì), 但整體上本構(gòu)曲線在斷裂階段還是表現(xiàn)出一定的非脆性斷裂性質(zhì). 由于模型中各纖維的斷裂閾值分布存在著漲落, 使得每次模擬得到的臨界應(yīng)變和臨界應(yīng)力也存在漲落, 在最后模擬結(jié)果中,進(jìn)行系綜平均后就呈現(xiàn)出一定的非脆性斷裂性質(zhì),在達(dá)到臨界應(yīng)力之后, 應(yīng)力并沒有立即降為0. 不同缺陷個數(shù)α下的本構(gòu)曲線在臨界斷裂前基本上是重合的, 在接近臨界斷裂時稍有變化. 對拉伸斷裂過程的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來說, 初始階段的本構(gòu)曲線主要由斷裂閾值較小的纖維的閾值分布決定, 而缺陷對纖維束中纖維斷裂閾值中較小閾值的分布影響較小. 由于在不同的缺陷個數(shù)取值下, 纖維斷裂閾值分布中較小閾值的分布均近似符合均勻分布,因此, 缺陷個數(shù)取值對模型拉伸斷裂的本構(gòu)曲線初始階段幾乎沒有產(chǎn)生影響. 缺陷個數(shù)α對纖維束斷裂力學(xué)性質(zhì)的影響不是線性的, 在缺陷個數(shù)α較小時, 對本構(gòu)關(guān)系的影響比較明顯; 而當(dāng)缺陷個數(shù)α取值較大時, 對本構(gòu)關(guān)系的影響反而較小, 接下來定量分析缺陷個數(shù)α對臨界應(yīng)力大小的影響.

圖3 不同缺陷個數(shù)α 下系統(tǒng)的本構(gòu)關(guān)系, α 在50—3200的范圍內(nèi)變化, 圖中 ε 表示應(yīng)變, σ 表示應(yīng)力Fig. 3. Constitutive curves of the system under different number of defects α, α varies from 50 to 3200. In the figure,εrepresents strain and σ represents stress.

圖4 為臨界應(yīng)力σc與缺陷個數(shù)α的關(guān)系曲線, 其中缺陷尺寸上限β為固定值150. 從圖中不難發(fā)現(xiàn), 臨界應(yīng)力隨著缺陷個數(shù)的增加單調(diào)地減小, 當(dāng)缺陷個數(shù)比較小時臨界應(yīng)力隨缺陷個數(shù)的變化比較明顯, 而當(dāng)缺陷個數(shù)增加到相對較大數(shù)值時, 臨界應(yīng)力的減小則緩慢得多. 值得注意的是,模擬中采用了相對較大的缺陷尺寸, 也就是說即使在缺陷數(shù)目比較少的情況下, 大尺寸缺陷的出現(xiàn)仍然會對臨界應(yīng)力造成較大的影響. 而且由于缺陷數(shù)目比較小, 缺陷的空間分布比較分散, 缺陷之間重疊的情況很少. 因而縱向上不同缺陷程度的競爭作用不強(qiáng), 此時少數(shù)的大尺寸缺陷會對系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生較大的影響. 而當(dāng)缺陷數(shù)目增加到較大值的時候, 缺陷之間將出現(xiàn)較多的重疊, 縱向上缺陷程度的競爭變得激烈, 使得最終缺陷纖維根數(shù)和缺陷數(shù)目不成正比, 因此對系統(tǒng)力學(xué)性質(zhì)的影響趨于平緩. 為了進(jìn)一步說明這一點(diǎn), 減小缺陷尺寸, 將缺陷尺寸上限設(shè)定為β= 40, 模擬結(jié)果如圖4 插圖所示. 這樣在保持缺陷個數(shù)的變化區(qū)間不變的情況下, 由于缺陷的尺寸較小, 缺陷的重疊可以忽略不計(jì), 也就是縱向上缺陷程度的競爭現(xiàn)象不明顯, 此時缺陷纖維的根數(shù)和缺陷數(shù)目近似呈線性關(guān)系, 表現(xiàn)在模擬結(jié)果上就是臨界應(yīng)力與缺陷數(shù)目之間近似呈線性關(guān)系. 以上模擬結(jié)果也說明, 減小缺陷尺寸使得模型從團(tuán)簇狀缺陷向非團(tuán)簇狀孤立缺陷轉(zhuǎn)變, 在接下來的分析中將根據(jù)最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)的變化情況討論團(tuán)簇狀缺陷模型和非團(tuán)簇狀缺陷模型的區(qū)別.

