高中數(shù)學(xué)立體幾何初步教材內(nèi)容理解與教學(xué)實施

任希暢

摘? 要 “立體幾何初步”一直以來都是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。以人教版2019年高中數(shù)學(xué)A版教材為例，分析教材的內(nèi)容框架、知識編排、呈現(xiàn)方式等，詳述如何靈活、巧妙地運用教學(xué)裝備，對如何盡可能地實施直觀教學(xué)提出個人見解。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué);立體幾何;教材;教學(xué)裝備;立體幾何模型

中圖分類號：G633.63? ? 文獻標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2021）18-0055-03

Understanding and Teaching Implementation of Textbook Pre-liminary Solid Geometry in High School Mathematics//Ren Xi-chang

Abstract “Introduction to Preliminary Solid Geometry” has always been an important teaching content in high school mathematics. This

paper takes the PEP textbook of high school mathematics in 2019 （Version A） as an example. Based on the relevant analyses of its con-

tent framework， knowledge layout， and modes of presentation， this paper elaborates on how to make good use of teaching equipment flexibly and skillfully， which provides students with intuitional instruction and puts forward references for other teachers.

Key words high school mathematics; solid geometry; textbook; tea-ching equipment; solid geometric model

0? 引言

廣袤宇宙和大千世界是一個實實在在的無限空間，在這個空間中存在無數(shù)大大小小、形狀各不相同的物體，這些物體與人們的日常生活密切相關(guān)。自明代開始，我國先民就開始從長、寬、高三個維度，通過直觀感知和度量計算等方法，認識和探索這些物體的基本屬性。

據(jù)《新世紀(jì)·百科字詞通典》詮釋，幾何學(xué)是“數(shù)學(xué)中研究點、線、面、體及其相互關(guān)系的學(xué)科”，立體幾何是“研究立體圖形的性質(zhì)、形狀、大小、位置等的學(xué)科”?，F(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)“立體幾何初步”，就是從點、線、面、體等基礎(chǔ)認知開始，引導(dǎo)學(xué)生認識空間圖形的性質(zhì)、形狀、大小、位置等關(guān)系，從而培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、幾何直觀能力等，是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分。要使學(xué)生對教材所表達的內(nèi)容和知識目標(biāo)能夠深刻理解、全面掌握、靈活運用，就必須從宏觀和微觀兩個方面對教材進行詳盡分析。

1? 教材的編排和呈現(xiàn)形式

本單元教材是以長方體為載體，幫助學(xué)生認識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系;用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進行論證;了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法;運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等方法與過程，認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。因此，教材的版式編排和內(nèi)容呈現(xiàn)是非常關(guān)鍵的。

1.1? 教材的版式呈現(xiàn)

如圖1所示，教材的版式依照“引言—章節(jié)—小結(jié)—復(fù)習(xí)參考題”的結(jié)構(gòu)順序展開。“章節(jié)”為正文，先講述幾何原理，接著設(shè)置相關(guān)的練習(xí)題，通過閱讀思考和探索發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生了解幾何原理，然后進行“歸納”活動，統(tǒng)籌理解本章立體幾何的基本知識。其中的“歸納”活動不但增加了學(xué)生觀察和練習(xí)的形式，而且能夠讓學(xué)生更多地觀察數(shù)學(xué)邏輯之間的聯(lián)系，從而自己提出問題進行探究，逐漸形成問題式學(xué)習(xí)模式。

1.2? 教材內(nèi)容的編排

內(nèi)容編排是教學(xué)和學(xué)習(xí)順序的指導(dǎo)。教材的內(nèi)容編排采用如下順序[1]：

8.1 基本立體圖形

8.2 立體圖形的直觀圖

8.3 簡單幾何體的表面積與體積

8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

8.4.1 平面

8.4.2 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

8.5 空間直線、平面的平行

8.5.1 直線與直線平行

8.5.2 直線與平面平行

8.5.3 平面與平面平行

8.6 空間直線、平面的垂直

8.6.1 直線與直線垂直

8.6.2 直線與平面垂直

8.6.3 平面與平面垂直

上述系人教版2019年高中數(shù)學(xué)A版教材的目錄，從編排的順序來看，是先整體后局部、先具體后抽象的教學(xué)與學(xué)習(xí)順序，也即按照“立體圖形—直觀圖—表面積與體積—點、直線、平面之間的位置關(guān)系”的編排順序?qū)訉舆f進，進行學(xué)習(xí)。

