基于極端沖擊的GARCH-MIDAS模型對股市波動率預測研究

張 莉,王 璐，計 玉，郝建陽

(西南交通大學 數(shù)學學院，四川 成都 611756)

金融資產(chǎn)收益率的波動在金融實踐中扮演著重要角色，是現(xiàn)代金融理論的核心內容之一。股票作為金融市場的晴雨表，對風險管理、金融監(jiān)管、投資組合決策以及金融衍生品定價等實務金融問題發(fā)揮著不可替代的作用，因此一直是學者研究的熱點問題[1-2]。對股市波動率的研究最常使用的工具是GARCH模型[3]和一系列拓展的GARCH族模型[4]。GARCH族模型因能夠較好地刻畫股票收益的動態(tài)特征，如股市的波動聚集性、波動持續(xù)性和非對稱效應等而被廣泛使用。然而，GHYSELS等[5]研究表明GARCH族模型只能對同頻數(shù)據(jù)建模。近幾年，隨著混頻數(shù)據(jù)的可得性及混頻數(shù)據(jù)在金融市場波動理論分析中的廣泛使用，GARCH族模型對于股市中的數(shù)據(jù)建模顯現(xiàn)出局限性?；诖?，ENGLE等[6]將GARCH模型和MIDAS回歸相結合提出了GARCH-MIDAS模型,該模型有優(yōu)于GARCH族模型的表現(xiàn)，可將波動率分解為長期波動和短期波動兩部分，其中長期項用于捕捉低頻波動，短期項用于捕捉高頻波動。GARCH-MIDAS模型在既沒有忽略重要信息，又沒有引入噪聲的前提下，能夠納入不同頻率的數(shù)據(jù)，減少因數(shù)據(jù)降頻引起的信息丟失問題。

股票市場的波動存在多種特征，但GARCH-MIDAS模型對股票市場波動率特征的解釋具有一定的缺陷。如金融危機、政治事件、自然災難、局部戰(zhàn)爭等重大事件都會導致股票市場的劇烈波動,劉慶富等[7]研究表明一些重大風險事件無論在熊市還是牛市均對我國股市收益產(chǎn)生顯著的影響；SCHWERT[8]研究表明1987年的股市崩盤和2007年的美國次貸危機都對股票收益產(chǎn)生巨大沖擊；CHOUDHRY[9]也指出極端事件會造成股票收益率的結構性斷裂，但GARCH-MIDAS模型是無法捕捉到股票市場中由極端事件引起的極端沖擊?；诖耍P者對GARCH-MIDAS模型進行拓展使其包含極端因素，探究改進后的模型能否提高股票收益率的預測精度。

另外，股市中還存在非對稱效應，但GARCH-MIDAS模型是無法捕捉到股市中的非對稱效應的。因此，學者們不斷對GARCH模型進行拓展，如ENGLE等[10]提出IGARCH模型來捕獲股市中的波動持續(xù)性；NELSON[11]提出的EGARCH模型和GLOSTEN等[12]提出的GJR-GARCH模型都可以用來捕捉股市中的非對稱性；MELE[13]研究發(fā)現(xiàn)非對稱效應是影響股票價格波動的一個重要因素；PAN等[14]則指出包含非對稱效應的GARCH類模型優(yōu)于一般的GARCH族模型的預測性能?；谶@一考慮，為研究非對稱效應對股市波動率的影響，在包含極端因素的GARCH-MIDAS模型的基礎上進行拓展，使其長期項和短期項均能捕捉到股市中的非對稱效應。雖然WANG等[15]已經(jīng)探究了包含極端沖擊的GARCH-MIDAS模型對標準普爾500收益率的預測性能，但現(xiàn)有文獻中同時考慮極端沖擊和非對稱效應對中國股市波動率影響的研究還較少。

基于上述分析，筆者擬完成以下工作：①在GARCH-MIDAS模型的長期項和短期項中加入極端沖擊，且以超過某一臨界值的門限值來定義股市中的極端沖擊；②為使得包含極端因素的GARCH-MIDAS模型能夠捕捉到股市中的非對稱效應，對長期項和短期項分別進行改進。對于短期項，使用GJR-GARCH模型[16]代替GARCH模型；對于長期項，使用已實現(xiàn)半方差表示非對稱效應；③為檢驗結果的穩(wěn)健性，考慮極端事件的發(fā)生概率較小，探究不同門限值對拓展模型預測精度的影響。

