時間分?jǐn)?shù)階亞式期權(quán)定價的顯-隱和隱-顯差分方法①

謝萬姍,孫玉東

(貴州民族大學(xué)a.數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,b.商學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

0 引 言

自股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來,大量學(xué)者一直對期權(quán)定價問題進(jìn)行研究,在價格波動的情況下亞式期權(quán)比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)更實(shí)惠。近幾年來,關(guān)于期權(quán)定價的數(shù)值差分方法的重要性已經(jīng)被學(xué)術(shù)界廣泛認(rèn)可,文獻(xiàn)[1]研究了高階拉格朗日-伽遼金方法求解亞式期權(quán)的偏微分方程,并利用迭代方法進(jìn)行數(shù)值求解.文獻(xiàn)[2]說明了空間-時間分?jǐn)?shù)階的對流擴(kuò)散方程求數(shù)值解法,運(yùn)用隱式差分方法研究了算術(shù)平均期權(quán)定價問題。文獻(xiàn)[3-4]提出了算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)[5]的數(shù)值定價方法,并將亞式期權(quán)的偏微分方程從二維空間變量降維到一維空間變量。文獻(xiàn)[6]給出了一種時空分?jǐn)?shù)階歐式期權(quán)定價模型,用快速雙共軛梯度穩(wěn)定方法來求解數(shù)值格式。文獻(xiàn)[7]在分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散Heston模型下研究了亞式期權(quán)定價,并利用Gronwall不等式,給出Heston金融資產(chǎn)模型的有界性和連續(xù)性。文獻(xiàn)[8]用有限差分方法和空間的Legendre譜方法考慮了時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解,主要由標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)散方程的一階時間導(dǎo)數(shù)替換為α階的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)[9]針對于分?jǐn)?shù)階時變Black-Scholes(B-S)模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價,提出了隱式差分方法求解亞式期權(quán)問題,采用不等式放大技術(shù)證明了差分格式的穩(wěn)定性及收斂性。文獻(xiàn)[10]對于時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下的歐式期權(quán)定價問題,提出了顯-隱差分格式和隱-顯差分格式,并用傅里葉方法證明了穩(wěn)定性及收斂性。

對于時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下的數(shù)值差分方法研究相對較少,只有文獻(xiàn)[9]運(yùn)用隱式差分方法得到了時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價的一種數(shù)值解法.受到文獻(xiàn)[9-10]的啟發(fā),考慮時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)問題,通過古典顯式格式與古典隱式格式交叉運(yùn)用的思想,提出了兩種差分格式,并結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法和傅里葉方法證明差分格式的穩(wěn)定性及收斂性。因此,對分?jǐn)?shù)階Black-Scholes方程下期權(quán)定價的數(shù)值差分方法研究,即有非常重要的理論意義,又有重要實(shí)際應(yīng)用價值。

1 時間分?jǐn)?shù)階亞式期權(quán)

假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)價格S(t)遵循幾何布朗運(yùn)動[4]

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dB(t)

其中,r是無風(fēng)險利率,σ是波動率,B(t)是在風(fēng)險中性測度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.讓I(t)表示標(biāo)的資產(chǎn)價格運(yùn)行總和

故標(biāo)的資產(chǎn)價格運(yùn)行總和I(t)的平均值為A(t)=I(t)/t.連續(xù)算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)價格C(t,S,I)滿足以下二維空間變量偏微分方程(PDE)和邊值條件[3-4]

C(T,S,I)=max((I/T)-E,0)

其中T為到期日,E為執(zhí)行價格.

由于上式是計算量較大的二維偏微分方程,需要將它變?yōu)橐痪S偏微分方程,則變量變換[3-4]

x=(E-(I/T))/S,C(t,S,I)=SV(t,x)

因此,二維偏微分方程通過上式變換得一維空間變量的偏微分方程[4]

已知C(t,S,I)=SV(t,x)得V(t,x)是亞式期權(quán)價格的解。

從文獻(xiàn)[9]可得,時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下亞式期權(quán)的偏微分方程及邊值條件為

其中0<α<1,時間微分采用右Riemann-Liouville微分[11-12],要使它滿足差分方法,令t=T-τ,從而就有

上式的偏微分方程通過U(τ,x)=V(T-τ,x)變換易得[9]

(1)

時間分?jǐn)?shù)階微分關(guān)于τ滿足U(τ,x)∈C(1),令s=τ-η,對任意的0<α<1,則有

根據(jù)以上的時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程,接下來構(gòu)造偏微分方程的顯-隱式差分格式。

2 顯-隱式差分格式的構(gòu)造

對(1)式的時間變量和空間變量進(jìn)行等距網(wǎng)格劃分,不妨令

τk=jΔt,j=0,1,2,…,N,xi=ih,i=0,1,2,…,M

其中Δt=T/N和h=X/M分別表示時間步長與空間步長,為了提高差分精度選擇中心差分格式.對空間變量進(jìn)行顯式的一階和二階中心差分離散化

(2)

O(h2)

(3)

