地下水地源熱泵單井回灌率計(jì)算方法探討

孔凡杜 王玉虎 柳曉松 尚飛龍

摘要：在淺層地?zé)崮苷{(diào)查過(guò)程中，地下水地源熱泵單井回灌率的計(jì)算沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，用常規(guī)方法計(jì)算的結(jié)果不準(zhǔn)確，甚至出現(xiàn)大于100%的現(xiàn)象。本文以蘭陵縣鄉(xiāng)村振興淺層地溫能調(diào)查評(píng)價(jià)項(xiàng)目中L1號(hào)孔抽水回灌試驗(yàn)為例，對(duì)科學(xué)計(jì)算地下水地源熱泵單井回灌率的方法和過(guò)程進(jìn)行探討，采用圖解法和曲率法判斷抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型，利用最小二乘法和圖解法計(jì)算抽水試驗(yàn)曲線方程，再根據(jù)曲線方程推算井孔在降深等于回灌試驗(yàn)最大升程的出水量，從而計(jì)算出單井回灌率。該計(jì)算方法科學(xué)、合理，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、易操作，可作為淺層地?zé)崮苷{(diào)查和地下水地源熱泵勘查、設(shè)計(jì)過(guò)程中資料整理的參考。

關(guān)鍵詞：地下水地源熱泵；單井回灌率

基金項(xiàng)目：山東省自然資源廳，蘭陵縣鄉(xiāng)村振興淺層地溫能調(diào)查評(píng)價(jià)，魯自然資函〔2019〕902號(hào)。

淺層地?zé)崮苁菑牡乇碇恋叵?00m深度范圍內(nèi)，儲(chǔ)存于水體、土體、巖石中的溫度低于25℃，采用熱泵技術(shù)可提取用于建筑物供熱或制冷等的地?zé)崮?，這類(lèi)低溫?zé)嵩纯梢源蟠蟮亟档蛡鹘y(tǒng)供暖與制冷的能耗，節(jié)約成本，具有較強(qiáng)的開(kāi)發(fā)潛力，是一種綠色能源[1]。地下水含水層的回灌能力直接影響地下水地源熱泵工程中回灌井的數(shù)量，從而影響地下水地源熱泵工程建設(shè)和運(yùn)行的成本，是淺層地?zé)崮苷{(diào)查評(píng)價(jià)工作的重要調(diào)查內(nèi)容[2-4]。單井回灌率是表征地下水含水層的回灌能力的重要參數(shù)。

1.常規(guī)計(jì)算方法

作為表征地下水含水層回灌能力的參數(shù)，單井回灌率即為單井的回灌量與出水量的比值，一般情況下不同降深（或升程）單井的出水量（或回灌量）不同[5]，因此單井回灌率采用單井單位升程的回灌量（單位回灌量）與單井單位降深的出水量（單位出水量）的比值進(jìn)行計(jì)算（見(jiàn)公式（1））。

X=q灌/q出公式（1）

其中：X——單井回灌率，單位%；

q灌——單位回灌量，q灌=Q灌/S灌，單位L/（s.m）；

q出——單位出灌量，q出=Q出/S出，單位L/（s.m）。

通常采用回灌試驗(yàn)最大升程的回灌量除以最大升程計(jì)算單位回灌量，采用抽水試驗(yàn)最大降深的出水量除以最大降深計(jì)算單位出水量。

下面以2019年開(kāi)展的蘭陵縣鄉(xiāng)村振興淺層地溫能調(diào)查評(píng)價(jià)項(xiàng)目中L1號(hào)孔抽水、回灌試驗(yàn)（見(jiàn)表1）為例進(jìn)行探討。

L1號(hào)孔于2019年11月19日至2019年11月22日開(kāi)展了抽水和回灌試驗(yàn)，其中抽水試驗(yàn)進(jìn)行了3次降深，抽水延續(xù)時(shí)間41.5h，最大降深8.82m，對(duì)應(yīng)的單位出水量0.86L/（s.m）；回灌試驗(yàn)進(jìn)行了1次升程，回灌延續(xù)時(shí)間50h，最大升程7.17m，對(duì)應(yīng)的單位回灌量0.83L/（s.m）。根據(jù)常規(guī)方法進(jìn)行計(jì)算，L1號(hào)孔單井回灌率為96.5%。