1 GARCH-MIDAS模型及其拓展模型的構建

為充分利用高頻數(shù)據(jù)中的豐富信息，提高計量模型估計的有效性和預測的精度，混頻數(shù)據(jù)模型的使用越來越廣泛，GARCH-MIDAS模型是混頻數(shù)據(jù)模型中的一種，筆者基于GARCH-MIDAS模型進行拓展并研究其在中國股市波動率預測方面的性能。

1.1 GARCH-MIDAS模型

GARCH族模型只能處理同頻數(shù)據(jù)，這對于混頻數(shù)據(jù)的使用具有一定的限制。ENGLE等將GARCH模型和MIDAS回歸相結合提出了GARCH-MIDAS模型，用以處理混頻數(shù)據(jù)。具體形式如下：

(1)

εi,t|ψi-1,t～N(0,1)

(2)

(3)

式中：Ri,t為第t月第i天的對數(shù)收益率；Ei-1,t(Ri,t)為條件期望；ψi-1,t為在t月第i-1天時獲得的信息集；Nt為第t月的交易天數(shù)；εi,t為隨機擾動項，服從正態(tài)分布。假設Ei-1,t(Ri,t)=μ，則式(1)可進一步改寫為：

(4)

(5)

其中，α>0,β>0,α+β<1。長期波動成分τt受已實現(xiàn)波動率RVt的影響，具體形式為：

(6)

(7)

式中：m為常數(shù)項；RVt為在第t月內的已實現(xiàn)波動率；k為滯后期數(shù)；K為RVt的最大滯后階數(shù)，根據(jù)AIC和BIC信息準則，選取K=22；θ為滯后項RVt對長期項τt的整體影響，θ為正表示二者之間是正相關，為負表示是負相關；φk(ω1,ω2)為非線性的權重多項式函數(shù)，表示滯后k期的RVt所對應的權重。關于權重函數(shù)的選擇，使用的是Beta多項式函數(shù)，具體形式為：

(8)

為保證滯后項權重呈衰減形式，即滯后期越大，對當前的影響越小，固定ω1=1，由系數(shù)ω2確定變量對長期成分的影響，簡化后的Beta權重函數(shù)為：

(9)

考慮到歷史數(shù)據(jù)對當前數(shù)據(jù)的影響呈衰減趨勢，這里限制參數(shù)ω>1。式(1)～式(9)聯(lián)合構成了標準GARCH-MIDAS模型，采用極大似然法估計模型的參數(shù)，待估參數(shù)為μ,α,β,m,θ,ω。

1.2 GARCH-MIDAS的拓展模型

1.2.1 引入極端沖擊的GARCH-MIDAS模型(簡記為EX-GARCH-MIDAS)

已有研究表明極端事件會導致股票市場的劇烈波動，且極端事件會使股票波動率發(fā)生結構性變化[17]，因此研究極端事件對股市的影響具有重要意義。為使GARCH-MIDAS模型能夠捕捉到股市中的極端沖擊，對其進行拓展，并使用門限值來定義股市中的極端沖擊，其中門限值可以通過經(jīng)驗分位數(shù)來確定[18]?；诖?，改進后的短期成分gi,t的具體形式為：

gi,t=(1-α-β-I{Ri,tq2}r+*)+

(α+I{Ri,tq2}r+*)×

(10)

式中：α>0,β>0,α+β+I{Ri,tq2}r+*<1，I{}為指示函數(shù)；q1為負收益率的門限值，若Ri,tq2則表示股市受到正的極端沖擊；r-*為極端負收益率；r+*為極端正收益率；ql=Ql(δl)為收益率序列的經(jīng)驗分位數(shù),l=1,2。

為使長期項能夠捕捉到極端沖擊，受式(10)的啟發(fā)，將已實現(xiàn)波動率分為3部分：負極端收益得到的已實現(xiàn)波動率、正極端收益得到的已實現(xiàn)波動率和正常收益得到的已實現(xiàn)波動率。拓展后的長期項τt的具體形式為：

(11)

1.2.2 引入非對稱效應的GARCH-MIDAS模型(簡記為AS-GARCH-MIDAS)

股票市場不僅受極端事件的影響，也存在非對稱效應，對GARCH-MIDAS模型進行改進使其長期項和短期項均能捕捉到非對稱效應。對于GARCH-MIDAS模型的短期項GARCH過程而言，由于ENGLE的研究結果表明GJR-GARCH模型比EGARCH模型在股票波動率上表現(xiàn)更好。因此，筆者使用GJR-GARCH代替GARCH(1,1)模型，即：

gi,t=(1-α-β-0.5γ)+

(12)