圖4 臨界應(yīng)力隨缺陷個數(shù)α 的變化關(guān)系, 插圖為β =40 時臨界應(yīng)力隨著缺陷個數(shù)α 的變化關(guān)系, 此時臨界應(yīng)力接近于線性變化Fig. 4. Relationship between critical stress and the number of defects α. In the inset, the relationship between critical stress and the number of defects α with β = 40 is shown, at this time, the critical stress changes linearly with α.

在團(tuán)簇狀缺陷模型中, 最大雪崩尺寸Δm和負(fù)載加載步數(shù)step 隨著缺陷個數(shù)α呈現(xiàn)相反的變化關(guān)系. 如圖5 所示, 缺陷個數(shù)從50 個逐漸增加到3200 個, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)均呈非單調(diào)變化, 在缺陷個數(shù)為400 附近, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)都出現(xiàn)了極值. 當(dāng)缺陷個數(shù)從50 增加到400 時, 最大雪崩尺寸逐漸增加, 相應(yīng)的負(fù)載加載步數(shù)逐漸減少, 系統(tǒng)更容易在經(jīng)歷少數(shù)大尺寸雪崩后發(fā)生宏觀斷裂. 而當(dāng)缺陷個數(shù)由400 繼續(xù)增加時, 最大雪崩尺寸開始減少, 而負(fù)載加載步數(shù)則開始增加, 此時, 系統(tǒng)具有更強(qiáng)的韌性, 在拉伸過程中更不容易發(fā)生脆性斷裂. 缺陷個數(shù)等于400 是一個極值點(diǎn), 此時, 系統(tǒng)具有最小的負(fù)載加載步數(shù),同時最大雪崩尺寸取最大值, 說明此時系統(tǒng)最接近于脆性斷裂. 而當(dāng)缺陷個數(shù)大于400 時, 隨著缺陷個數(shù)增加, 雖然臨界應(yīng)力單調(diào)減小, 但是減小的速度降低了. 另一方面, 負(fù)載加載步數(shù)反而增加了,說明系統(tǒng)雖然能夠承擔(dān)的負(fù)載有所下降, 卻具有更強(qiáng)的韌性. 需要注意的是, 以上結(jié)果只是在β=150 條件下模擬得到的, 對應(yīng)了缺陷尺寸比較大的情形. 為了詳細(xì)分析極值出現(xiàn)的條件, 又針對不同β值進(jìn)行了數(shù)值模擬. 如圖6 所示, 模擬得到了不同β取值下, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨缺陷個數(shù)的變化關(guān)系, 其中圖6(a)—圖6(d)分別對應(yīng)β= 120, 90, 70, 60.

圖5 最大雪崩尺寸 Δm 和負(fù)載加載步數(shù)step 隨著缺陷個數(shù)α 的變化, 在α = 400 處最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)均出現(xiàn)極值Fig. 5. The maximum avalanche size ( Δm ) and the step number of load increase (step) vary with the number of defects. The maximum avalanche size and the step number of load increase reach the extreme value at α = 400.

圖6 不同β 取值下的最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)極值的出現(xiàn)情況 (a) β = 120; (b) β = 90; (c) β = 70; (d) β = 60. 當(dāng)β 取值較大時最大雪崩和加載步數(shù)與缺陷個數(shù)α 存在類似二次函數(shù)的關(guān)系Fig. 6. The extreme values of the maximum avalanche size and the step number of load increase with different β: (a) β = 120; (b) β =90; (c) β = 70; (d) β = 60. When the value of β is large, there is a similar quadratic function between the maximum avalanche, the step number of load increase and the number of defects α.