從內(nèi)容上看，將柱體、錐體、臺體具體分為棱柱、棱錐、棱臺以及圓柱、圓錐、圓臺、球，這樣既加強了對學(xué)生學(xué)習(xí)表面積和體積計算公式的要求，又將直線與直線、直線與平面、平面與平面三者進行組合，強調(diào)了三者之間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系。

1.3? 知識呈現(xiàn)方式分析

從直線與平面平行的性質(zhì)定理、平面與平面垂直的判定定理這兩個教學(xué)重點，來看知識呈現(xiàn)方式。

1.3.1? 在知識導(dǎo)入方面? 教材采用具有邏輯感的充分條件和必要條件的相互轉(zhuǎn)化來導(dǎo)入，將判定定理和性質(zhì)定理聯(lián)系起來，發(fā)展學(xué)生逆向思維意識，引導(dǎo)學(xué)生找尋這兩者之間的邏輯關(guān)系。

1.3.2? 在知識體驗與表征方面? 教材采用給出模型并進行分析證明結(jié)論，最后得出性質(zhì)定理的方式，遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型幫助學(xué)生認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征。在表述上，教材更具有專業(yè)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的簡潔精煉，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，做到直觀感知、操作確認。在知識的表征上，通過語言描述的形式闡述性質(zhì)定理。

1.3.3? 在知識應(yīng)用和知識拓展方面? 以例題3為例，題中給出一種作平行線的方法，揭示了直線與平面平行中蘊藏著直線與直線平行;同時，在例題之后設(shè)置了包括填空、證明、判斷三種題型的練習(xí)題進行鞏固[4]。

2? 教材內(nèi)容的理解與學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)是一個系統(tǒng)的過程。由于高中“立體幾何初步”這一章節(jié)的內(nèi)容比較豐富、覆蓋面比較廣闊，而且知識也比較抽象，學(xué)習(xí)的難度比較大，因此必須要求師生使用歸納總結(jié)的方法，先把分散的知識進行歸納整理，使教師的教學(xué)步驟和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程得到系統(tǒng)化、規(guī)律化的梳理。

2.1? 從教材編排布局的情況來看

教材編排布局先呈現(xiàn)基本立體圖形，接著呈現(xiàn)立體圖形的直觀圖;然后從簡單幾何體包括棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算逐步深入，直至圓柱、圓錐、圓臺、球等的表面積和體積計算;進而引導(dǎo)學(xué)生認識空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系，包括空間直線、平面的平行，空間直線、平面的垂直等。教材以螺旋上升、分層遞進、逐步到位的形式，把立體幾何的初步知識進行陳列。

2.2? 從教材呈現(xiàn)的教學(xué)過程引導(dǎo)來看

教材先讓學(xué)生通過直觀觀察，感知自然空間幾何體的存在，然后通過計算操作來確認自然空間幾何體的具體屬性，最后歸納出自然空間幾何體的相關(guān)空間位置關(guān)系。用這樣的過程實施引導(dǎo)，讓學(xué)生的空間思維按照教材的內(nèi)容步步深入、循序漸進，直至他們完全掌握教材所表達的全部內(nèi)容要求。

2.3? 教材呈現(xiàn)的學(xué)生學(xué)習(xí)活動也是循序漸進、步步深入

教材先是對空間幾何體進行反復(fù)“觀察”，然后在“觀察”的基礎(chǔ)上對空間幾何體的相互關(guān)系進行深入“思考”，通過“思考”對其中相關(guān)的問題進行深入“探究”，接著通過不同類型的“練習(xí)”進行訓(xùn)練。在“觀察”“思考”“探究”“練習(xí)”等一系列活動的基礎(chǔ)上，最后對所學(xué)的知識進行“歸納”與“總結(jié)”，同時對所用的公式進行梳理整合，從而加深對知識的理解運用。

3? 立體幾何模型在教學(xué)中的合理運用

充分理解教材內(nèi)容是實施教學(xué)的基礎(chǔ)，在教學(xué)實施過程中通過使用教學(xué)裝備來提高教學(xué)質(zhì)量是根本。普通高中學(xué)校普遍地裝備了多媒體設(shè)備，同時配備了套裝的立體幾何模型。就裝備的特點而言，多媒體器材的優(yōu)勢在于能夠展現(xiàn)豐富多彩的圖形，雖然這些多彩豐富的圖形非常容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，但是難以引導(dǎo)學(xué)生從平面到空間立體的思維轉(zhuǎn)化。而立體幾何模型雖然沒有豐富多彩的圖片，但是能夠直接給學(xué)生一個直觀立體體驗，使學(xué)生的空間思維轉(zhuǎn)化得到很好的鍛煉。因此，筆者就立體幾何模型在教學(xué)中的運用進行簡單探討。