其中，γ為非對稱杠桿系數(shù)。

為使長期項能夠捕捉到股市中的非對稱效應，將已實現(xiàn)波動率進行分解，用分解后的變量來捕捉由正收益率和負收益率引起的變化，采用已實現(xiàn)半方差來估計這種變化[19]，其定義式為：

(13)

(14)

式中：N′為1個月的周期天數(shù)，令N′=22；RS+為正的已實現(xiàn)半方差，用來捕捉由正收益率引起的變化；RS-為負的已實現(xiàn)半方差，用來捕捉由負收益率引起的變化，該估計量提供了RV的完整分解，即RV=RS++RS-。拓展后的τt為：

(15)

由于式(13)和式(14)在任意范圍內都是成立的，故式(15)能夠捕捉到由非對稱效應引起的變化。

1.2.3 引入極端沖擊和非對稱效應的GARCH-MIDAS模型(簡記為AS-EX-GARCH-MIDAS)

對于同時包含極端沖擊和非對稱效應的GARCH-MIDAS模型的短期項，將式(10)和式(12)結合，拓展后的gi,t的具體形式為：

gi,t=(1-α-β-0.5I{Ri,t<0}γ--0.5I{Ri,t>0}γ+-

I{Ri,tq2}γ+*)+

(α+I{Ri,t<0}γ-+I{Ri,t>0}γ++I{Ri,t

(16)

式中：I{Ri,tq2}γ+*為股市中的極端沖擊；I{Ri,t<0}γ-和I{Ri,t>0}γ+為股市中的非對稱效應。將式(11)和式(15)結合，則拓展后的τt的具體形式為：

(17)

2 實證研究和結果分析

2.1 數(shù)據(jù)選擇及其描述性統(tǒng)計

上證綜合指數(shù)(以下簡稱“上證綜指”)是中國發(fā)布最早且最具代表性的指數(shù)，對其波動率研究具有一定的實際意義。中國股票市場作為一個新興市場，考慮到該市場在1993年以前尚不規(guī)范且規(guī)模較小以及1995年5月的三日井噴行情，因此選擇1995年6月1日—2020年7月1日的上證綜指股票數(shù)據(jù)，共6 091個交易日，數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫。股票收益率的具體計算公式為：

Ri,t=100×ln(Pi,t/Pi-1,t)

(18)

其中，Pi,t為第t月第i天的收盤價。上證綜指時序圖如圖1所示，其中波動率用收益率的平方代替。全樣本區(qū)間上的上證綜指收益率的描述性統(tǒng)計如表1所示。

圖1 上證綜指時序圖

表1 收益率的描述性統(tǒng)計量

由圖1的收盤價格走勢可以看出，2008年金融危機和2015年股災階段比其他樣本期有更加劇烈的波動，2019年12月新冠肺炎的爆發(fā)也造成了股市價格的波動，這初步說明包含金融危機等在內的極端沖擊會使中國股票市場的波動特征出現(xiàn)一些顯著改變，故提出包含極端沖擊的GARCH-MIDAS模型是非常有必要的，研究極端沖擊對中國股市的影響是有實際意義的。

由表1可知，該收益率的平均值接近于零且方差遠遠大于均值；偏度小于零，說明該時間序列左偏，峰度大于3且J-B統(tǒng)計量顯著，表明該時間序列不服從正態(tài)分布且表現(xiàn)出“尖峰厚尾”特征；ADF統(tǒng)計量在1%的水平下顯著，表明該收益率序列是平穩(wěn)的；Q統(tǒng)計量的結果表明在滯后5 d、10 d的時間范圍內，都具有顯著的自相關特征。因此，可以對該時間序列做進一步的分析和計量建模。

2.2 樣本內估計

為探究在極端沖擊中引入非對稱效應的GARCH-MIDAS模型是否能夠提高股票波動率的預測性能，首先將全樣本數(shù)據(jù)劃分為樣本內數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)，然后使用樣本內數(shù)據(jù)對模型的參數(shù)進行估計。對于樣本內和樣本外數(shù)據(jù)容量的選擇學術界還未有一致的結論，筆者選擇5 091個數(shù)據(jù)作為樣本內數(shù)據(jù)，剩余的數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)。因為極端事件發(fā)生的概率很小，選取的經(jīng)驗分位數(shù)為δ1=0.1,δ2=0.9，表示股市10%的極端負收益率或10%的極端正收益率。4個模型的總波動率和長期波動率走勢圖如圖2所示，4個模型的參數(shù)估計結果如表2所示。