在不同的β取值下, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨著缺陷個數(shù)的變化規(guī)律存在明顯差異. 當(dāng)β= 120 時, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步的極值點(diǎn)出現(xiàn)在α= 800 處. 當(dāng)β= 90 時, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)的極值點(diǎn)出現(xiàn)在α= 1200 處. 而當(dāng)β降到70 時, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)的極值點(diǎn)增加到α= 2300. 可以發(fā)現(xiàn), 隨著缺陷尺寸上限β的降低, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)出現(xiàn)極值點(diǎn)對應(yīng)的缺陷個數(shù)α的值逐漸增大. 在β=60 時, 增大α的變化范圍, 進(jìn)一步模擬發(fā)現(xiàn), 此時極值點(diǎn)出現(xiàn)在α= 3200 附近. 不難發(fā)現(xiàn), 當(dāng)系統(tǒng)的缺陷尺寸較大時, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)的極值出現(xiàn)在缺陷個數(shù)較小時, 隨著缺陷尺寸的降低, 這一極值出現(xiàn)在更大的缺陷數(shù)目處, 當(dāng)缺陷尺寸足夠小時, 極值逐漸消失. 這就說明, 在不同的缺陷尺寸上限β取值下, 模型中缺陷可以表現(xiàn)出不同的性質(zhì), 當(dāng)β較大時, 模型缺陷可以看成團(tuán)簇狀缺陷, 而當(dāng)β取值較小時, 則表現(xiàn)出非團(tuán)簇狀缺陷的性質(zhì). 雖然缺陷尺寸不同, 但是在極值點(diǎn)之前, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)的變化性質(zhì)相似, 也就是說如果缺陷個數(shù)被限制在一定范圍內(nèi), 團(tuán)簇狀缺陷模型也會過渡為非團(tuán)簇狀缺陷模型.

由于模擬采用了應(yīng)力控制型拉伸方式, 在拉伸斷裂過程中會產(chǎn)生一系列雪崩, 雪崩尺寸是反映雪崩過程的主要參量, 而雪崩尺寸分布則能夠很好地描述模型在斷裂過程中的統(tǒng)計(jì)性質(zhì). 圖7 為不同缺陷個數(shù)取值下雪崩尺寸分布的統(tǒng)計(jì)結(jié)果, 為了更好地展示雪崩尺寸分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì), 圖中使用了雙對數(shù)坐標(biāo). 與平均應(yīng)力再分配的模型不同, 一般情況下, 最近鄰應(yīng)力再分配下, 由于存在著顯著的局域相互作用, 雪崩尺寸分布一般不滿足簡單的冪律分布. 從本文模擬結(jié)果可以看出, 和其他最鄰近應(yīng)力再分配下的纖維束模型類似, 整體上雪崩尺寸并不滿足簡單的冪律分布. 但是在雪崩尺寸較小時, 其分布還是能比較好地滿足以下形式的冪律分布:

圖7 缺陷個數(shù)α 不同取值下的雪崩尺寸分布Fig. 7. The avalanche size distribution under different values of the number of defects α.

其中Δ為負(fù)載每次準(zhǔn)靜態(tài)加載所引起的雪崩尺寸,即每次加載后纖維的斷裂數(shù). 從圖7 可以看出, 在缺陷個數(shù)為100 和800 時, 對于較小尺寸的雪崩,其雪崩尺寸分布的冪律指數(shù)滿足δ= 6.5 和δ=5.9. 以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示, 缺陷個數(shù)對模型拉伸斷裂過程統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的影響較小, 只小幅度地影響了較小尺寸雪崩尺寸的冪律分布指數(shù).

4 缺陷尺寸上限β 對斷裂過程的影響

對于含缺陷的材料來說, 其中的缺陷尺寸也是影響其力學(xué)性質(zhì)的重要參量. 通過以上的分析發(fā)現(xiàn), 缺陷尺寸上限β影響了模型中的缺陷狀態(tài). 接下來, 為了詳細(xì)分析缺陷尺寸上限β對模型斷裂性質(zhì)的影響, 假設(shè)缺陷個數(shù)α取固定值. 在以上的討論中發(fā)現(xiàn), 如果缺陷個數(shù)太小的話, 缺陷之間的相互作用不明顯, 團(tuán)簇狀缺陷模型會過渡為非團(tuán)簇狀缺陷模型. 為了使缺陷尺寸上限β對系統(tǒng)的影響較明顯, 在以下的模擬中, 固定缺陷個數(shù)α= 800, 模擬缺陷尺寸上限β在20—180 之間變化時系統(tǒng)的拉伸斷裂性質(zhì).

