教育神經(jīng)科學(xué)視野下的研究性單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

吳增生

摘? 要：教育神經(jīng)科學(xué)是一門新興學(xué)科，它綜合運(yùn)用生物學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)、神經(jīng)心理學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)、發(fā)展與教育科學(xué)的視角和方法研究教育活動(dòng). 用教育神經(jīng)科學(xué)的視野分析和研究幾何教學(xué)，創(chuàng)新發(fā)展學(xué)生空間觀念、幾何直觀和推理能力的教學(xué)策略——融合直觀與邏輯的研究性單元整體教學(xué).應(yīng)用這一策略整體設(shè)計(jì)“相交線與平行線”教學(xué)框架，開發(fā)教學(xué)案例，為進(jìn)一步把這種策略應(yīng)用于課堂教學(xué)提供可參照的教學(xué)設(shè)計(jì)樣例.

關(guān)鍵詞：教育神經(jīng)科學(xué);研究性單元整體教學(xué);案例設(shè)計(jì)

教育神經(jīng)科學(xué)是綜合運(yùn)用生物學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)、神經(jīng)心理學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)、發(fā)展與教育科學(xué)的視角和方法研究教育活動(dòng)的一門新興學(xué)科. 它從基因、分子、突觸、神經(jīng)元、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)系統(tǒng)、課堂行為等不同層面揭示學(xué)生學(xué)習(xí)行為產(chǎn)生的完整過程，以對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為提供因果解釋，研究學(xué)習(xí)和教育的規(guī)律. 隨著認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的腦內(nèi)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其活動(dòng)的研究成果越來越豐富. 近二十年來，下列領(lǐng)域的研究取得了大量成果：支撐數(shù)學(xué)認(rèn)知加工的核心神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究，包括視覺空間和數(shù)量加工神經(jīng)環(huán)路、語義環(huán)路、情境環(huán)路的研究;空間與數(shù)量整合的“心理數(shù)軸”研究;空間視覺背側(cè)與腹側(cè)通路的分工協(xié)作并協(xié)同海馬區(qū)（特別是海馬旁回位置區(qū)）對(duì)物體的位置、形狀、大小、運(yùn)動(dòng)等加工機(jī)制研究;推理的神經(jīng)機(jī)制研究;問題解決的神經(jīng)機(jī)制研究;情緒加工的神經(jīng)機(jī)制研究;等等. 這些研究成果為改進(jìn)數(shù)學(xué)教育提供了比較堅(jiān)實(shí)的科學(xué)理論基礎(chǔ).

基于這些研究成果，結(jié)合對(duì)幾何研究思想的分析，筆者提出了“融合直觀與邏輯的研究性單元整體教學(xué)”的幾何教學(xué)策略，具體如下：① 創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫骋胙芯繉?duì)象，明確研究問題，體會(huì)研究?jī)r(jià)值和意義;② 用圖形研究的“大觀念”引領(lǐng)整體規(guī)劃研究主線;③ 加強(qiáng)直觀與邏輯的融合;④ 引導(dǎo)學(xué)生從一般到特殊，從定性到定量地研究幾何圖形及其關(guān)系;⑤ 分散和集中相結(jié)合，訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;⑥ 創(chuàng)造促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的情緒環(huán)境.

所謂研究性單元整體教學(xué)，指的是以主題研究為核心設(shè)計(jì)研究主線，引導(dǎo)學(xué)生自主研究，通過主題研究獲得知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 這種教學(xué)策略有兩個(gè)最顯著的特點(diǎn)：一是研究性，具有明確的研究主題和研究主線;二是整體性，關(guān)注知識(shí)的整體建構(gòu). 下面以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第五章“相交線與平行線”為例（不包括平移），說明這種研究性單元整體教學(xué)是如何設(shè)計(jì)的.

一、分析內(nèi)容邏輯結(jié)構(gòu)，構(gòu)建單元研究主題與研究主線

初中幾何是小學(xué)實(shí)驗(yàn)幾何到推理幾何的發(fā)展，研究方法從直觀方法發(fā)展到基于直觀的邏輯方法. 用邏輯推理的方法研究幾何，是以概念和公理（基本事實(shí)）為基礎(chǔ)，從點(diǎn)、線、面等基本要素出發(fā)，構(gòu)建幾何對(duì)象并研究其性質(zhì). 在七年級(jí)上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從實(shí)物中抽象出幾何圖形，分離出構(gòu)成幾何圖形的要素——點(diǎn)、線、面，學(xué)習(xí)了直線、射線、線段和角等相關(guān)知識(shí)，形成了幾何基本概念體系，研究了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，定義了相交線.

