堅(jiān)持合理導(dǎo)向 考查幾何本質(zhì)

錢馮良

[摘 要]有關(guān)圖形變換的平面幾何試題主要基于核心素養(yǎng)進(jìn)行命題，突出考查平面幾何的主要知識(shí)，關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的融合，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章以一道模擬試題為例，從試題評(píng)價(jià)顯素養(yǎng)、試題多解展思維、試題導(dǎo)向促教學(xué)三個(gè)方面進(jìn)行深度剖析.

[關(guān)鍵詞]平面幾何;核心素養(yǎng);模擬考試

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）35-0029-02

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中明確給出了核心素養(yǎng)的概念：學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.有關(guān)圖形變換的平面幾何試題主要基于核心素養(yǎng)進(jìn)行命題，對(duì)幾何教學(xué)中教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有很好的導(dǎo)向作用. 本文以一道模擬試題為例進(jìn)行解析，品味其中的內(nèi)涵，并從中獲得教學(xué)啟示.

【題目】如圖1，菱形[ABCD]中，點(diǎn)[E]，[F]分別在邊[AB]，[BC]上.將菱形沿[EF]折疊，點(diǎn)[B]恰好落在邊[AD]上的點(diǎn)[G]處.若[∠B=45°]，[AE=2]，[BE=22]，則[tan∠EFG]的值是? ? ? ? ? ? ? ? .

一、試題評(píng)價(jià)顯素養(yǎng)

本題表面是在求三角函數(shù)值，實(shí)際上聚焦的是特殊平行四邊形的折疊問(wèn)題，方法是常用方法，體現(xiàn)對(duì)通用通法的考查.本題不僅注重折疊問(wèn)題的基本知識(shí)和基本技能（幾何應(yīng)用）的考查，而且著重考查學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，要求學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等）來(lái)解決問(wèn)題，最需要的是學(xué)生根據(jù)以往的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，類比之前的研究方法.這些就是新課標(biāo)下數(shù)學(xué)考查素養(yǎng)評(píng)價(jià)的體現(xiàn)，可引導(dǎo)教師更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

本題考查了菱形、相似、全等、勾股定理、圖形變換等核心知識(shí)與基本技能.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生嘗試尋找基本圖形，借助相似或者勾股定理求線段長(zhǎng)度，從而發(fā)展數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng).

二、試題多解展思維

著名數(shù)學(xué)家和教育家波利亞曾指出：“沿著不同的方向去思考，重組眼前的信息和記憶系統(tǒng)中的信息，尋求思維的多向性.它避免了考慮問(wèn)題的單一性，使思維不至于僵化.” 本題中求的是[tan∠EFG]的值，也就是求某個(gè)直角三角形兩條直角邊的比，即求線段的長(zhǎng)度.如何多角度地轉(zhuǎn)化求解需要的線段，就成為本題的關(guān)鍵.本題可作[HI]垂直[BC]于點(diǎn)[I]，交[DA]延長(zhǎng)線于點(diǎn)[H]（如圖2），把求[tan∠EFG]的值先變?yōu)榍骩tan∠EFI]的值，可得到[AH=EH=1]，[EI=BI=2]，[HG=7]，這樣一來(lái)就需要求出[IF]，可設(shè)[IF=x].

1.折疊還原構(gòu)勾股

在折疊問(wèn)題中，求線段長(zhǎng)時(shí)，常設(shè)未知數(shù)，找到或者構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問(wèn)題.

如圖2，作GK ⊥ BC，構(gòu)造Rt△GKF，因?yàn)閇IF=x]，則[GF=BF=2+x]，因?yàn)閇GK2+FK2=GF2]，所以[32+（7-x）2=（2+x）2]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

2.折疊轉(zhuǎn)化構(gòu)等腰

折疊問(wèn)題中常常出現(xiàn)“角平分線+平行線→等腰三角形”的情況，即折疊加上平行線會(huì)出現(xiàn)等腰三角形.本題是菱形背景的折疊問(wèn)題，我們應(yīng)馬上想到這個(gè)基本原理，去尋找相關(guān)等腰三角形.

如圖3，延長(zhǎng)[DA]和[FE]，交于點(diǎn)[J].因?yàn)檎郫B，所以[∠EFB=∠EFG]，又因?yàn)閇AD∥BC]，所以[∠GJF=∠EFB]，推出[∠GJF=∠EFG]，從而得到等腰[△GJF]，[GJ=GF]. 因?yàn)閇IF=x]，則[GF=BF=2+x]，[JH=0.5x]，可得[0.5x+7=2+x]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

3.垂直平分構(gòu)相似

折疊問(wèn)題中利用“折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段”這一重要結(jié)論，構(gòu)造相似三角形.

如圖4，連接[BG]交[HI]于點(diǎn)[O]，[Rt△HOG∽R(shí)t△IOB]，所以[HOIO=HGIB]，設(shè)[IO=x]，則[HO=3-x]，所以[3-xx=72]，[x=27-4]，而利用同角的余角相等，所以[tan∠EFG=tan∠EFI= tan∠BOI=227-4=7+23].

4.合理切換，圖形分割構(gòu)等積

在研究問(wèn)題的過(guò)程中，如果從面積的角度審視一些圖形關(guān)系，通過(guò)面積的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化圖形，借助對(duì)稱進(jìn)行剪拼、利用平行線等實(shí)現(xiàn)等積變換圖形，往往可取得事半功倍的效果.