圖8 為缺陷尺寸上限對本構(gòu)關(guān)系影響的模擬結(jié)果. 可以看出, 由于系統(tǒng)的漲落導(dǎo)致系綜平均以后的模擬結(jié)果中, 本構(gòu)曲線呈現(xiàn)出一定的非脆性斷裂性質(zhì). 在系統(tǒng)達(dá)到臨界值之后, 應(yīng)力并沒有立即降為0, 但是對于模型的每一次模擬結(jié)果來說, 缺陷或漲落的存在不會影響模型的脆性斷裂性質(zhì). 在拉伸的初始階段, 不同缺陷尺寸上限的本構(gòu)曲線幾乎完全重合, 說明缺陷尺寸對纖維束中較弱纖維的強(qiáng)度分布沒有產(chǎn)生明顯影響, 主要影響了較大強(qiáng)度纖維的強(qiáng)度分布. 隨著缺陷尺寸的增加, 系統(tǒng)的臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變單調(diào)減小. 不難看出, 隨著缺陷尺寸上限的增加, 本構(gòu)曲線差距越來越大. 這也說明, 對于尺寸較小的孤立缺陷, 缺陷之間的空間重疊可以忽略, 此時材料拉伸斷裂性質(zhì)的主要影響因素是缺陷個數(shù), 缺陷尺寸的影響較小. 而當(dāng)缺陷尺寸較大時, 缺陷之間的空間重疊概率較大, 相互作用較強(qiáng), 因此缺陷尺寸對材料拉伸斷裂性質(zhì)的影響較大.

圖8 不同缺陷尺寸上限β 下模型的本構(gòu)關(guān)系曲線Fig. 8. The constitutive curves of the model with different maximum defect sizes.

圖9 為臨界應(yīng)力σc與缺陷尺寸上限β的關(guān)系, 可以清晰地看出, 小尺寸缺陷對臨界應(yīng)力的影響并不明顯, 隨著缺陷尺寸的增加, 臨界應(yīng)力迅速減小. 當(dāng)缺陷尺寸上限足夠大時, 臨界應(yīng)力隨著缺陷尺寸上限的增加近似呈線性減小. 臨界應(yīng)力的變化也說明, 較小尺寸的孤立缺陷, 其尺寸對模型拉伸斷裂性質(zhì)的影響是非常有限的; 而對較大尺寸的團(tuán)簇狀缺陷, 缺陷之間的空間重疊引起的競爭作用使得系統(tǒng)容易受到缺陷尺寸的影響. 因?yàn)槿毕莩叽鐩Q定團(tuán)簇狀缺陷中心的缺陷程度, 導(dǎo)致團(tuán)簇狀缺陷模型的斷裂性質(zhì)更容易受到缺陷尺寸的影響.

圖9 不同缺陷尺寸上限β 下的臨界應(yīng)力, β 值在20—560之間變化Fig. 9. The critical stress at different maximum defect sizes β varying from 20 to 560.

改變?nèi)毕莩叽缟舷蕈? 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨缺陷尺寸上限β的變化規(guī)律如圖10 所示. 隨著缺陷尺寸上限β的增加, 最大雪崩尺寸先緩慢增加后快速增長, 而負(fù)載加載步數(shù)則相應(yīng)減小. 這說明缺陷尺寸上限β增加后, 模型更容易在較小的負(fù)載加載步數(shù)后, 出現(xiàn)較大尺寸的雪崩, 說明此時模型整體上更加體現(xiàn)出脆性斷裂性質(zhì). 隨著缺陷尺寸上限β的增加, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)都沒有出現(xiàn)飽和的趨勢. 這是因?yàn)榇四Ｐ椭?增加缺陷尺寸相應(yīng)增大了團(tuán)簇狀缺陷中心的缺陷程度, 缺陷尺寸和中心缺陷程度的增加單調(diào)地加速了系統(tǒng)的整體斷裂過程. 在保持缺陷中心缺陷程度和團(tuán)簇狀缺陷尺寸關(guān)系不變的情況下, 增加缺陷尺寸和增加缺陷中心缺陷程度是同步的. 而且在團(tuán)簇狀缺陷內(nèi)部, 不同纖維的缺陷程度與其空間位置之間滿足較簡單的線性關(guān)系. 當(dāng)然, 不同纖維的缺陷程度與其空間位置之間的函數(shù)關(guān)系對纖維束拉伸斷裂性質(zhì)也會產(chǎn)生一定的影響.