2.存在問(wèn)題分析

從表1中看出，抽水試驗(yàn)過(guò)程中不同降深時(shí)計(jì)算的單位出水量是不同的，計(jì)算的單位出水量在降深最低時(shí)最大，降深最大時(shí)最小，單位出水量隨降深的增大而減小。

由于受到地下水位埋深的影響，回灌試驗(yàn)最大水位升程是一定的，從而造成單位回灌量是一定的；對(duì)于富水性強(qiáng)的含水層，受到回灌設(shè)備能力的影響，最大回灌量及最大水位升程是一定的，從而造成單位回灌量是一定的。根據(jù)公式1可知，單位回灌量位于分子位置，單位出水量位于分母位置。其中分子不變，分母是可變的，當(dāng)抽水試驗(yàn)最大降深較小時(shí)，單位出水量較大，相應(yīng)的單井回灌率較??；當(dāng)抽水試驗(yàn)最大降深較大時(shí)，單位出水量較小，相應(yīng)的單井回灌率較大，甚至出現(xiàn)超過(guò)100%的情況[6]，這是不符合常識(shí)的。因此，常規(guī)方法計(jì)算單井回灌率是不合理的，不合理因素的關(guān)鍵是計(jì)算單位出水量時(shí)降深的選取。

3.計(jì)算方法探討

3.1計(jì)算思路

根據(jù)以上存在問(wèn)題的分析，要合理計(jì)算單井回灌率，就不能采用抽水試驗(yàn)最大降深時(shí)的單位出水量，而必須在抽水試驗(yàn)降深與回灌試驗(yàn)升程一致的情況下進(jìn)行，而在實(shí)際試驗(yàn)過(guò)程中很難滿足這樣的條件，因此，就必須通過(guò)相關(guān)計(jì)算使得二者一致。

具體計(jì)算思路：①利用圖解法或曲度法判斷抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型；②利用最小二乘法或圖解法計(jì)算抽水試驗(yàn)曲線線性方程；③根據(jù)計(jì)算出的線性方程，計(jì)算出在與回灌試驗(yàn)最大升程相等的降深時(shí)的出水量；④計(jì)算出與回灌試驗(yàn)最大升程相等的降深時(shí)的單位出水量；⑤采用公式（1）計(jì)算出單井回灌率。

由于計(jì)算過(guò)程中計(jì)算出水量的降深與計(jì)算回灌量的升程相等，公式（1）可簡(jiǎn)化為：

X=Q灌/Q出推公式（2）

其中：Q出推——與回灌試驗(yàn)最大升程相等的降深時(shí)的出水量。

因此，以上計(jì)算思路可簡(jiǎn)化為：①利用圖解法或曲度法判斷抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型；②利用最小二乘法或圖解法計(jì)算抽水試驗(yàn)曲線線性方程；③根據(jù)計(jì)算出的線性方程，計(jì)算出在與回灌試驗(yàn)最大升程相等降深時(shí)的出水量；④采用公式（2）計(jì)算出單井回灌率。

3.2計(jì)算過(guò)程

下面我們還是以2019年開(kāi)展的蘭陵縣鄉(xiāng)村振興淺層地溫能調(diào)查評(píng)價(jià)項(xiàng)目中L1號(hào)孔抽水、回灌試驗(yàn)的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行計(jì)算。

3.2.1曲線類(lèi)型判斷

我們知道抽水試驗(yàn)Q-S曲線有直線型、拋物線型、冪函數(shù)曲線型、對(duì)數(shù)曲線型等4種類(lèi)型[7-8]。在進(jìn)行相應(yīng)的變換后，這4種曲線都可以變?yōu)镼-S、S0-Q、lgQ-lgS、Q-lgS的線性方程。