在這些學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，本章重點(diǎn)研究平面上兩條直線之間的位置關(guān)系——相交與平行. 直觀地看，在平面上任意畫兩條直線，一般來說是相交的，平行是其特殊情況. 那么，為什么要研究相交線與平行線呢？根據(jù)格式塔原理，人們會(huì)把互相平行的線條知覺為一個(gè)整體，其認(rèn)知神經(jīng)學(xué)依據(jù)是空間視覺神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中方向感知神經(jīng)元按照方向分類激活這一原理. 研究相交線是借助基準(zhǔn)直線刻畫一條直線的方向的需要，引入“三線八角”是借助基準(zhǔn)直線刻畫直線之間不同方向關(guān)系的需要，平行線的研究則是借助基準(zhǔn)直線刻畫直線平行（同向）關(guān)系. 到高中階段，進(jìn)一步用向量共線來刻畫兩條直線同向.

因此，相交線與平行線研究的核心問題是：如何借助基準(zhǔn)直線刻畫平面內(nèi)任一直線的方向;如何借助基準(zhǔn)直線建立判斷平面內(nèi)兩條直線是否相交的準(zhǔn)則（如同位角不相等，兩直線相交;同位角相等，兩直線不相交，即同位角相等，兩直線平行）. 研究的主線是：先研究相交線（包括“垂直”特例），再研究平行線. 知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯關(guān)系和研究主線可用圖1表示.

研究主題：平面直線方向及其關(guān)系的刻畫.

研究主線[相交：定義—性質(zhì)—特例;平行：定義—判定、性質(zhì).]

二、分析課程標(biāo)準(zhǔn)，明確單元教學(xué)要求

分析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)圖形與幾何領(lǐng)域的整體目標(biāo)，可以明確其整體目標(biāo)是：發(fā)展空間觀念，建立初步的幾何直觀，發(fā)展推理能力.

對(duì)于“相交線”的內(nèi)容目標(biāo)較多，目標(biāo)層次也有所不同，需要融入主題研究的各種活動(dòng)中. 例如，在相交線的研究中，通過畫圖、想象和推理，學(xué)習(xí)鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的性質(zhì)，學(xué)習(xí)垂線的相關(guān)概念、事實(shí);基于平行線的直觀經(jīng)驗(yàn)，基于想象和操作確認(rèn)獲得平行線的基本事實(shí)，進(jìn)而通過推理證明得到平行線的判定和性質(zhì)定理. 在這些學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)展空間觀念、建立幾何直觀、發(fā)展推理能力. 這些目標(biāo)在本單元內(nèi)容中的定位如圖2所示.

動(dòng)態(tài)感知與想象——空間觀念;用角刻畫直線的方向及其關(guān)系——幾何直觀;發(fā)現(xiàn)、提出和證明命題——推理能力.

三、分析學(xué)情，為設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方案奠基

對(duì)直線、角的概念及其方向差含義的理解是學(xué)習(xí)相交線與平行線內(nèi)容的基礎(chǔ). 因此，理解直線的本質(zhì)是“點(diǎn)沿著一個(gè)固定方向無始無終地?zé)o限運(yùn)動(dòng)”得到的對(duì)象，直線具有方向性，可以用方向和點(diǎn)刻畫直線，這對(duì)學(xué)習(xí)相交線與平行線是至關(guān)重要的. 實(shí)際上，對(duì)直線方向及其連續(xù)變換的視覺感知具有特定的腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)支持，垂直的特殊性及應(yīng)用的廣泛性是基于大腦對(duì)水平和縱向線條的空間視覺的敏感性，平行則是基于大腦對(duì)相同方向線條的視覺感知的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重疊，同一方向激活相同的神經(jīng)元群. 充分利用大腦的這些認(rèn)知神經(jīng)機(jī)制，可以改進(jìn)相交線與平行線的教學(xué). 其關(guān)鍵是以下三個(gè)方面. 第一，先用動(dòng)態(tài)圖形引發(fā)學(xué)生的線條方向空間視覺，發(fā)展空間觀念;在此基礎(chǔ)上用角進(jìn)行量化刻畫，建立空間與數(shù)量之間的聯(lián)系. 如果學(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期的學(xué)習(xí)中沒有建立直線方向的空間運(yùn)動(dòng)知覺，沒有理解角度刻畫方向的功能，則在本單元內(nèi)容的直觀感知中會(huì)遇到困難. 第二，對(duì)“三線八角”的空間結(jié)構(gòu)理解困難會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)平行線性質(zhì)和判定的困難. 第三，學(xué)生演繹推理的經(jīng)驗(yàn)少，對(duì)演繹證明的必要性和表達(dá)方式難以理解，特別是對(duì)命題的題設(shè)和結(jié)論區(qū)分困難，這也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 用直線的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)建立方向直觀，用角度刻畫方向，借助基準(zhǔn)直線刻畫直線的方向，理解“三線八角”的空間結(jié)構(gòu)，通過類比、說明和舉例，幫助學(xué)生區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論，理解演繹證明的邏輯語言體系. 這些是幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的基本策略.