圖10 不同缺陷尺寸上限β 下的最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù), β 值在20—180 之間變化Fig. 10. The maximum avalanche size and the step number of load increase at different maximum defect sizes β varying from 20 to 180.

圖11 為系統(tǒng)的臨界應(yīng)力隨著缺陷數(shù)目和缺陷尺寸變化的三維空間相圖, 可以看出, 系統(tǒng)的臨界應(yīng)力對缺陷尺寸很敏感, 當(dāng)缺陷尺寸較大時, 臨界應(yīng)力變化很快, 只有當(dāng)缺陷尺寸減少到足夠小時,其對臨界應(yīng)力的影響才比較小. 同時, 在缺陷尺寸較小時, 缺陷個數(shù)對臨界應(yīng)力的影響也較小, 只有當(dāng)缺陷尺寸較大且缺陷個數(shù)較少時, 缺陷個數(shù)對臨界應(yīng)力的影響才比較顯著. 相比較而言, 缺陷尺寸上限比缺陷個數(shù)對模型斷裂強(qiáng)度的影響更大. 這說明控制系統(tǒng)中缺陷的尺寸處于較小范圍內(nèi), 才能使系統(tǒng)拉伸斷裂的臨界應(yīng)力相對穩(wěn)定.

圖11 系統(tǒng)的臨界應(yīng)力隨著缺陷數(shù)目以及尺寸變化的三維空間相圖, 其中缺陷數(shù)目在50—1200 之間變化, 缺陷尺寸在20—180 之間變化Fig. 11. Phase diagram of critical stress that varies with the number and size of defects, where the number of defects varies from 50 to 1200 and the size of defects varies from 20 to 180.

5 缺陷程度空間衰減方式對斷裂過程的影響

為了分析團(tuán)簇狀缺陷內(nèi)部不同纖維缺陷程度的空間分布對纖維束拉伸斷裂性質(zhì)的影響, 接下來在線性關(guān)系的基礎(chǔ)上, 引入不同纖維缺陷程度隨空間的指數(shù)分布和常數(shù)缺陷兩種分布形式. 缺陷程度隨著空間位置滿足指數(shù)變化時, 第i個缺陷中第j根 (從缺陷中心開始計(jì)算) 纖維的斷裂閾值表示為

固定缺陷尺寸上限和缺陷個數(shù)的情況下, 缺陷程度空間衰減方式分別為線性、指數(shù)和常數(shù)函數(shù)時, 臨界應(yīng)力隨著中心缺陷程度的變化如圖12 所示. 在三種空間衰減方式下, 臨界應(yīng)力隨著中心缺陷程度的減小均單調(diào)增加. 同時也能發(fā)現(xiàn), 不同的缺陷程度空間衰減方式下, 臨界應(yīng)力隨中心缺陷程度都有類似的變化規(guī)律. 但是空間衰減方式采用指數(shù)函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的模型其臨界應(yīng)力的變化曲線很接近, 說明不但變化規(guī)律一致, 具體的臨界應(yīng)力數(shù)值也足夠地近似, 而采用線性衰減方式的模型其臨界應(yīng)力會顯著大于另外兩種形式. 在三種空間衰減方式下, 臨界應(yīng)力隨著中心缺陷程度的減小逐漸出現(xiàn)飽和的趨勢, 當(dāng)缺陷中心的缺陷程度足夠小時, 即使缺陷個數(shù)和尺寸很大也不會對系統(tǒng)造成顯著的影響. 類似的規(guī)律也出現(xiàn)在最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨中心缺陷程度的變化關(guān)系中. 如圖13所示, 最大雪崩尺寸隨著中心缺陷程度的減少而減小, 而負(fù)載加載步數(shù)則正好相反. 這說明減少中心缺陷程度, 斷裂過程中的負(fù)載加載步數(shù)增加, 延緩了宏觀斷裂發(fā)生的進(jìn)程. 而相應(yīng)地兩次負(fù)載加載之間所能夠斷裂的纖維根數(shù), 也就是雪崩尺寸減小了, 同時最大雪崩尺寸也變小了, 說明系統(tǒng)的斷裂進(jìn)程相應(yīng)延緩了. 在三種空間衰減方式下, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨著中心缺陷程度的減小逐漸出現(xiàn)飽和的趨勢, 當(dāng)缺陷中心的缺陷程度足夠小時系統(tǒng)受缺陷的影響很小. 中心缺陷程度和缺陷尺寸之間都是單調(diào)的變化關(guān)系, 因此, 中心缺陷程度和缺陷尺寸上限對斷裂性質(zhì)具有類似的影響關(guān)系.