直線型：Q=qS（公式（3））（q為待定系數(shù)）；

拋物線型：S0=a+bQ（公式（4））（S0=S/Q，a、b為待定系數(shù)）；

冪函數(shù)曲線型：lgQ=lgn+lgS/m（公式（5））（n、m為待定系數(shù)）；

對(duì)數(shù)曲線型：Q=a+blgS（公式（6））（a、b為待定系數(shù)）。

判斷抽水曲線類(lèi)型一般有兩種方法，即圖解法和曲度法。

（1）圖解法。對(duì)于有3次以上（含3次）降深的抽水試驗(yàn)（如L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)）一般采用EXCEL圖解法進(jìn)行判斷較為簡(jiǎn)便快捷，而對(duì)于只有2次降深的抽水試驗(yàn)則不可用。

先計(jì)算L1抽水試驗(yàn)的S0（S/Q）、lgQ、lgS（見(jiàn)表2），在將表2內(nèi)容輸入內(nèi)容輸入到EXCEL表格中，然后分別按Q=f（S）、S0=f（Q）、lgQ=f（lgS）和Q=f（lgS）四種曲線繪制離散點(diǎn)。

對(duì)Q=f（S）中的離散點(diǎn)添加多項(xiàng)式趨勢(shì)線（擬合曲線），可以看出，Q=f（S）是曲線而不是直線，說(shuō)明直線型可以排除，方程類(lèi)型應(yīng)為其他三種類(lèi)型中的一種。

分別對(duì)另外三種曲線圖中的離散點(diǎn)添加線性趨勢(shì)線，并顯示線性公式及R平方值（即判定系數(shù)），根據(jù)擬合結(jié)果可以看出，三種曲線線性趨勢(shì)線的R平方值分別為0.9995、0.9999、0.9937，見(jiàn)圖1。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，判定系數(shù)R平方值是趨勢(shì)線擬合程度的指標(biāo)，它的數(shù)值大小可以反映趨勢(shì)線的估計(jì)值與對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)據(jù)之間的擬合程度，擬合程度越高，趨勢(shì)線的可靠性就越高。判定系數(shù)R平方值是取值范圍在0～1之間的數(shù)值，當(dāng)趨勢(shì)線的R平方值等于1或接近1時(shí)，其可靠性最高，反之則可靠性較低[9]。

由于lgQ=f（lgS）曲線的線性擬合的判定系數(shù)R平方值最接近1，其擬合程度最高，可靠性最高，可以判斷該抽水試驗(yàn)Q-S曲線類(lèi)型為冪函數(shù)型。

（2）曲度法。2次以上（含2次）降深的抽水試驗(yàn)均可采用曲度法進(jìn)行曲線類(lèi)型判斷。

曲度n是表征曲線彎曲程度的數(shù)值，不同的曲度對(duì)應(yīng)不同的抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型：當(dāng)n=1時(shí)，為直線型；當(dāng)n=1～2時(shí)，為冪函數(shù)型；當(dāng)n=2時(shí)，為拋物線型；當(dāng)n>2時(shí)，為對(duì)數(shù)型[10]。

曲度n的公式為n=（lgS1-lgS2）/（lgQ1-lgQ2）（公式（7））

將L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入公式（7），該鉆孔抽水試驗(yàn)有3組數(shù)據(jù)，排列組合可計(jì)算出3個(gè)曲度n值，分別為1.88、1.94、1.92，平均值1.91，各數(shù)值和平均值均介于1～2之間，由此可以判斷該抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型為冪函數(shù)型，與圖解法結(jié)論一致。

3.2.2曲線方程計(jì)算

確定鉆孔抽水試驗(yàn)Q-S曲線經(jīng)驗(yàn)方程一般采用國(guó)家煤礦安全監(jiān)察局編制的《煤礦防治水規(guī)定釋義》中介紹的方法，即先用作圖法判斷Q-S曲線類(lèi)型，再用圖解法或最小二乘法確定經(jīng)驗(yàn)方程[7]。在曲線類(lèi)型判斷的基礎(chǔ)上，可進(jìn)行曲線方程的計(jì)算。曲線方程計(jì)算一般有兩種方法，即最小二乘法和圖解法。

