關(guān)于n維正態(tài)分布線性函數(shù)服從正態(tài)分布的證明*

邢家省，楊義川，吳 桑

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

n維正態(tài)分布及其線性函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中起到重要作用[1-16].n維正態(tài)分布的線性函數(shù)服從正態(tài)分布是一個(gè)經(jīng)典結(jié)果，這個(gè)結(jié)果的證明方法通常有2種，一種是線性變換方法[15-16]，另一種是線性變換與特征函數(shù)相結(jié)合的方法[1-3].然而，這2種方法都涉及較多的知識(shí)，不方便掌握和使用.因此，筆者擬在已有研究成果的基礎(chǔ)上，利用線性變換的傳遞性，給出n維正態(tài)分布的線性函數(shù)服從正態(tài)分布的一種直接的證明方法.

1 相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布

利用正態(tài)分布概率密度的基本性質(zhì)，可得正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍是正態(tài)隨機(jī)變量，獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的和仍是正態(tài)隨機(jī)變量，由此可進(jìn)一步得到相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布.

Z=k1X1+k2X2+b=k1(X1-μ1)+k2(X2-μ2)+(k1μ1+k2μ2+b)～

證畢.

利用引理3和數(shù)學(xué)歸納法，可將2個(gè)獨(dú)立變量推廣至多個(gè)獨(dú)立變量，得到如下結(jié)果：

由引理4可知，相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性函數(shù)服從正態(tài)分布.

2 n維正態(tài)分布的基本性質(zhì)

設(shè)(X1,X2,…,Xn)是n維隨機(jī)變量，若其概率密度

其中x=(x1,x2,…,xn)T,μ=(μ1,μ2,…,μn)T,Σ=(Cij)n×n是對(duì)稱正定矩陣，則稱(X1,X2,…,Xn)是n維正態(tài)隨機(jī)變量[1-16]，或稱(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，記為X=(X1,X2,…,Xn)～Nn(μ,Σ).

下面介紹用雅可比行列式進(jìn)行不同隨機(jī)變量間線性變換的方法.雅可比行列式度量了單位立方體在應(yīng)用映射時(shí)的體積變化量，可逆映射可以使用反映射的雅可比矩陣定義變換變量的概率密度函數(shù)，其具體變換公式如下：

g(y1,y2,…,yn)=f(x1(y1,y2,…,yn),x2(y1,y2,…,yn),…,xn(y1,y2,…,yn))·|J|.

引理6[12-16]設(shè)X～Nn(μ，Σ)，A為n階可逆矩陣，則有Y=AX～Nn(Aμ,AΣAT).

于是Y～Nn(Aμ,AΣAT).證畢.

由引理6可知，服從一般多維正態(tài)分布的隨機(jī)變量在可逆矩陣線性變換下仍服從正態(tài)分布，由此可知可逆矩陣線性變換后的隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

引理7[12-16]設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，則存在可逆矩陣B，使得

(U1,U2,…,Un)T=B-1((X1,X2,…,Xn)T-(μ1,μ2,…,μn)T)

服從n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

證明設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，其概率密度

因Σ是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，故存在可逆矩陣B，使得Σ=BBT，于是

B-1Σ(B-1)T=B-1(BBT)(B-1)T=(B-1B)(B-1B)T=In.

做變換U=B-1(X-μ)，利用條件X～Nn(μ,Σ)和引理6可得U～Nn(O,B-1Σ(B-1)T)，即U～Nn(O,In).因此，存在可逆矩陣B，使得U=B-1(X-μ)服從n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.證畢.

定理1設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，且Σ=BBT，則存在相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的U1，U2，…,Un，使得

(X1,X2,…,Xn)T=B(U1,U2,…,Un)T+(μ1,μ2,…,μn)T.

由引理7，定理1得證.

利用定理1，可以證明X=(X1,X2,…,Xn)T服從n維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣

E((X-EX)(X-EX)T)=BBT=Σ.

定理1溝通了一般多維正態(tài)分布與多維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，也說(shuō)明了多維正態(tài)分布的來(lái)源方式.利用定理1，可以研究多維正態(tài)分布的特征函數(shù)的計(jì)算公式和多維正態(tài)的性質(zhì).

證明由定理1可知，存在可逆矩陣B，n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布U，使得X=BU+μ.由于

Y=(k1,k2,…,kn)(X1,X2,…,Xn)T+b=(k1,k2,…,kn)B(U1,U2,…,Un)T+

定理2的證明是將定理1的結(jié)果代入，經(jīng)過(guò)線性變換的傳遞表示為獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，即證明了n維正態(tài)分布的線性函數(shù)服從正態(tài)分布，這是一種簡(jiǎn)便、直接的證明方法.

3 n維正態(tài)分布的邊沿分布服從正態(tài)分布

n維正態(tài)分布的邊沿分布仍服從正態(tài)分布，所以服從n維正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合可以是其各邊沿分布的線性組合，問(wèn)題可借助該思路進(jìn)行討論.

首先證明特殊的協(xié)方差矩陣下n維正態(tài)分布的邊沿分布服從正態(tài)分布.

引理8[15-16]設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，Σ>O，將矩陣剖分為

其中Σ11是r階方陣.若Σ12=Σ21=O，則X(1)與X(2)相互獨(dú)立，且X(i)～Nn(μ(i),Σii)，i=1,2.

(1)

(1)式等號(hào)右端第1個(gè)方括號(hào)內(nèi)是r維正態(tài)分布的密度函數(shù)，即X(1)～Nr(μ(1),Σ11)，同理X(2)～Nn-r(μ(2),Σ22).由于X的密度函數(shù)等于X(1)的密度函數(shù)與X(2)的密度函數(shù)的乘積，因此X(1)與X(2)相互獨(dú)立.證畢.

下面將特殊的協(xié)方差陣推廣至一般情況.

定理3[15-16]設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，Σ>O，將矩陣剖分為

其中Σ11是r階方陣，則有X(1)～Nr(μ(1),Σ11).

由引理8可得X(1)～Nr(μ(1),Σ11).證畢.

定理4[15-16]設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T～Nn(μ,Σ)，Σ>O，A為r×n階矩陣，Rank(A)=r，b為r維列向量，則有Y=AX+b～Nn(Aμ+b,AΣAT).

由引理6可知AX～Nr(Aμ,AΣAT)，AX為r維正態(tài)分布.由正態(tài)分布的期望與方差運(yùn)算法則可知Y=AX+b～Nr(Aμ+b,AΣAT).證畢.

證明設(shè)A為非0行向量(k1,k2,…,kn)，這時(shí)Rank(A)=1，于是

4 四維正態(tài)分布關(guān)于四階矩的一個(gè)性質(zhì)

利用多維正態(tài)分布的特征函數(shù)理論可討論多維正態(tài)分布更多的性質(zhì)[1-3,17-21].多維正態(tài)分布有各種不同的性質(zhì)，其中四維正態(tài)分布有一個(gè)特別的關(guān)于四階矩的性質(zhì).

定理5[3]設(shè)(X1,X2,X3,X4)服從四維正態(tài)分布，且EXk=0,k=1,2,3,4，則有

E(X1X2X3X4)=E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3).

證明由條件可知，Cij=cov(Xi,Xj)=E(XiXj),i,j=1,2,3,4.四維正態(tài)分布(X1,X2,X3,X4)的特征函數(shù)[1-3]

由矩與特征函數(shù)的關(guān)系可得

故結(jié)論得證.證畢.