寬象限相依序列移動平均過程的矩完全收斂性

潘曉映, 胡天琳, 王鑫蕊, 施建華,2,3,4*

（1.閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建漳州363000；2.福建省粒計算及其應(yīng)用重點實驗室,福建漳州363000；3.福建省數(shù)據(jù)科學與統(tǒng)計重點實驗室,福建漳州363000；4.數(shù)字福建氣象大數(shù)據(jù)研究所,福建漳州363000）

概率極限理論是概率統(tǒng)計領(lǐng)域的一個主要分支，許多學者對其進行了研究．眾所周知，獨立隨機變量的極限理論已經(jīng)發(fā)展得非常完善，但現(xiàn)實世界中不獨立情形普遍存在，關(guān)于隨機變量的相依性概念隨之被提出，并引起眾多學者的興趣．其中，較為寬泛的一種相依結(jié)構(gòu)是寬象限相依(widely orthant depen‐dent，WOD)序列，它是在2013年由Wang等[1]所提出的，具體定義如下：

定義1設(shè){Yn,n≥1}為隨機變量，若存在正實數(shù)序列{gU(n),n≥1}，對任意的n≥1 和yi∈(-∞,∞),1 ≤i≤n，滿足

則稱{Yn,n≥1}為WUOD(widely upper orthant dependent)隨機變量序列；若存在正實數(shù)序列對任意的n≥ 1 和yi∈(-∞,∞),1 ≤i≤n，滿足

則稱{Yn,n≥1}為WLOD(widely lower orthant dependent)隨機變量序列．如果{Yn,n≥1}既是WUOD 序列，又是WLOD序列，則稱它為WOD隨機變量序列，其中，gU(n)和gL(n)為控制系數(shù)．

WOD 是非常重要的一種相依結(jié)構(gòu)，它包含了獨立變量，NA(negatively associated)變量，NOD(nega‐tively orthant dependent)變量，END(extended negatively dependent)變量等作為特例．因此，對于WOD概率極限的研究具有重要的理論意義與應(yīng)用價值．自WOD的定義被提出后，許多學者紛紛對其進行研究，并獲得了一些重要的結(jié)論．如Wang 等[2]得到了具有WOD 增量的隨機游走的一些基本更新定理；Wang 等[3]研究了帶有控制變化尾的非同分布WOD 隨機變量部分和的精確大偏差；Shen[4]研究建立了關(guān)于WOD 隨機變量的Bernstein 型不等式；Cheng[5]獲得了帶有重尾的WOD 隨機變量隨機和的尾概率；Wang 等[6]得到了WOD 樣本下密度函數(shù)的最近鄰估計的相合性．Shen 等[7]研究了基本W(wǎng)OD 樣本的生存函數(shù)和失效率函數(shù)估計量的漸進性質(zhì)．除此之外，WOD隨機變量的矩完全收斂性也受到諸多學者的關(guān)注．

自1988 年Chow[8]提出的矩完全收斂的定義，先后有章志華等[9]，邱德華等[10]，張玉等[11]，Wu 等[12]，邱德華等[13]分別得到φ-混合隨機變量序列，WOD 隨機變量序列，NSD 隨機變量陣列，ρ*-混合隨機變量序列，同分布END隨機變量序列的矩完全收斂．關(guān)于矩完全收斂的定義如下．

定義2設(shè){Xn,n≥1}是一隨機變量序列，an> 0,bn> 0和q> 0，如果對于任意的ε> 0，

則稱{Xn,n≥1}是q階矩完全收斂，這里的a+= max {0,a}．

近年來，移動平均過程{Xn,n≥1}的極限理論也引起了許多學者的興趣，下面引入移動平均過程的定義．

定義3設(shè){Yi,- ∞

稱{Xn,n≥1}為由{Yi,- ∞

隨機變量序列{Yi,- ∞

移動平均過程Xn=在時間序列分析、金融數(shù)學與信息論等領(lǐng)域上有著極其廣泛的應(yīng)用．在解決實際問題的過程中，隨機變量序列{Yi,- ∞