（1）最小二乘法。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。

在抽水曲線方程計(jì)算過(guò)程中，可利用最小二乘法計(jì)算各曲線方程（公式（3）、公式（4）、公式（5）、公式（6））中的待定系數(shù)。

首先計(jì)算L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)的S0（S/Q）、lgQ、lgS（見(jiàn)表2），根據(jù)抽水曲線類(lèi)型判斷，L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型為冪函數(shù)型。

將表2中的數(shù)據(jù)分別代入公式（11）、公式（12）計(jì)算得到公式（5）的待定系數(shù)m=1.921、n=2.425。

因此計(jì)算出L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)曲線方程為lgQ=0.5206lgS+0.3847（公式15）。

（2）圖解法。根據(jù)抽水曲線類(lèi)型判斷，L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)曲線類(lèi)型為冪函數(shù)型。在將表2中L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入內(nèi)容輸入到EXCEL表格中，以lgS為橫軸，lgQ為縱軸，按lgQ=f（lgS）曲線繪制離散點(diǎn)（見(jiàn)圖1）。對(duì)離散點(diǎn)添加冪函數(shù)趨勢(shì)線并顯示公式，（如圖1），其顯示的線性方程為y=0.5200x+0.3853[公式（17）]，因此該冪函數(shù)型（L1號(hào)孔抽水試驗(yàn)）曲線方程為lgQ=0.5200lgS+0.3853[公式（18）]。

3.2.3曲線方程的確定

對(duì)比最小二乘法和圖解法計(jì)算的曲線方程可以看出，二者基本一致，由于圖解法采用計(jì)算機(jī)EXCEL軟件進(jìn)行的計(jì)算，結(jié)果更精確，因此本文最終確定采用圖解法計(jì)算的方程，即L1抽水試驗(yàn)曲線方程為公式（18）。

3.2.4單井回灌率計(jì)算

將L1號(hào)孔回灌試驗(yàn)最大升程7.17m作為降深S代入公式（19），計(jì)算出出水量Q=6.763L/s，即推算降深7.17m時(shí)單井出水量為6.673L/s。最后將推算的涌水量Q代入公式（2）中，計(jì)算出L1號(hào)孔單井回灌率X為89.7%。

4.結(jié)論

（1）對(duì)于3次以上（含3次）降深的抽水試驗(yàn)，采用EXCEL圖解法判斷曲線類(lèi)型較為簡(jiǎn)便快捷；對(duì)于2次降深的抽水試驗(yàn)，只能采用曲率法進(jìn)行判斷。（2）采用最小二乘法計(jì)算曲線方程的過(guò)程中由于計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，如果不借助編程或EXCEL軟件，計(jì)算復(fù)雜，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還容易出錯(cuò)，因此采用EXCEL圖解法更簡(jiǎn)便、精確。（3）由于采用曲線方程推算涌水量有一個(gè)外延極限，根據(jù)1978年地質(zhì)礦產(chǎn)部編制的《水文地質(zhì)手冊(cè)》，直線型曲線方程的外延極限為抽水試驗(yàn)最大降深的1.5倍～1.75倍，拋物線型、冪函數(shù)型和對(duì)數(shù)型曲線方程的外延極限為抽水試驗(yàn)最大降深的1.75倍～2倍。因此，要求我們?cè)谶M(jìn)行抽水、回灌試驗(yàn)時(shí)，抽水試驗(yàn)最大降深和回灌試驗(yàn)最大升程相差不易過(guò)大。（4）該計(jì)算方法科學(xué)、合理，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、易操作，可在淺層地?zé)崮苷{(diào)查和地下水地源熱泵勘查、設(shè)計(jì)過(guò)程資料整理中參考。

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