四、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)框架

基于以上分析，考慮以“如何刻畫平面上直線的位置及其關(guān)系”為研究主題，創(chuàng)設(shè)情境，引入研究對(duì)象、提出研究問題、規(guī)劃研究主線;分“相交”和“平行”兩個(gè)階段分步實(shí)施，構(gòu)建整體邏輯體系.“相交線”研究的核心問題是如何借助基準(zhǔn)直線用角度刻畫一條直線的方向;“平行線”研究的核心問題是借助基準(zhǔn)直線用角度刻畫兩條直線方向之間的關(guān)系，得到平面內(nèi)兩條直線是否相交（平行）的判斷準(zhǔn)則（充分必要條件）. 這里滲透了共線向量的含義.

1. 整體規(guī)劃——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引入研究對(duì)象，提出研究問題，規(guī)劃研究主線

（1）從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出相交線與平行線.

基于現(xiàn)實(shí)情境：從圍欄和高樓立面的橫縱線條形象（圖3和圖4）抽象出平面內(nèi)直線之間的位置關(guān)系——相交（包括垂直）和平行. 基于方向建立相交和平行的直觀理解：直線方向相同——平行;直線方向不同——相交，直線方向用從左向右的方向定義. 這是基于視線條朝向知覺原理設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)（詳見文[20]）.

（2）基于直觀，提出研究問題.

水平直線和豎直直線很容易分辨，但傾斜的直線怎樣刻畫？

① 已知一條直線b及其上的一點(diǎn)O，想象直線b的不確定性，說出直線b的位置變化，并動(dòng)態(tài)展示其變化過程——旋轉(zhuǎn)改變方向，而要刻畫這些直線的差異，需要以一條直線a為基準(zhǔn)，研究不同的直線與基準(zhǔn)直線的方向差異（如圖5），這就是相交線要研究的問題.

② 任意一條直線的方向可以借助基準(zhǔn)直線進(jìn)行刻畫，那么兩條直線的方向關(guān)系怎樣刻畫？引導(dǎo)學(xué)生考慮用共同的基準(zhǔn)直線a刻畫直線b，c的方向（分別在直線b，c上畫點(diǎn)O，點(diǎn)P，過點(diǎn)O，P作直線a）（如圖6）;固定直線b，繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)直線c，發(fā)現(xiàn)會(huì)出現(xiàn)直線c與直線b平行（不相交）的情況（如圖7）. 進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生提出本單元研究的核心問題：借助基準(zhǔn)直線刻畫任意一條直線的方向，研究?jī)蓷l直線的方向之間的關(guān)系（方向不同——相交;方向相同——平行）.

（3）規(guī)劃研究主線.

引導(dǎo)學(xué)生回顧角的概念及本質(zhì)，讓學(xué)生明確本單元研究的主要問題：用角及其關(guān)系刻畫同一平面上直線的方向及其關(guān)系（包括相交和平行）. 規(guī)劃研究主線如圖8所示.

2. 分步實(shí)施1——用基準(zhǔn)直線刻畫一條直線的位置

（1）建構(gòu)圖形.

簡(jiǎn)化圖5得到圖9，構(gòu)建相交線的簡(jiǎn)約圖形.

（2）提出問題.

引導(dǎo)學(xué)生提出問題：怎樣刻畫直線AB和直線CD的方向差異？即開口大?。梢杂眉舻蹲鳛楝F(xiàn)實(shí)直觀模型）——用角刻畫.