圖12 缺陷程度空間衰減方式分別為線性、指數(shù)和常數(shù)函數(shù)情況下的中心缺陷程度對臨界應(yīng)力的影響, 缺陷個數(shù)為800, 缺陷尺寸上限為150Fig. 12. The influence of the degree of central defect on the critical stress when the spatial attenuation modes of the defect degree are linear, exponential and constant functions.The number of defects is 800, and the maximum defect size is 150.

圖13 缺陷程度空間衰減方式分別為線性、指數(shù)和常數(shù)函數(shù)情況下, 最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨中心缺陷程度的變化. 缺陷個數(shù)為800, 缺陷尺寸上限為150Fig. 13. The maximum avalanche size and the step number of load increase vary with the degree of the central defect when the spatial attenuation modes of the defect degree are linear, exponential and constant functions. The number of defects is 800, and the maximum defect size is 150.

6 結(jié)論與討論

本文在已有含缺陷纖維束模型的基礎(chǔ)上, 考慮到缺陷的尺寸大小和內(nèi)部纖維的不同空間衰減形式, 構(gòu)建了含團(tuán)簇狀缺陷的纖維束模型. 此模型中的缺陷尺寸大小和位置分布均采用均勻分布, 團(tuán)簇狀缺陷中心纖維的缺陷程度最大, 且隨著缺陷尺寸的增加而增大. 模型先假設(shè)了每個團(tuán)簇內(nèi)部纖維的缺陷程度從中心向外呈線性衰減, 后又引入了指數(shù)衰減和常數(shù)缺陷程度兩種空間衰減形式. 在本團(tuán)簇狀缺陷的纖維束模型中, 最主要的兩個影響因素就是缺陷個數(shù)α和缺陷尺寸上限β. 應(yīng)用數(shù)值模擬的方法, 分析了該模型在最近鄰應(yīng)力再分配下, 進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)負(fù)載加載時的拉伸斷裂性質(zhì), 主要分析了缺陷個數(shù)和缺陷尺寸上限對斷裂的宏觀力學(xué)性質(zhì)和斷裂統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的影響, 這包括本構(gòu)曲線、臨界應(yīng)力、負(fù)載加載步數(shù)、最大雪崩尺寸和雪崩尺寸分布.

在保持缺陷尺寸上限β不變的情況下, 改變?nèi)毕輦€數(shù)α的大小, 通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn), 臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變都會隨著缺陷個數(shù)α的增加而減小. 當(dāng)缺陷尺寸上限比較大的時候, 即使缺陷個數(shù)很少,但依然會對宏觀和微觀斷裂過程造成比較大的影響. 原因是缺陷雖然個數(shù)少, 但是尺寸足夠大, 纖維的缺陷程度也足夠大, 但不同缺陷之間的重疊競爭不明顯. 隨著缺陷個數(shù)α的增加, 不同缺陷間的重疊競爭也越發(fā)激烈, 但是對斷裂過程的影響卻相對α較小時減緩了, 這說明不同缺陷間的競爭機(jī)制會減緩系統(tǒng)整體缺陷程度隨缺陷個數(shù)的變化. 雖然缺陷個數(shù)的增加會強(qiáng)化缺陷間的競爭作用, 從而減緩系統(tǒng)整體缺陷程度的增加, 但是當(dāng)缺陷個數(shù)較小, 即競爭機(jī)制不強(qiáng)時, 增大缺陷個數(shù)依然會加速系統(tǒng)的斷裂, 因此最大雪崩尺寸和負(fù)載加載步數(shù)隨著α的變化必然會出現(xiàn)極值. 進(jìn)一步分析極值出現(xiàn)的條件發(fā)現(xiàn), 隨著β值的增加極值對應(yīng)的α值不斷減小, 這說明增加缺陷尺寸在一定程度上也會增加缺陷間的競爭.

