圖形公式教學(xué)中三個(gè)不可忽視的問題

文∣劉兆偉

圖形公式是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)中的圖形公式知識(shí)包括平面圖形的周長(zhǎng)、面積公式，立體圖形的體積、表面積公式等。在這些內(nèi)容的教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生通過探究得到公式，運(yùn)用公式解決問題，而且要讓學(xué)生在探究的過程中發(fā)展空間觀念，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)這幾年的課堂觀察，筆者發(fā)現(xiàn)大部分教師在圖形公式教學(xué)中開始注重圖形公式的探究過程，但仍以得到圖形公式及熟練運(yùn)用公式計(jì)算為主要教學(xué)目標(biāo)，欠缺空間觀念的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的感悟以及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。

一、不可忽視空間觀念的培養(yǎng)

“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，這也應(yīng)成為圖形公式教學(xué)的核心目標(biāo)。想象力是空間觀念培養(yǎng)的關(guān)鍵，不管在圖形公式的推導(dǎo)過程中，還是在圖形公式的應(yīng)用過程中，我們都可以讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念。

(一)在公式推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念

圖形公式推導(dǎo)過程的本質(zhì)是推理過程。借助符號(hào)進(jìn)行的形式化推理過程過于抽象，而小學(xué)生的思維以形象思維為主，所以，如果僅僅借助推理得到一般化的圖形公式，部分學(xué)生會(huì)難以理解。在推導(dǎo)圖形公式的過程中，我們可以先讓學(xué)生通過探究得到具體圖形周長(zhǎng)、面積或體積的計(jì)算方法，再讓學(xué)生通過想象將計(jì)算方法由具體圖形推導(dǎo)至一般圖形，并借此得到一般化的圖形公式。這樣的過程不僅能夠讓學(xué)生理解圖形公式背后的數(shù)學(xué)道理，而且可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體的體積”一課時(shí)，筆者為學(xué)生提供了若干個(gè)1立方厘米的小正方體，先讓學(xué)生用這些小正方體搭一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是4厘米、3厘米、2厘米的長(zhǎng)方體，再讓學(xué)生根據(jù)搭的過程說說這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為什么可以用4×3×2來計(jì)算。接著，讓學(xué)生將這個(gè)長(zhǎng)方體的高變?yōu)?厘米，長(zhǎng)和寬不變，并讓學(xué)生說說現(xiàn)在這個(gè)長(zhǎng)方體的體積怎么計(jì)算，以及為什么可以這樣計(jì)算。隨后，讓學(xué)生想象：“如果這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬不變，將高逐漸變?yōu)?厘米、5厘米……這個(gè)長(zhǎng)方體的體積可以怎么計(jì)算，為什么可以這樣計(jì)算？”學(xué)生根據(jù)想象能夠歸納出：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是4厘米、3厘米、a厘米時(shí)，可以用4×3×a來計(jì)算它的體積。隨后，筆者讓學(xué)生用同樣的方法想象，僅當(dāng)長(zhǎng)或?qū)挵l(fā)生變化時(shí)，長(zhǎng)方體的體積可以怎么計(jì)算，以及為什么可以這樣計(jì)算。最后，學(xué)生在三次想象的基礎(chǔ)上，歸納出長(zhǎng)方體的體積公式V=abh。

讓學(xué)生依據(jù)一個(gè)具體的長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法，通過控制變量的方法，依據(jù)想象逐步得出在長(zhǎng)和寬不變、或?qū)捄透卟蛔?、或長(zhǎng)和高不變的情況下，長(zhǎng)方體的體積如何計(jì)算，以及為什么可以這樣計(jì)算，最后歸納出長(zhǎng)方體的體積公式。在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生不僅通過探究得到了長(zhǎng)方體的體積公式，而且深刻理解了體積公式背后的數(shù)學(xué)道理，空間觀念也在想象中得到了有效的培養(yǎng)。經(jīng)常這樣教學(xué)，會(huì)讓學(xué)生在獲得公式的過程中，在腦中形成圖、式轉(zhuǎn)化過程的表象，成為空間想象的支柱。

(二)在公式應(yīng)用過程中，讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念

在圖形公式的教學(xué)中，不少教師僅僅將應(yīng)用公式的教學(xué)目標(biāo)定位為幫助學(xué)生進(jìn)一步理解公式、形成技能，而忽視了空間觀念的培養(yǎng)。其實(shí)，在應(yīng)用公式時(shí)，尤其是在初始階段，不僅要讓學(xué)生進(jìn)一步理解公式、形成技能，而且可以讓學(xué)生通過想象發(fā)展空間觀念。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”一課時(shí)，一名教師在練習(xí)中出示這樣的問題：“一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是24平方厘米，你能想象出它是什么樣子嗎？請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵鰜?每個(gè)小方格面積是1平方厘米)。”面對(duì)這樣的問題，有些學(xué)生想到這個(gè)長(zhǎng)方形是由24個(gè)1平方厘米的小正方形組成的，這24個(gè)小正方形可能排成1排，也可能排成2排、3排或4排，從而畫出4個(gè)不同的長(zhǎng)方形。也有學(xué)生逆向運(yùn)用長(zhǎng)方形的面積公式想到這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可能是24厘米和1厘米、或12厘米和2厘米、或8厘米和3厘米、或6厘米和4厘米，也畫出了4個(gè)不同的長(zhǎng)方形。