（3）分析問題.

首先是找角，發(fā)現(xiàn)有四個(gè)角，產(chǎn)生疑問：用哪個(gè)角刻畫方向的差異？進(jìn)一步轉(zhuǎn)換問題：研究四個(gè)角∠AOC，∠COB，∠BOD，∠AOD之間的關(guān)系，用位置關(guān)系來定義鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角，研究角的數(shù)量關(guān)系.

（4）解決問題.

分析四個(gè)角的位置關(guān)系，引入鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念，明確其空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn);分類研究鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的數(shù)量關(guān)系，通過推理得到結(jié)論：鄰補(bǔ)角互補(bǔ);對(duì)頂角相等. 進(jìn)一步明確，如果∠AOC的大小確定（度數(shù)為[α°]），則∠COB，∠BOD，∠AOD的大小也唯一確定（度數(shù)分別為[180-α°，α°， 180-α°]），所以可以用其中任意一個(gè)角的大小來刻畫相交直線AB，CD的不同位置關(guān)系（方向差異）.

在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生充分用語言表述概念和說理過程，針對(duì)圖形解釋陳述，說明推理步驟. 這是應(yīng)用了演繹推理中“用語言表達(dá)陳述，基于任務(wù)與空間結(jié)合構(gòu)建推理步驟，結(jié)合空間視覺，用語言符號(hào)表達(dá)推理過程”的認(rèn)知神經(jīng)學(xué)原理.

（5）特殊化.

首先，動(dòng)態(tài)展示圖9中直線CD繞著點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)過程，讓學(xué)生基于水平方向和縱向知覺的敏感性發(fā)現(xiàn)垂直這一特殊情況，給出兩條直線垂直的相關(guān)定義，研究其性質(zhì)（相交形成的四個(gè)角相等）. 其次，引導(dǎo)學(xué)生畫垂線，通過畫垂線活動(dòng)的歸納，結(jié)合空間視覺想象獲得垂線的唯一性基本事實(shí). 再次，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究怎樣刻畫直線外一點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，基于兩點(diǎn)之間距離的動(dòng)態(tài)變化，通過找代表引入刻畫點(diǎn)與直線位置關(guān)系的量化工具——點(diǎn)到直線的距離. 最后，引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)到直線的距離的概念解決現(xiàn)實(shí)問題.

在完成相交線的研究后，配置一節(jié)習(xí)題課，幫助學(xué)生理解相交線、垂線、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念，用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對(duì)頂角相等及垂線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理計(jì)算，解決實(shí)際問題. 例如，間接測(cè)量角度，應(yīng)用距離研究問題等. 相交線的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)用了“數(shù)學(xué)演繹證明發(fā)展基于知覺運(yùn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的原理”和融合直觀與邏輯的教學(xué)策略.

3. 分步實(shí)施2——用基準(zhǔn)直線研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系

（1）提出問題.

如圖10，直線AB固定，旋轉(zhuǎn)直線CD，怎樣刻畫直線AB，CD的位置關(guān)系（即方向關(guān)系）？

（2）分析問題.

直線AB和直線CD的方向都可以以直線EF的方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，借助角來刻畫. 例如，可以借助∠BOF和∠DPF分別刻畫直線AB和直線CD的方向. 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣用角的關(guān)系刻畫直線AB和直線CD的方向關(guān)系？顯然，需要研究以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的角和以P為頂點(diǎn)的角之間的關(guān)系.

（3）解決問題.

類似于兩條直線相交，研究以點(diǎn)O為頂點(diǎn)及以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角之間的位置關(guān)系. 這樣，引入同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念就水到渠成了. 當(dāng)然，還有其他位置關(guān)系，只要重點(diǎn)學(xué)習(xí)這三種基本位置關(guān)系的角即可. 要注意的是，“三線八角”中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)這些角的空間位置關(guān)系的辨別，以找“截線（兩角的一邊所在的共同直線）”為重點(diǎn)，需要通過操作、借助手勢(shì)等進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練.

（4）特殊化——研究平行線.

① 建構(gòu)圖形.