再進(jìn)行隱式的一階和二階中心差分離散化

O(h2)

(4)

(5)

在點(diǎn)(τj,xi)上亞式期權(quán)的主方程式為

(6)

(7)

再將式(4)和式(5)帶入式(6)得到古典隱式格式

(8)

時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(τj,xi)上的離散格式(0<α<1)

((k+1)1-α-k1-α)+O(Δt2-α)

(9)

其中以上參數(shù)表示

接下來,忽略誤差,并構(gòu)造顯-隱式差分格式的時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes方程如下:

在奇數(shù)層上,把式(9)帶入式(7),可得

在偶數(shù)層上,把式(9)帶入式(8),易得

將以上兩式進(jìn)行化解并分類易得顯-隱式差分格式:

(10)

基于以上構(gòu)造的顯-隱式差分格式,接下來證明差分格式的理論分析。

3 顯-隱式差分格式的理論分析

3.1 顯-隱式差分格式的穩(wěn)定性

(11)

其中參數(shù)表示如下

‵a=-(a+b),‵b=d+2a,‵c=b-a

a′=a+b,b′=-2a,c′=a-b,dk=mk-mk+2

將式(11)寫成最簡矩陣形式

當(dāng)‵a<0,‵b>0,‵c<0且滿足‵b-|‵a+‵c|>0時,則矩陣G1是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,當(dāng)|G1|≠0時,G1是可逆矩陣,則系數(shù)矩陣G1為非奇異矩陣。

當(dāng)a′>0,b′<0,c′>0時,且有|G2|≠0,則系數(shù)矩陣G2是可逆矩陣,且G2又為非奇異矩陣,故格式解是存在唯一解的。

根據(jù)以上結(jié)論得出如下定理:

定理3.1 時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)的顯-隱式差分格式(10)存在唯一解。

引理3.1 通過函數(shù)m(x)=x1-α(x≥1)的性質(zhì),得到以下的結(jié)論[2]:

0

定理3.2 在時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下,算術(shù)平均亞式期權(quán)的顯-隱式差分格式(10)關(guān)于范數(shù)無條件穩(wěn)定。

對εj(x)進(jìn)行傅里葉方法展開,可有

根據(jù)Parseval定理,可知

因此,可假設(shè)方程的誤差解形式

當(dāng)s=1時,運(yùn)用式(10)的顯式差分格式,所得

dμ1=[(a+b)exp(iλh)-2a+(a-b)exp(-iλh)]μ0

因?yàn)閑xp(±iλh)=cosλh±isinλh,變換后為

(12)

再結(jié)合式(12)進(jìn)行不等式放大技術(shù),可得

其中C是任意大于零的常數(shù)。

[-(a+b)exp(iλh)+(2a+d)+

(b-a)exp(-iλh)]μ2=m2jdμ0

再結(jié)合式(12)進(jìn)行不等式放大技術(shù),易得

其中C是任意大于零的常數(shù)。

當(dāng)s=2j時,可假設(shè)|μ2j|≤C|μ0|成立,其中C是任意大于零的常數(shù)。

[-(a+b)exp(iλh)+(d+2a)+

(b-a)exp(-iλh)]μ2j+1=[(a+b)exp(iλh)-

2a+(a-b)exp(-iλh)]μ2j-1+

(m2j+m2j-1)dμ0

再結(jié)合式(12)進(jìn)行不等式放大技術(shù),可得

|-(21-α-1)d‖μ2j|+|(m2j+m2j-1)d‖μ0|≤

基于以上得|μ2j+1|≤C|μ0|,其中C是任意的正常數(shù)。

|εj|≤C|ε0|,j=0,1,…,N-1

從而命題結(jié)論成立。

3.2 顯-隱式差分格式的收斂性

定理3.3 在時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下,算術(shù)平均亞式期權(quán)的顯-隱式差分格式(10)是關(guān)于范數(shù)無條件收斂,

其中C是大于零的常數(shù),其收斂階為O(Δt2-α+h2)。

證明定義兩個網(wǎng)格函數(shù)

對ξj(x)和Rj(x)進(jìn)行傅里葉方法展開,可有

其中

分別定義ξj(x)和Rj(x)的范數(shù),則有

根據(jù)Parseval定理,可知

其中

M-1,k=0,…,M-1.

基于以上的分析,可假設(shè)

其中C是任意大于零的常數(shù)。

dζ1=Δtαr1,

對上式進(jìn)行不等式放大技術(shù),可得

其中C是任意大于零的常數(shù)。

[-(a+b)exp(iλh)+(2a+d)+

(b-a)exp(-iλh)]ζ2=Δtαr2,

再結(jié)合式(12)進(jìn)行不等式放大技術(shù),易知

其中C是任意大于零的常數(shù)。

[-(a+b)exp(iλh)+(d+2a)+

(b-a)exp(-iλh)]μ2j+1=

[(a+b)exp(iλh)-2a+

(a-b)exp(-iλh)]μ2j-1+

ΔtαR2j+1

再結(jié)合式(12)進(jìn)行不等式放大技術(shù),易得

|-(21-α-1)d‖μ2j|+

|(m2j+m2j-1)d‖μ0|+C1Δtα|r1|≤

已知jαΔtα≤Tα,可計算得

基于以上分析可知

根據(jù)‖Rj‖,‖ξj(x)‖2和‖Rj(x)‖2的值計算得

從而命題結(jié)論成立。

4 隱-顯式差分格式

構(gòu)造時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型的隱-顯式差分格式如下:

在奇數(shù)層上,把式(9)帶入式(8),易得

在偶數(shù)層上,把式(9)帶入式(7),可有

把上面兩式進(jìn)行分類運(yùn)算易得隱-顯式差分格式:

(13)

定理4.1 在時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下,算術(shù)平均亞式期權(quán)的隱-顯式差分格式(13)關(guān)于范數(shù)無條件穩(wěn)定,以及關(guān)于范數(shù)無條件收斂,

其中C是大于零的常數(shù),其收斂階為O(Δt2-α+h2)。

(14)

式(14)是時間分?jǐn)?shù)階B-S模型的Richardson格式。

其中兩種差分格式都是雙步格式,一半步長是隱式差分格式,另一半步長是顯式差分格式,區(qū)別在于一個在奇數(shù)層上,另一個在偶數(shù)層上,其順序不一樣,但其計算量差不多。

5 數(shù)值模擬

本節(jié)運(yùn)用R軟件對差分格式(以顯-隱式差分格式為例)進(jìn)行數(shù)值模擬,既驗(yàn)證差分格式的可行性,又對亞式期權(quán)進(jìn)行價值分析。根據(jù)這些參數(shù)(見表1),在到期日T下,根據(jù)不同的參數(shù)α繪來制出股票價格與期權(quán)價格的變化趨勢圖(如圖1),在參數(shù)α下,取不同的到期日T來計算亞式期權(quán)的價格(見表2)。

表1 模擬參數(shù)

由表2可表明,當(dāng)參數(shù)α≤1/2時亞式期權(quán)的價格是隨著到期日的增加而遞減;當(dāng)參數(shù)α>1/2時,到期日T增加亞式期權(quán)的價值逐漸遞增。由圖1可知,當(dāng)參數(shù)α=1/3和α=1/2時,股票價格處于2～6之間,到期日T=1大于其他到期日T的期權(quán)價值;當(dāng)參數(shù)α=2/3和α=4/5時,股票價格處于6以前,隨著到期日T的增加期權(quán)價值逐漸增加.其中股票價格處于2以前,到期日T=1小于其他到期日T的期權(quán)價值。

表2 亞式期權(quán)的價格U

(a)當(dāng)α=1/3時

設(shè)定無風(fēng)險利率r為5%,風(fēng)險資產(chǎn)的波動率σ為30%,到期日T為9個月,根據(jù)這些參數(shù)(見表1),參數(shù)α分別為0.1,0.3,0.5,0.7和0.9來繪制出股票價格與亞式期權(quán)價格的變化曲線圖(如圖2)?；趫D2易知,在股票價格固定的情況下,隨著參數(shù)α的增加亞式期權(quán)價格也在逐漸增加。

圖2 股票價格S下亞式期權(quán)的價格U

設(shè)定無風(fēng)險利率r為0.05,到期日T為9個月,參數(shù)α為1/3,根據(jù)這些參數(shù)(見表1),空間變量分別為10,20,30,40和50來繪制出股票價格與亞式期權(quán)價格的變化曲線圖(如圖3)。根據(jù)圖3可了解,在股票價格下,隨著空間變量的增加亞式期權(quán)價格變化不一。當(dāng)股票價格處于2以前和6以后時,不同空間變量隨著股票價格變化的亞式期權(quán)價格是趨近于同一值;當(dāng)股票價格處于2和6之間時,空間變量M=10大于其他空間變量上的亞式期權(quán)價格?；谝陨戏治隹芍?時間分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階的亞式期權(quán)價值變化趨勢相似。因此,數(shù)值模擬的結(jié)果與理論分析相符,采用差分格式解決此類問題可行的。

圖3 股票價格S下亞式期權(quán)的價格U

6 總 結(jié)

運(yùn)用顯-隱式差分方法和隱-顯式差分方法研究了時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價問題。通過亞式期權(quán)的古典顯式差分格式與古典隱式差分格式進(jìn)行交叉運(yùn)用得到了顯-隱式差分格式和隱-顯式差分格式,并結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法和傅里葉方法證明了差分格式的穩(wěn)定性及收斂性,其收斂階O(Δt2-α+h2)。在R軟件中分析的數(shù)值模擬結(jié)果和理論分析相符,說明了差分格式求解時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型是可行的。在相同的Black-Scholes模型下,本文研究的方法對其它類型時間分?jǐn)?shù)階期權(quán)依然可進(jìn)行討論,例如:時間分?jǐn)?shù)階障礙期權(quán),也可進(jìn)一步研究其他數(shù)值方法,使其能夠在實(shí)際應(yīng)用和理論意義中發(fā)揮作用。