由表2可知，4類GARCH-MIDAS模型的參數(shù)估計幾乎都顯著，說明這4類模型均適用于中國股市波動率預測的研究。其中短期項中的參數(shù)α,β均顯著，說明上證綜指收益率在短期內具有強烈的波動聚集性，且α與β之和小于1且接近1，說明具有較強的波動持續(xù)性。4個模型的參數(shù)β都接近于1且在1%的水平下顯著，這說明上證綜指股票市場具有高度的波動性。從圖2可以看出，長期波動率和總波動率走勢一致，而且表2中參數(shù)θ均在1%的水平下顯著，說明在上證綜指股票市場中長期波動率主導著總波動率的變化。短期項和長期項中的非對稱性參數(shù)均是顯著的，說明在上證綜指股票市場中存在明顯的非對稱效應，短期項中的非對稱性參數(shù)γ顯著大于零，表示在短期波動中“利空消息”對股票波動率的影響大于“利好消息”。對于長期項中非對稱性參數(shù)θ+和θ-，模型不同符號不同，在AS-GARCH-MIDAS模型中，θ+顯著為正、θ-顯著為負，表示利空消息和利好消息均增加了股市的波動，不利于股票市場的長期穩(wěn)定；在AS-EX-GARCH-MIDAS模型中，θ+顯著為負、θ-顯著為正，說明在極端沖擊中考慮非對稱效應時，負的收益和正的收益均會減小股市的波動，且θ->θ+，表明負的半方差對股票市場長期波動的影響大于正的半方差，即在長期波動中壞消息對股市的影響大于好消息。

表2 GARCH-MIDAS模型及其擴展模型的參數(shù)估計結果

同時，從表2還可以看出，極端沖擊的參數(shù)均顯著，說明中國股市會受到極端事件的影響。從EX-GARCH-MIDAS模型的參數(shù)估計結果可知，在短期項中，參數(shù)γ-*和γ+*均顯著大于零，且γ-*>γ+*，說明負的極端沖擊和正的極端沖擊都會使股市的短期波動增大且極端負收益的影響大于極端正收益；在長期項中，參數(shù)θ-*>θ+*，且θ-*>0、θ+*<0，說明極端沖擊會引起股市更大的長期波動，且極端負沖擊的影響大于極端正沖擊，這說明極端效應可能是引起股票波動持續(xù)性的一個重要根源。在AS-EX-GARCH-MIDAS模型中，參數(shù)γ-*>γ+*、θ-*>θ+*，說明在非對稱效應下負極端沖擊的影響大于正極端沖擊；而且|γ+|<|γ+*|,|γ-|<|γ-*|,|θ+|<|θ+*|，說明在中國股票市場，極端沖擊效應的影響要強于非對稱效應。根據(jù)表2中的極大似然函數(shù)值判斷出AS-EX-GARCH-MIDAS模型的預測性能表現(xiàn)最好。

2.3 樣本外預測

判斷一個波動率模型的優(yōu)劣不是看其對樣本內數(shù)據(jù)擬合的好壞，而是看其對樣本外數(shù)據(jù)的預測能力[20]，故筆者使用上述4類模型對上證綜指進行樣本外預測。由于靜態(tài)數(shù)據(jù)預測波動率的方法沒有考慮到遠端數(shù)據(jù)和近端數(shù)據(jù)對預測模型的不同影響，因此采用滾動窗口預測，選取的滾動窗口長度H=5 091，每個模型獲得M=1 000個未來一天的波動率預測值。

為判斷模型的預測性能，采用HANSEN等[21]提出的模型信度檢驗法(MCS檢驗)。該檢驗相比于SPA檢驗不需要事先選擇一個基礎模型，是在模型集合M0(M0=4)中進行一系列的顯著性檢驗，剔除M0中預測性能較差的模型，且允許最優(yōu)模型的個數(shù)多于一個。該檢驗的零假設為：

H0E(di,pq,t)=0 ?p,q∈M0,p,q=1,2,3,4

H0表示兩模型具有等效的預測能力，其中,dm,pq,t=Lm,p,t-Lm,q,t,Lm,n,t為根據(jù)第m個損失函數(shù)計算出來的第n模型的損失誤差，其中m=1,2,3,4,5,n=1,2,3,4,t=H+1,H+2,…,H+M。選取5個損失函數(shù)作為判斷預測誤差的基準，分別為均方誤差(MSE)、平均絕對值誤差(MAE)、異方差調整均方誤(HMSE)、異方差調整絕對值誤(HMAE)、高斯極大似然損失函數(shù)誤差(QLIKE),具體形式為：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

