二三混水平設(shè)計(jì)可卷型L2-偏差的新下界*

王治清，羅 彪，歐祖軍

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)被廣泛運(yùn)用到軍事、醫(yī)療、化工等領(lǐng)域.當(dāng)各因素與響應(yīng)的關(guān)系未知時(shí),均勻設(shè)計(jì)是一種非常有效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.均勻設(shè)計(jì)要求所有設(shè)計(jì)點(diǎn)都能均勻地分散在整個(gè)試驗(yàn)區(qū)域內(nèi),其均勻性采用偏差來衡量[1].基于不同的角度,學(xué)者提出了各種偏差,如中心化L2-偏差[2]、可卷型L2-偏差[3]、Lee偏差[4]、離散偏差[5]、混合偏差[6]等,其中可卷型L2-偏差具有優(yōu)良的性質(zhì),如對稱不變性和平移不變性等,因此在衡量設(shè)計(jì)的均勻性時(shí),可卷型L2-偏差是最常用的偏差.

近幾年,可卷型L2-偏差的下界問題受到廣泛關(guān)注.對于對稱因子設(shè)計(jì),Fang等[7]首次給出了二水平或三水平設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的下界,隨后學(xué)者們獲得了二水平或三水平設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的更緊的下界[8-10].對于非對稱因子設(shè)計(jì),Chatterjee等[11]給出了二三混水平設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的下界,隨后Zhou等[12]獲得了更一般的混水平設(shè)計(jì)可卷型L2-偏差的下界,Zhang等[13]給出了二三混水平設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的更緊的下界,雷軼菊[14]基于可卷型L2-偏差討論了二四混水平設(shè)計(jì)的均勻性.筆者主要探討二三混水平設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的新的下界.

1 基本概念

(1)

其中對于i=1,…,n,

引理1[13]對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),m=m1+m2,有

其中

p1,q1和p2,q2分別為以下方程組的解：

當(dāng)m1或m2=0時(shí),可得以下結(jié)論：

引理2[13]對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2)：

(1)當(dāng)m2=0時(shí),

(2)當(dāng)m1=0時(shí),

2 主要結(jié)果

對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),定義σij={k:uik=ujk,k=1,…,m1},γij={k:uik=ujk,k=m1+1,…,m}.

引理3[13]對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),有

其中p,q為非負(fù)實(shí)數(shù),且滿足p+q=n和pz(k)+qz(k+1)=c.

根據(jù)設(shè)計(jì)d的任意2行之間的重合數(shù),即設(shè)計(jì)d中任意2行對應(yīng)位置取相同值的個(gè)數(shù)，將(1)式改寫為包含參數(shù)σij,γij的形式，可得如下結(jié)論:

定理1對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),有

證明

由定理1和引理4可以得到任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2)的可卷型L2-偏差的新下界：

定理2對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),

有

特別地,對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),當(dāng)m1或m2=0時(shí),可得如下結(jié)論：

推論1對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2):

由引理1和定理2可以得到任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2)的可卷型L2-偏差改進(jìn)后的新下界:

定理3對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m13m2),有WD(d)≥LBW,其中LBW=max{LB1,LB2}.

當(dāng)m1或m2=0時(shí),由引理2和推論1可以分別得到任意兩水平設(shè)計(jì)d∈U(n;2m)和三水平設(shè)計(jì)d∈U(n;3m)的可卷型L2-偏差改進(jìn)后的新下界:

推論2對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;2m),有WD(d)≥LBW1,其中LBW1=max{LB11,LB21};對于任意設(shè)計(jì)d∈U(n;3m),有WD(d)≥LBW2,其中LBW2=max{LB12,LB22}.

3 數(shù)值實(shí)例

定義設(shè)計(jì)d的效率為Eff(d)=LBW/WD(d).當(dāng)設(shè)計(jì)Eff(d)=1時(shí),設(shè)計(jì)d為可卷型L2-偏差下的均勻設(shè)計(jì);當(dāng)Eff(d)≈1時(shí),設(shè)計(jì)d為可卷型L2-偏差下的近似均勻設(shè)計(jì).

例1考慮4個(gè)設(shè)計(jì)d1∈U(12;2336),d2∈U(12;21035),d3∈U(12;21135),d4∈U(12;21235).d1來源于文獻(xiàn)[13]的表1,d2,d3,d4來源于文獻(xiàn)[13]的表2.4個(gè)設(shè)計(jì)的可卷型L2-偏差的平方值、下界和效率見表1.從表1可知,LB2比LB1更緊,且d1,d4是均勻設(shè)計(jì),d2,d3是近似均勻設(shè)計(jì).

表1 設(shè)計(jì)d1,d2,d3,d4的可卷型L2-偏差的平方值、下界和效率Table 1 Values of Squared Wrap-Around L2-Discrepancy,Lower Bound and Efficiency for Designs of d1,d2,d3,d4

例2考慮如表2所示的設(shè)計(jì)d5∈U(12;21135),n=12,m1=11,m2=5,于是WD(d5)=68.828 0,LB1=67.856 5,LB2=67.932 9,因此Eff(d5)=0.987 0,由此可知d5是近似均勻設(shè)計(jì),且LB2比LB1更緊.

表2 設(shè)計(jì)d5Table 2 Design of d5

4 結(jié)語

基于可卷型L2-偏差的均勻性準(zhǔn)則討論了二三混水平因子設(shè)計(jì)的均勻性,獲得了其可卷型L2-偏差的新下界.數(shù)值實(shí)例表明,新下界是緊的,且與文獻(xiàn)[13]的結(jié)果相比,新下界更精確,因此新下界可作為衡量和搜索均勻設(shè)計(jì)的基準(zhǔn).此外,本研究關(guān)于二三混水平設(shè)計(jì)均勻性的討論可為高水平設(shè)計(jì)和更一般的混水平設(shè)計(jì)的均勻性研究提供參考.