奇妙的歐拉公式

文／肖學(xué)軍

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)）

請觀察下列幾種簡單多面體模型，數(shù)一數(shù)這些多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)。

我們將數(shù)出的結(jié)果填入下表中：

?

請思考：這些多面體的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間有什么關(guān)系？

不難發(fā)現(xiàn)，這個有趣的關(guān)系就是：V+F-E=2。它最早是由18 世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)并證明的，因此也被稱為歐拉公式或者歐拉定理。

我們再來觀察下面4個平面圖形：

圖1

圖2

圖3

圖4

請數(shù)一數(shù)它們各有多少個頂點？多少條邊？這些邊圍出了多少個區(qū)域？

我們將結(jié)果填入下表中：

?

觀察上表，請思考這些平面圖形的頂點數(shù)（V）、邊數(shù)（F）、區(qū)域數(shù)（E）之間有什么關(guān)系？任意作出一個圖形試試看。

通過觀察易知，任何平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間存在的關(guān)系是：頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1，用字母表示就是：V+E-F=1。

聰明的讀者，你能夠用歐拉公式來解決下列問題嗎？

1.正二十面體有12 個頂點，那它有____條棱；

2.一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱,則它的頂點數(shù)是________；

3.某個玻璃飾品的外形是簡單多面體,它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，設(shè)該多面體表面三角形的個數(shù)為x個，八邊形的個數(shù)為y個，求x+y的值。

參考答案：1.30；2.12；3.14。