空飄氣球飛行軌跡模型建立與仿真分析

劉嬌龍，胡 杭，黃興龍，張德昇

(中國人民解放軍66133部隊，北京 100043)

1 引言

空飄氣球是指在平流層以下飛行的無動力浮空器，氣球使用氦氣或氫氣填充，可用繩索固定在地面或物體上，也可于空中飄飛[1]。空飄氣球有鍍鋁膜、捆束、透明、彩色等多種類型，其主要來源于節(jié)日慶典釋放、空飄廣告宣傳、科學(xué)試驗、偵察搜索等過程中的投放，在投放后可上升至幾千米甚至上萬米高空，并在浮力和風(fēng)的作用下長時間穩(wěn)定飛行。

空飄氣球雖然在社會生產(chǎn)生活中具有重要用途，但違規(guī)投放的空飄氣球?qū)ι鐣舶踩珟砭薮笸{。一是嚴重干擾航空運輸安全。隨意釋放的空飄氣球飛行航跡缺少約束，不受控制，可能與航行中的飛機發(fā)生碰撞，或近距離接觸并吸入發(fā)動機，造成發(fā)動機故障，嚴重影響飛行安全。二是威脅國家和個人隱私安全。利用空間技術(shù)，空飄氣球可實現(xiàn)對國家機密地域的偵察窺探，或?qū)褡≌M行監(jiān)測拍攝，容易被不法分子利用，產(chǎn)生失密現(xiàn)象[2]。三是造成人民生命財產(chǎn)安全損失。飄落墜毀的氣球殘余掉入城市、居民區(qū)等人口聚集區(qū)域，容易發(fā)生撞擊、燃燒、爆炸等事件，極易造成人員傷亡，社會影響十分惡劣。因此，建立空飄氣球飛行軌跡模型，研究空飄氣球的運動軌跡，特別是預(yù)測分析其釋放后飛行軌跡，對于維護航空飛行安全、國家隱私安全和人民生命財產(chǎn)安全，都具有重要的現(xiàn)實意義。

文獻[3-4]建立了系留氣球的數(shù)學(xué)模型，研究了在風(fēng)場作用下氣球的升空過程，分析了氣球軌跡、水平漂移距離等參數(shù)變化規(guī)律，以指導(dǎo)系留氣球的釋放控制過程。文獻[5-6]針對平流層高空氣球，考慮了膨脹因素和熱力學(xué)影響，建立了氣球運動綜合模型，并引入實際風(fēng)場數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)，研究了氣球模擬上升軌跡、速度和溫度特性。文獻[7-10]研究了空中運動的物體在受到與速度成線性或二次方關(guān)系阻力、風(fēng)速影響、旋轉(zhuǎn)影響時的運動模型和空間軌跡，但由于針對的是小型拋射體，未考慮其所受的浮力影響。

目前已有的文獻從不同角度對氣球升空模型進行了分析，但缺少針對平流層以下空飄氣球的系統(tǒng)研究，不能很好的支撐空飄氣球運動軌跡預(yù)測分析。本文在綜合現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，結(jié)合氣球受力分析、動力學(xué)模型和運動學(xué)模型，對空飄氣球飛行軌跡進行詳細建模。同時，對實際高空風(fēng)場歷史數(shù)據(jù)進行了擬合，利用MATLAB搭建仿真模塊，研究了空飄氣球在歷史平均風(fēng)場作用下的升空、漂浮過程中的軌跡和速度特性。最后，對不同阻力模型下空飄氣球軌跡模擬效果進行了對比，分析了不同模型在模擬空飄氣球軌跡時的適應(yīng)性。

2 空飄氣球模型

2.1 氣球受力分析

將地球視為固定不動平面，建立大地平面坐標系O-xyz，用以描述空飄氣球運動軌跡，如圖1所示。選擇氣球釋放點為原點O，x軸指向正東，與緯線平行，y軸指向正北，與經(jīng)線平行，z軸垂直向上，坐標系滿足右手定則。

圖1 空飄氣球受力分析

空飄氣球在空中運動主要受到浮力、重力和空氣阻力的作用。浮力、重力及空氣阻力表達式如下

(1)

其中，浮力F浮方向垂直向上，為空氣密度ρ、氣球體積V排和重力加速度g的函數(shù)，g=9.8m/s2；重力G方向垂直向下，為氣球質(zhì)量m與重力加速度g的函數(shù)；阻力F阻的方向與氣球相對風(fēng)的運動方向相反，為空氣密度ρ、特征面積S、阻力系數(shù)CD和氣球相對于風(fēng)的速度va的函數(shù)。