各波動率模型樣本外預測的MCS檢驗結果如表3所示，可以看出所有波動率模型統(tǒng)計量p值幾乎都大于0.25，說明GARCH-MIDAS及其拓展模型在上證綜指股市預測性能方面表現(xiàn)不錯。在MSE和MAE損失函數(shù)條件下，4類模型均通過MCS檢驗且AS-EX-GARCH-MIDAS表現(xiàn)最優(yōu)；在HMSE和HMAE損失函數(shù)條件下只有AS-EX-GARCH-MIDAS模型通過檢驗；在QLIKE損失函數(shù)條件下，除GARCH-MIDAS模型外其他3類模型均通過MCS檢驗,且AS-EX-GARCH-MIDAS表現(xiàn)最優(yōu)，這說明在GARCH-MIDAS模型中引入極端沖擊和非對稱效應能夠提高模型的預測精度。

表3 GARCH-MIDAS模型及其拓展模型的MCS檢驗結果(樣本外預測長度為1 000天)

2.4 穩(wěn)健性分析

2.4.1 不同的門限值

由表3可知，在波動率模型中考慮極端沖擊和非對稱效應能夠提高模型的預測精度，為檢驗結果的穩(wěn)健性，通過改變門限來檢驗模型。筆者給出了閾值為δ1=0.05、δ2=0.95和δ1=0.01、δ2=0.99兩種情況的MCS檢驗結果，如表4和表5所示，該結果與表3結果一致，AS-EX-GARCH-MIDAS模型仍然表現(xiàn)出最好的預測性能。

表4 GARCH-MIDAS模型及其拓展模型的MCS檢驗結果(δ1=0.05、δ2=0.95)

表5 GARCH-MIDAS模型及其拓展模型的MCS檢驗結果(δ1=0.01、δ2=0.99)

2.4.2 AS-EX-GARCH-MIDAS模型和GARCH模型樣本外預測比較

通過MCS檢驗探究GARCH、GARCH-MIDAS和AS-EX-GARCH-MIDAS模型的樣本外預測效果，這里取δ1=0.1,δ2=0.9。3個模型的MCS檢驗結果如表6所示，可以看出使用GARCH-MIDAS模型優(yōu)于GARCH模型的樣本外預測精度，說明高頻數(shù)據(jù)中包含股市波動率預測的信息，并且引入極端沖擊和非對稱效應提高模型預測精度的結果依舊穩(wěn)健。

表6 AS-EX-GARCH-MIDAS模型和GARCH模型的MCS檢驗結果

3 結論

筆者對GARCH-MIDAS模型進行改進，使其能夠捕捉到股市中的極端沖擊和非對稱效應，通過分析得出如下結論：①從樣本內參數(shù)估計結果來看，GARCH-MIDAS模型及其拓展模型參數(shù)在統(tǒng)計意義上幾乎都顯著，說明這4類模型適用于上證綜指股票市場的研究。在這4類模型中，非對稱系數(shù)全部顯著說明“利空消息”對股市波動率的影響大于“利好消息”。在包含極端沖擊的模型中，參數(shù)估計結果顯示負極端沖擊會給股市帶來更大的波動，而正極端沖擊給股市帶來較小的波動且負極端沖擊的影響大于正極端沖擊，因此股票投資者需要更加關注極端事件以減少損失、合理投資。②從樣本外的MCS檢驗結果來看，在長期項和短期項中均考慮極端沖擊和非對稱效應的模型的預測性能表現(xiàn)最好，且該結論在穩(wěn)健性分析中保持穩(wěn)定。這一結果可為金融政策制定者提供參考意見，為金融市場投資者規(guī)避風險。通過對GARCH-MIDAS模型進行改進，豐富了其理論和實際意義，幫助金融市場管理者、政策制定者以及投資者加深對股票市場的認識，為股市波動率的預測提供新的見解，具有一定的理論和現(xiàn)實意義。

從實證結果可以看出探究極端沖擊和非對稱效應對中國金融市場的影響具有實際意義，可以提高模型的預測精度。未來可以考慮使用筆者提出的基于極端沖擊和非對稱效應的GARCH-MIDAS模型來研究宏觀變量對中國股市波動率的影響。