3.1? 立體幾何模型實例與生活相關(guān)聯(lián)

在教學(xué)本章第一節(jié)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”時，教師可以在課前布置預(yù)習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生尋找生活中空間幾何體的實例，如魔方、足球等，加深現(xiàn)階段學(xué)生思維中的空間幾何觀念，并且將數(shù)學(xué)與日常生活相聯(lián)系，將數(shù)學(xué)融入生活。同時，教師可以在課堂中展示帶來的一些實例模型，讓學(xué)生通過觀察來認識空間幾何體并發(fā)現(xiàn)空間幾何體的特點。

再者，可以通過展示名勝古跡中的立體模型來拉近空間觀念與生活的距離，也可以培養(yǎng)學(xué)生用心觀察，分析周圍的數(shù)學(xué)之美。如舉行一個課堂展示，請學(xué)生分享自己在假期中觀察、記錄下來的立體幾何模型。此舉意在向?qū)W生灌輸學(xué)習(xí)不只是在課堂中的學(xué)習(xí)，更是平時生活中的點滴積累的理念。從實體建筑物到立體幾何模型，需要經(jīng)過表象到實質(zhì)、整體到局部，認真比對、反復(fù)研究，按照比例尺縮小尺寸，將偌大復(fù)雜的建筑物分解成若干個小的簡單幾何體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力。

如果有條件提供多媒體教室的教學(xué)環(huán)境，教師可以組織學(xué)生小組合作，探索通過“畫圖”軟件進行立體幾何模型的繪制與設(shè)計，并在畫圖的過程中體會模型的建立過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型核心素養(yǎng)，為之后“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。另外，初次利用軟件必然會遇到挑戰(zhàn)，因此有必要開展小組合作，通過一起出謀劃策與合作協(xié)商，最后由小組成員一起對所設(shè)計的作品進行展示和解說，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力，創(chuàng)造一堂精彩的拓展課程。

3.2? 利用立體幾何教具模型深化空間觀念

在本章教學(xué)中，教師可以通過展示立體幾何教具模型來為學(xué)生講授空間幾何體的三視圖和直觀圖，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，并且教具可以更加清楚明白地展示各個面的特點，實現(xiàn)幾何研究從“點—線—面—體”的研究思路，有利于構(gòu)建學(xué)生思維中的空間幾何體的模型架構(gòu)，便于在做題或者之后立體幾何計算的學(xué)習(xí)中理解圖形，有效地畫出圖形并得出結(jié)論。

另外，為了培養(yǎng)學(xué)生的實踐動手能力，在教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)以小組為單位制作立體幾何模型的活動也不失為一種新課改背景下的教學(xué)創(chuàng)新。此活動不僅可以提升學(xué)生合作活動時的配合默契度，更能讓學(xué)生在制作過程中發(fā)現(xiàn)立體幾何圖形的特點，并更好地掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)、空間幾何體的三視圖和直觀圖以及觀察發(fā)現(xiàn)點、直線、平面之間的位置關(guān)系，同時在平時練習(xí)時可以加深記憶[5]。

4? 結(jié)束語

立體幾何的學(xué)習(xí)看似平常，但要能夠全面掌握其中的原理，熟練運用相關(guān)的方法與技術(shù)，對自然空間幾何體的性質(zhì)進行準(zhǔn)確判定，一般地說，教師就必須引導(dǎo)學(xué)生按照教材編定的程序，先從對空間幾何體的整體觀察入手，再直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系，最后對相關(guān)幾何體進行性質(zhì)判定?！?/p>

參考文獻

[1]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修：第二冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019：

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[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]葉立軍，王思凱.兩版高中數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”內(nèi)容比較研究：以人教2019年A版和2004年A版教材為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（7）：1-6.

[4]葉立軍，戚方柔.中美初中“圓”內(nèi)容比較研究：以浙教版、人教版、美國GMH教材為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，

2020（4）：44-48.

[5]林妙勇.引入立體模型提升立體幾何教學(xué)效果[J].廣西教育，2019（6）：108-109.