2.2 動力學(xué)方程

令v為空飄氣球相對地面的運動速度，vw為風(fēng)速，va為氣球與風(fēng)的相對速度。在x、y、z三個軸方向上，vx、vy、vz為速度v的三軸分量，vwx、vwy、vwz為風(fēng)速vw的三軸分量，而vax、vay、vaz為氣球與風(fēng)在三軸方向上的相對速度，有

(2)

氣球在上升漂浮過程中，可以將其視為質(zhì)點運動，其三軸方向動力學(xué)微分方程為

(3)

其中，F(xiàn)阻vax/va、F阻vay/va、F阻vaz/va分別為阻力在x、y、z三個軸方向上的投影分量。m為氣球質(zhì)量，包含氣球蒙皮質(zhì)量、氣體質(zhì)量、載荷質(zhì)量和附加質(zhì)量，計算式如下

m=m皮+m氣+m載+m附

(4)

其中，附加質(zhì)量是由于氣球拖拽的空氣引起的。當(dāng)氣球在空氣中運動時的平均密度和空氣密度量級相當(dāng)時，需要在運動分析中考慮。附加質(zhì)量為空氣密度和氣球體積的函數(shù)，計算公式如下[5-6，11]

m附=C附ρV排

(5)

C附為阻力系數(shù)，對于近似球形的氣球而言，C附取0.5。

2.3 運動學(xué)方程

對于氣球的運動學(xué)微分方程，有

(6)

其中，sx、sy、sz分別為氣球在x、y、z三個軸方向上的位移。

3 大氣環(huán)境模型

3.1 大氣模型

空飄氣球主要在對流層中漂浮，在其上升過程中，空氣的密度、溫度、壓力都將發(fā)生變化。本文采用國家標準大氣密度解析函數(shù)(GB1920-80)來模擬不同高度的空氣密度[12]

(7)

3.2 風(fēng)場模型

無論是上升過程還是漂浮過程，風(fēng)速都是空飄氣球運動的重要影響因素。風(fēng)速是高度的函數(shù)，其大小和方向會隨著高度的變化而變化，同一地域不同時間，同一時間不同地域，風(fēng)速規(guī)律都不盡相同。通常可將風(fēng)速分解為經(jīng)向風(fēng)和緯向風(fēng)，對于經(jīng)向風(fēng)，正北方向定義為正方向，對于緯向風(fēng)，正東方向定義為正方向，以保持與本文坐標系一致。

某地域冬季盛行西北風(fēng)，采集該地域2018年至2020年的12月—3月期間，從地面至9000m高空風(fēng)的大小和方向數(shù)據(jù)，并將其分解至經(jīng)緯兩個方向，獲得經(jīng)向風(fēng)和緯向風(fēng)大小。對緯向風(fēng)vx、經(jīng)向風(fēng)vy、合成風(fēng)vxy的采集數(shù)據(jù)進行擬合，得到這一段時間段內(nèi)風(fēng)速的平均值擬合函數(shù)表達式及其常系數(shù)

vx(h)=a1h5+a2h4+…+a5h+a6

vy(h)=b1h5+b2h4+…+b5h+b6

vxy(h)=c1h5+c2h4+…+c5h+c6

(8)

a=[2.896e-17，-5.653e-13，3.86e-9，

-1.113e-5，1.623e-2，-4.394]

b=[1.124e-17，-2.289e-13，1.586e-9，

-4.069e-6，6.416e-4，-0.792]

c=[2.192e-17，-4.122e-13，2.679e-9，

-7.339e-6，1.183e-2，1.148]

(9)

風(fēng)場采集數(shù)據(jù)及擬合曲線如圖2所示。

圖2 風(fēng)場數(shù)據(jù)及擬合曲線

3.3 空氣阻力

對于空氣中運動的物體，其阻力系數(shù)與氣球雷諾數(shù)相關(guān)。根據(jù)文獻[6，9]的資料可知，對于一般球型或橢球型物體，氣球雷諾數(shù)在106左右，阻力系數(shù)CD取值在0.13-0.467之間。

為了驗證不同空氣阻力模型對氣球飛行軌跡的模擬效果，本文引入文獻[8]的空氣阻力形式，并在下文仿真中與式(1)中的阻力形式進行對比。文獻[8]將空氣阻力在各個分軸上分別解耦進行計算，其計算式為

(10)