在固定缺陷個數(shù)的取值, 改變?nèi)毕莩叽缟舷蕈聲r, 模擬發(fā)現(xiàn), 而當(dāng)缺陷尺寸上限比較小時, 其對斷裂過程影響并不大; 而隨著缺陷尺寸上限的增加, 其對模型斷裂過程的影響越來越顯著. 原因是當(dāng)缺陷尺寸比較小的時候, 相應(yīng)缺陷程度也較小,即使缺陷數(shù)目很多, 但是對整個系統(tǒng)斷裂性質(zhì)的影響并不大. 而隨著缺陷尺寸上限的增加, 由于大尺寸缺陷的引入, 出現(xiàn)了缺陷間的重疊競爭作用, 因此, 隨著缺陷尺寸的增加斷裂進(jìn)程加快. 對于缺陷中纖維的缺陷程度, 除了假設(shè)缺陷中心纖維的缺陷程度隨著缺陷尺寸線性變化, 且缺陷內(nèi)部不同纖維的缺陷程度也隨位置呈線性衰減外, 為了分析缺陷內(nèi)部纖維的缺陷分布對系統(tǒng)斷裂性質(zhì)的影響, 又引入了指數(shù)衰減和常數(shù)缺陷兩種空間衰減形式. 通過數(shù)值模擬分析了三種空間衰減形式下中心纖維缺陷程度對斷裂性質(zhì)的影響. 結(jié)果表明, 缺陷尺寸、中心纖維缺陷程度以及缺陷內(nèi)部的缺陷程度空間衰減方式都會對材料的承受負(fù)載能力和韌性產(chǎn)生影響.

無論是缺陷個數(shù)還是缺陷尺寸上限對臨界應(yīng)力的影響都是單調(diào)的. 增加缺陷個數(shù)α和缺陷尺寸上限β, 臨界應(yīng)力都會單調(diào)減小, 即纖維束系統(tǒng)強(qiáng)度逐漸減小. 但是值得注意的是, 在β取值較大時,α對σc的影響逐漸平緩, 而β對σc的影響逐漸加強(qiáng). 這是因?yàn)閳F(tuán)簇狀缺陷模型的缺陷程度隨缺陷尺寸的增大單調(diào)增加, 因而增加缺陷尺寸時既增加了系統(tǒng)缺陷纖維的比例, 又增加了缺陷纖維整體的缺陷程度, 所以對系統(tǒng)斷裂強(qiáng)度的影響越來越大. 而增大缺陷個數(shù)并不直接影響纖維的缺陷程度, 反而由于重疊競爭機(jī)制減緩系統(tǒng)缺陷纖維比例的增加. 總之, 本文的模擬結(jié)果表明, 材料中的缺陷尺寸和個數(shù)均會對材料拉伸力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生顯著的影響. 而當(dāng)大尺寸的缺陷存在時, 即使缺陷個數(shù)較少, 也會顯著降低材料的承載性能. 本文的模擬結(jié)果對復(fù)合材料的設(shè)計(jì)、制備和加工過程中優(yōu)化設(shè)計(jì)方案和加工工藝、改善制備方法具有一定的理論意義. 文中考慮了空間對稱缺陷, 但實(shí)際的缺陷可能包含更復(fù)雜的非對稱形態(tài), 在后續(xù)研究中將分析這種復(fù)雜的含非對稱缺陷的纖維束模型.