本題中[△BEF]和[△AEG]的底和高都能表示，而[△GEF]是[△BEF]折疊得到的，同時(shí)梯形[AGFB]的上下底和高也能表示，所以可以適當(dāng)?shù)赝娣e相等的方向轉(zhuǎn)化.

如圖5可以得到[S梯形AGFB=S△BEF+S△GEF+S△AEG]，[S△BEF=12BF×EI=12×2+x×2=2+x]，[S△AEG=12AG×EH=12×7-1×1=12×7-1]，[S梯形AGFB=] [AG+BF×IH2=7-1+2+x×32]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

5.數(shù)形結(jié)合，由形轉(zhuǎn)數(shù)構(gòu)坐標(biāo)

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，滲透在新教材中.而平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)學(xué)研究的一種重要工具，它更是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).可是在新教材中，坐標(biāo)系側(cè)重于數(shù)結(jié)合形解決代數(shù)問(wèn)題，而形結(jié)合數(shù)解決幾何題則較少涉及.而實(shí)際做題和教學(xué)中，我們也把形結(jié)合數(shù)作為重點(diǎn)引導(dǎo)方向.

本題中，如圖6，以點(diǎn)[B]為原點(diǎn)，以[BC]所在直線為[x]軸，過(guò)點(diǎn)[B]的垂線為[y]軸.連接[BG]， 可求出點(diǎn)[B（0， 0）]，[ G（2+7，3）]，[E（2， 2）] ，則可求出一次函數(shù)[BG]：[y=32+7x]，因?yàn)閇BG⊥EF]，易得一次函數(shù)[EF]：[y=-2+73x+10+273]，則求得點(diǎn)[F（27-2， 0）]，[BI=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

通過(guò)上面的解答，可以看到在固定形狀和大小的幾何圖形中進(jìn)行證明或計(jì)算，利用平面坐標(biāo)系可以充分體現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合法解題的優(yōu)越性，使學(xué)生加深對(duì)平面直角坐標(biāo)系的理解，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也為學(xué)生以后更好地學(xué)習(xí)解析幾何打下基礎(chǔ).

三、試題導(dǎo)向促教學(xué)

1.加強(qiáng)解題反思，探究題目本質(zhì)

幾何的綜合題難度往往比較大，但也有相應(yīng)的解題方法.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入探究題目的本質(zhì)特征，而不是一味地去刷題.當(dāng)遇到同一類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)反思其中的異同點(diǎn)，尋求通性通法.在幾何專題課中，多采用“多題一課”“一題一課”進(jìn)行教學(xué)，嘗試“一題多解”“多解歸一”，在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，積累處理障礙的技巧和方法.

對(duì)于幾何中的折疊問(wèn)題，它的變換性給學(xué)生帶來(lái)了困難，當(dāng)然其變換的過(guò)程中也有不變的量，這是我們解決折疊問(wèn)題的切入點(diǎn)，抓住其中隱含的信息是關(guān)鍵.如本題，折疊的背后一定隱含著對(duì)稱性、角平分線，甚至有相似三角形和等腰三角形等.

2.注重思維發(fā)展，運(yùn)用幾何意識(shí)

章建躍博士說(shuō)：“幾何意識(shí)就是要善于學(xué)會(huì)類比學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)遷移知識(shí)，聯(lián)系相關(guān)的要素.”教師要善于教會(huì)學(xué)生在“做”與“思考”的過(guò)程中逐步積累幾何知識(shí)，逐步樹(shù)立幾何意識(shí).教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法和思想去分析問(wèn)題，從不同的角度剖析數(shù)學(xué)現(xiàn)象和規(guī)律，逐步提高學(xué)生的思維水平和思維能力.讓學(xué)生由“單向思維”往“多向、逆向思維”上轉(zhuǎn)變.對(duì)于幾何問(wèn)題，學(xué)生用不同的解題思路，從發(fā)散的思維角度去思考，就是思維發(fā)展的重要標(biāo)志.本題中從多個(gè)角度去解題，從數(shù)、形角度認(rèn)識(shí)幾何，通過(guò)這樣的操作勢(shì)必會(huì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)“創(chuàng)造數(shù)學(xué)”，真正感悟幾何本質(zhì).

3.關(guān)注核心素養(yǎng)，加強(qiáng)識(shí)圖教學(xué)

幾何直觀是核心素養(yǎng)之一.認(rèn)識(shí)幾何基本圖形是解決幾何問(wèn)題的突破口.在平時(shí)的教學(xué)中，教師需要注重對(duì)一些典型試題的幾何圖形進(jìn)行挖掘，有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本圖形的積累，從而增強(qiáng)學(xué)生的識(shí)圖能力.

在實(shí)際教學(xué)中，教師要舍得花時(shí)間讓學(xué)生思考、積累和總結(jié)基本圖形，在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形，特別是發(fā)現(xiàn)這些圖形所擁有的“共同要素”，并進(jìn)一步得到相應(yīng)的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，這是識(shí)圖的基本方法，更是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的一個(gè)重要落腳點(diǎn).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐[M].北京：人民教育出版社，2015.

[2]? 羅增儒.指向素養(yǎng)教學(xué)的課堂研訓(xùn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（7）：11-22.

[3]? 齊欣.注重一題多解與多變，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2017（9）：33-36.

（責(zé)任編輯 陳 昕）