對此，許多學者對由相依隨機變量序列{Yi,- ∞

1 主要結(jié)果

受邱德華等[22]工作的啟發(fā)，考慮由WOD 隨機變量序列生成的移動平均過程的矩完全收斂性，利用三段截尾技術(shù)[23-25]并結(jié)合Menshov-Rademacher型矩不等式，得到了移動平均部分和的最大值矩完全收斂性，結(jié)論將END隨機變量序列推廣到更加寬泛的WOD隨機變量序列上．

定義4設(shè){Yi,- ∞ 0，對任意的-∞ 0，有

則稱{Yi,- ∞

本文約定，C總表示與n無關(guān)的常數(shù)，它在不同位置可以代表不同的值，即使在同一式子中亦是如此．{Yi,- ∞

定理1設(shè)p> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞

則對于任意的ε> 0，

推論1設(shè)p> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞ 0，有

定理2設(shè)p> 0,v> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞

則對于任意的ε> 0，

注意到，當p= 1時，可以由定理2得到推論2．

推論2設(shè)v> 1,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞ 0，有

2 引理

引理1[1]設(shè){Xn,n≥1}是WOD 隨機變量 序列，{fn(·),n≥1}均是非降（或非增）的函數(shù)列，則{fn(Xn),n≥1}仍是WOD隨機變量序列．

引理2[26](Menshov-Rademacher 型不等式) 設(shè)p≥1，{Yn,n≥1}是均值為零的WOD 隨機變量序列，并且對任意的n≥ 1 ，都有E|Yn|p< ∞，則存在僅依賴于p的正常數(shù)c1(p)，c2(p)得

引理3[27]設(shè){Yi,- ∞ 0,x> 0,- ∞

引理4[12]設(shè){Yi,1 ≤i≤n}和{Zi,1 ≤i≤n}是隨機變量序列，那么對任意的p>v> 0,a> 0,ε> 0，以下不等式成立：

其中當0 1時，Cv=2v-1．

3 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 由式(2)和可知

從而Xn幾乎處處有意義．

借鑒NA、NQD序列下的三段截尾技術(shù)[23-25]，對于固定的n≥1和-∞

注意到EYj= 0，因此有則

令

結(jié)合引理4有

要證明式(4)，我們只需要證明I1< ∞,I2< ∞，下面我們分為兩種情形進行討論．

情形1p≥1

對于I2，結(jié)合式(3)，引理3以及Znj的定義有

對于I11，結(jié)合H?lder不等式，Jensen不等式，引理2，引理3以及的定義有

接下來證明I12< ∞，我們分為以下兩個情形．

情形1.1p≥2

取q>結(jié)合引理3，EX2< ∞，有

情形1.21

類似于式(13)，取q> 2，有

綜上，I1< ∞.

情形20

關(guān)于I2，結(jié)合式(3)以及引理3，有

根據(jù)式(11)，關(guān)于I11和I12，我們通過引理3以及式(3)分別有

綜上所述，定理1證明完畢．

推論1的證明根據(jù)上述定理1的證明，有

推論1證畢．

定理2的證明上述的相關(guān)符號在下面證明中將繼續(xù)采用，取q> 2，為了完成的證明，分以下三種情形進行討論．

情形10

情形21

由式(11)可知，欲證I1< ∞，只需證明I11,I12< ∞．根據(jù)式(6)及式(12)，有

類似于式(14)，由于q> 2，有

關(guān)于I2′，由引理2得

由此可得，式(7)在1

情形3v≥2

注意q>p∨v，很容易由式(20)和式(21)知I1< ∞，因此只需要證明I2′ < ∞．根據(jù)引理2，有

根據(jù)式(6)得

關(guān)于I22′，有

綜上所述，定理2證畢．

推論2的證明當1 2，類似于式(20)，式(21)和式(22)分別有

因此，當1

當v≥2時，我們只需要證明I2′ < ∞，類似于式(24)，式(25)分別有

綜上所述，推論2證畢.