在上述練習(xí)中，問題由封閉變?yōu)殚_放，解決問題的思路由順向變?yōu)槟嫦?，學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)，不是簡(jiǎn)單地運(yùn)用面積公式計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，而是借助小正方形、或逆向運(yùn)用公式在頭腦中想象出多種不同形狀的長(zhǎng)方形，再將想象出的長(zhǎng)方形在方格紙中畫出來。這樣的練習(xí)不僅幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固了對(duì)長(zhǎng)方形面積公式的理解，而且發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

二、不可忽視數(shù)學(xué)思想的感悟

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中感悟數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括。圖形公式教學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，需要我們深入挖掘，并讓學(xué)生感悟。

(一)讓學(xué)生經(jīng)歷過程感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，想要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，就需要讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程。在圖形公式教學(xué)中，我們要讓學(xué)生充分經(jīng)歷圖形公式的形成過程，從而讓學(xué)生感悟蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積”一課時(shí)，教師先出示圖1方格圖中的三個(gè)三角形，讓學(xué)生說說它們分別是什么三角形，再讓學(xué)生說說想先研究誰(shuí)的面積，多數(shù)學(xué)生依據(jù)直覺想要先研究直角三角形的面積。在研究直角三角形的面積時(shí)，有學(xué)生用數(shù)格子的方法直接數(shù)出直角三角形的面積，還有的學(xué)生想到用兩個(gè)一樣的直角三角形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形或平行四邊形，或?qū)⒅苯侨切蔚确e轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或平行四邊形，并依據(jù)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系算出直角三角形的面積，從而得到直角三角形的面積計(jì)算方法。隨后，教師讓學(xué)生利用研究直角三角形的面積時(shí)獲得的經(jīng)驗(yàn)，研究銳角三角形和鈍角三角形的面積計(jì)算方法。教師帶領(lǐng)學(xué)生在前面分類研究的基礎(chǔ)上，歸納出三角形的面積公式。最后，教師引領(lǐng)學(xué)生回顧獲得公式的過程，讓學(xué)生感悟蘊(yùn)含在其中的分類、歸納思想。

圖1

上述教學(xué)過程中，學(xué)生充分經(jīng)歷了先分類探究、再歸納公式的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，從中不僅獲得了三角形的面積公式，而且感悟到分類、歸納的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)過程中，教師要善于利用每個(gè)小環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感悟其中所蘊(yùn)含的某種數(shù)學(xué)思想，這也是一種不可或缺的過程感悟和經(jīng)驗(yàn)積累。

(二)讓學(xué)生通過對(duì)比感悟數(shù)學(xué)思想

對(duì)比是感悟數(shù)學(xué)思想的最有效策略之一，通過對(duì)比能夠讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟。在圖形公式教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生通過對(duì)比，感悟蘊(yùn)含在圖形公式中的數(shù)學(xué)思想。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”一課時(shí)，筆者先出示一個(gè)方格圖中的平行四邊形讓學(xué)生求其面積(每個(gè)小方格面積是1平方厘米)。有學(xué)生想到用數(shù)方格的方法數(shù)出面積，有的學(xué)生想到將平行四邊形沿一條高分成一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形或兩個(gè)直角梯形，再將它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，算出原來平行四邊形的面積。這兩類方法中，前一類方法是直接測(cè)量法，較為繁瑣；而后一類方法運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，是間接測(cè)量法，較為簡(jiǎn)單，且能根據(jù)其推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。在學(xué)生運(yùn)用不同的方法求出平行四邊形的面積后，教師讓學(xué)生對(duì)比這兩類方法，學(xué)生從中感悟“轉(zhuǎn)化能夠化繁為簡(jiǎn)，能夠在未知和已知之間建立聯(lián)系”。

上述教學(xué)過程中，學(xué)生不僅通過探究自主發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的面積計(jì)算方法，而且在對(duì)比中體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值，從而對(duì)轉(zhuǎn)化思想形成較為深刻的感悟。

圖形公式教學(xué)中不僅蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想、分類思想，還有其他的數(shù)學(xué)思想，如推理思想、模型思想、符號(hào)化思想等，這些數(shù)學(xué)思想都需要教師在教學(xué)中有意識(shí)地、循序漸進(jìn)地運(yùn)用合適的方法讓學(xué)生去感悟。

三、不可忽視活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的重要標(biāo)志，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步積累的。在圖形公式教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生充分經(jīng)歷“做”和“思考”的過程，從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