其中，α=1/2ρSCD，當(dāng)氣球為不規(guī)則形狀時，各個軸方向的投影特征面積和阻力系數(shù)需要根據(jù)具體形狀而更正。

4 仿真研究

對普通鋁膜球形氣球進行放飛仿真，模擬其從該地域地面放飛后上升及漂浮軌跡，氣球參數(shù)如表1所示，氣球總質(zhì)量為12g，體積為0.0335m2，風(fēng)速模型采用式(7)所示的該地域擬合平均風(fēng)速模型。

表1 氣球參數(shù)

氣球上升速度曲線如圖3所示。當(dāng)氣球被釋放后，氣球在浮力作用下，速度將會迅速增加到約2.9m/s，然后隨著高度增加時逐漸減小，最后停止上升，在一定高度上達到穩(wěn)定。

圖3 氣球釋放后上升速度曲線

從動力學(xué)模型式(3)中，可進一步分析氣球上升時速度變化的原理。根據(jù)式(3)，當(dāng)氣球穩(wěn)定上升時，有

(11)

剛釋放時，浮力大于重力，ρgV排>mg，因此vz>0，氣球上升。隨著氣球高度增加，空氣密度ρ逐漸減小，氣球所受的浮力也逐漸減小，上式中mg/ρ逐漸增大，vz隨之減小。當(dāng)?shù)竭_一定高度時，氣球浮力、重力達到平衡，即ρgV排=mg，因此vz=0，氣球停止上升，穩(wěn)定在某高度層。另外，從式(11)還可知，氣球質(zhì)量越小，體積越大，阻力系數(shù)越小，vz越大，氣球上升得更快。

圖4為氣球上升后高度隨時間變化曲線。從圖中可知，氣球被釋放后，高度穩(wěn)定增加，在約55min時上升至5265m，然后穩(wěn)定在此高度層。

圖4 氣球上升高度隨時間變化曲線

根據(jù)上文分析可知，當(dāng)高度穩(wěn)定時，ρgV排=mg，即

m=ρV排

(12)

空氣密度ρ是高度h的函數(shù)，隨高度增加而減小。因此，對于給定體積的氣球，質(zhì)量越輕，飛得越高；而對于穩(wěn)定在一定高度的氣球，氣球質(zhì)量越大，體積也必須更大。

圖5給出了氣球水平方向漂移的距離和高度變化的對比圖。從圖中可見，氣球在釋放的初始階段以上升運動為主，而在接近穩(wěn)定高度層時以水平運動為主。當(dāng)其上升到3000m高空時，水平方向只運動了8.6km。而從3000m上升到穩(wěn)定高度層5265m處，氣球漂浮了40km。需要指出的是，本文中5265m高空風(fēng)速為82.5km/h，而氣球水平漂移距離與空中當(dāng)前風(fēng)速有關(guān)，當(dāng)風(fēng)速越大時，橫向漂移距離會隨之增加。

圖5 氣球高度方向和水平方向位移圖

圖6給出氣球升空后的三維軌跡示意圖。從圖中可見，氣球在風(fēng)場和浮力作用下迅速上升，最后于5265m高度沿117.6度方向穩(wěn)定飛行，與該高度層的風(fēng)速方向保持一致。

圖6 氣球升空后的三維軌跡示意圖

最后，進一步給出了采用式(10)中空氣阻力解耦模型與采用式(1)中阻力耦合模型的仿真效果對比圖，如圖7所示。從圖中可見，雖然式(10)將阻力分解為三個軸分別計算，但這對氣球模型的仿真計算效果影響甚微。與原阻力模型相比，兩者幾乎具有相同的上升軌跡特性，在20km處高度差距小于30m。這說明兩個模型均可用于氣球飛行軌跡仿真，式(1)中的模型在力學(xué)上更容易解釋，而式(10)的模型更有利于區(qū)別氣球在不同方向上受到不同阻力系數(shù)和特征面積的影響。

圖7 不同阻力模型氣球升空效果對比圖

5 結(jié)論

本文對空飄氣球升空后的受力情況進行了詳細分析，建立了空飄氣球的動力學(xué)和運動學(xué)模型，并對某地域高空風(fēng)速歷史數(shù)據(jù)進行擬合，建立了大氣環(huán)境模型。仿真結(jié)果表明，提出的模型可以有效的模擬氣球升空后的速度變化和軌跡變化特性，其反映出的規(guī)律與實際經(jīng)驗相一致。在實際應(yīng)用中，需要進一步進行氣球放飛試驗，獲取不同氣球的阻力系數(shù)、附加質(zhì)量系數(shù)、特征面積等參數(shù)，以不斷提高模型的精確性和適應(yīng)性，更好實現(xiàn)空飄氣球的軌跡實時預(yù)測。