(一)讓學(xué)生在“做”的過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在“做”的過程中逐漸積累起來的，“剪一剪”“拼一拼”“做一做”等操作活動(dòng)都能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在圖形公式教學(xué)中，我們可以設(shè)計(jì)多樣的、有層次的操作活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形的面積”一課時(shí)，教師為學(xué)生提供6個(gè)1平方厘米的小正方形，讓學(xué)生依次測(cè)量三個(gè)長(zhǎng)方形的面積，三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為3厘米和2厘米、5厘米和2厘米、10厘米和8厘米(如圖2所示)。在測(cè)量第一個(gè)長(zhǎng)方形面積時(shí)，多數(shù)學(xué)生用這6個(gè)小正方形將其鋪滿，從而得到它的面積。在測(cè)量第二個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，由于提供的小正方形不夠用了，有學(xué)生想到了與同桌合作的方式，將兩個(gè)人的小正方形聚在一起，通過鋪滿的方式得到這個(gè)長(zhǎng)方形的面積；有的學(xué)生通過鋪長(zhǎng)和寬的方式，根據(jù)想象鋪滿得出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。在測(cè)量第三個(gè)長(zhǎng)方形的面積時(shí)，由于6個(gè)小正方形不能鋪滿它的長(zhǎng)或?qū)?，所以很多學(xué)生束手無策。經(jīng)過一段時(shí)間的思考后，有學(xué)生想到了用小正方形的邊長(zhǎng)測(cè)量大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，最終根據(jù)長(zhǎng)和寬想象出鋪滿這個(gè)長(zhǎng)方形需要多少個(gè)小正方形，從而得出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

圖2

在上述教學(xué)過程中，通過學(xué)生先用鋪滿的方法得出長(zhǎng)方形的面積；再鋪長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬想象出長(zhǎng)方形的面積；最后利用小正方形的邊長(zhǎng)測(cè)量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)測(cè)量的結(jié)果想象出鋪滿的結(jié)果，得出長(zhǎng)方形的面積。學(xué)生從直接測(cè)量逐步過渡到間接測(cè)量，從直接動(dòng)手操作逐步過渡到在頭腦中操作，其數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到了充分的積累。

(二)讓學(xué)生在“思考”的過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不能止于操作經(jīng)驗(yàn)，而需要通過反思、抽象、概括等思維活動(dòng)，內(nèi)化為學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)。在圖形公式教學(xué)中，我們可以設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際的、有效的思維活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體的體積”一課時(shí)，教師在提出探究任務(wù)(測(cè)量一個(gè)長(zhǎng)方體木塊的體積)后，出示三個(gè)測(cè)量工具讓學(xué)生選擇(如圖3所示)，多數(shù)學(xué)生選擇用小正方體測(cè)量，其理由是測(cè)量體積時(shí)要用單位體積。此時(shí)，教師并未讓學(xué)生直接去測(cè)量，而是讓學(xué)生思考前兩個(gè)工具可以測(cè)量什么、怎么測(cè)量，學(xué)生通過思考激活了長(zhǎng)度、面積的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，以及長(zhǎng)方形的面積公式的推導(dǎo)過程。然后，學(xué)生借助長(zhǎng)方形面積公式的探究經(jīng)驗(yàn)，通過探究得出了長(zhǎng)方體的體積公式。教師讓學(xué)生思考“前兩個(gè)工具能否測(cè)量出長(zhǎng)方體的體積”，學(xué)生通過思考明確前兩種測(cè)量工具都可以測(cè)量出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，也能通過計(jì)算得出長(zhǎng)方體的體積。此刻學(xué)生也明白了，因?yàn)殚L(zhǎng)方體木塊是實(shí)心的，不能通過往里面填充小正方體測(cè)量它的體積，所以并不能直接用小正方體測(cè)量長(zhǎng)方體的體積，而只能利用小正方體棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度去測(cè)量大正方體的長(zhǎng)、寬、高而已，這與用其他兩個(gè)工具測(cè)量在本質(zhì)上是一樣的。最后，教師讓學(xué)生對(duì)上述探究過程進(jìn)行反思，通過反思，學(xué)生不僅感悟到不同維度的測(cè)量原理及本質(zhì)之間的相似性，而且明白了直接測(cè)量和間接測(cè)量之間的聯(lián)系，以及從直接測(cè)量走向間接測(cè)量的必要性。

圖3

在上述教學(xué)過程中，通過讓學(xué)生選擇測(cè)量工具，幫助學(xué)生在一維、二維和三維之間建立聯(lián)系，啟迪學(xué)生將長(zhǎng)方形的面積公式探究經(jīng)驗(yàn)用于長(zhǎng)方體的體積公式的探究過程中。學(xué)生從中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不僅僅是操作經(jīng)驗(yàn)，還有思維經(jīng)驗(yàn)，并且這種數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以遷移到其他類別的測(cè)量中，是一種可生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。