通過動(dòng)畫展示直線CD的旋轉(zhuǎn)變化過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖10中直線AB與直線CD的特殊情況——同向（如圖11）. 指出這是本單元研究的重點(diǎn). 觀察同向直線的特點(diǎn)——沒有公共點(diǎn)，在此直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上結(jié)合平面上兩條直線位置關(guān)系的分類，給出平行線的定義：同一平面內(nèi)不相交（沒有公共點(diǎn)）的直線叫做平行線.

通過直觀觀察和想象，確認(rèn)基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

② 提出問題.

根據(jù)定義，無法檢驗(yàn)兩條直線是否平行. 提出問題：需要給出可操作的判斷兩條直線平行的方法.

③ 分析問題.

從哪里尋找可操作的判斷方法？由于方向相同的兩條不同直線從直觀上看沒有公共點(diǎn). 因此，從刻畫直線方向的角的關(guān)系上尋找可操作的判斷準(zhǔn)則. 通過動(dòng)態(tài)展示直線CD繞點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)過程，可以發(fā)現(xiàn)同位角相等時(shí)意味著直線AB和直線CD同向，此時(shí)這兩條直線平行. 通過直觀觀察和想象概括出“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”. 為了深化學(xué)生的直觀理解，可以引導(dǎo)學(xué)生開展作平行線的活動(dòng)（無約束畫平行線，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線），可以用平推法畫平行線，也可以用其他方法畫平行線（教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生更多采用的是畫垂線構(gòu)造90°的同位角的方法）. 這兩種畫圖方法的依據(jù)都是上述基本事實(shí).

④ 解決問題.

有了上述基本事實(shí)，可以結(jié)合圖11中的“三線八角”，思考是否能用內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角找到判定平行線的準(zhǔn)則，并引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”.

（5）拓展問題——研究平行線的性質(zhì).

有了判定兩條直線平行的方法，還要進(jìn)一步研究判定兩條直線不平行（相交）的方法. 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖11思考：在同位角存在什么關(guān)系的情況下，直線AB和直線CD不平行（相交）？再次基于圖11展示直線CD的旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫，得到圖12. 學(xué)生根據(jù)圖形可以直觀判斷：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角不相等，那么這兩條直線就不平行（相交）. 進(jìn)一步思考：能把這個(gè)命題中的“不”字去掉并進(jìn)行改寫嗎？事實(shí)上，這一陳述的另一種表達(dá)方式是：如果兩條直線平行，那么同位角不能不相等，即“兩條直線平行，同位角相等”. 學(xué)生沒有見過這種逆否命題的表述轉(zhuǎn)換，需要舉一些生活中的例子幫助理解，也可以讓學(xué)生測(cè)量平行線被第三條直線截得的同位角，考察其大小關(guān)系，在兩條直線平行的前提下，變化截線的位置，通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)同位角相等，并通過歸納進(jìn)行驗(yàn)證，還可以介紹反證法證明的過程.

有了這一平行線的同位角性質(zhì)，可以引導(dǎo)學(xué)生類比平行線判定中的推理，通過推理得到平行線內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的有關(guān)性質(zhì). 事實(shí)上，定義是刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的充分必要條件，判定是刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的充分條件，性質(zhì)是刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的必要條件. 性質(zhì)越多越容易判斷一個(gè)對(duì)象“不是什么”，而判定的條件越少越容易判斷這個(gè)對(duì)象是“是什么”. 圖形的一條性質(zhì)定理如果其逆命題為真，它也可以作為判定定理，于是得到了這類圖形的一個(gè)等價(jià)定義. 這就是為什么對(duì)于特殊的圖形和圖形關(guān)系都重視其性質(zhì)定理逆命題的研究，得到判定的價(jià)值所在. 由于平行線判定的逆命題也真，所以這三個(gè)判定是判斷兩條直線平行的充分必要條件，這樣我們就有了判斷兩條直線是否平行的正反兩個(gè)方面可操作的方法，這就意味著我們完全把握了平面上兩條直線的位置關(guān)系.

由于平行線的定義、性質(zhì)、判定邏輯聯(lián)系緊密，前后連貫、邏輯一致，這為進(jìn)行研究性單元整體教學(xué)提供了良好的課程資源，通過這種教學(xué)，可以幫助學(xué)生體會(huì)直觀與推理的關(guān)系，以及推理在建立命題之間聯(lián)系、組織局部邏輯體系中的作用. 上述平行線的整體教學(xué)用兩節(jié)聯(lián)排課實(shí)施.

學(xué)生空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力的發(fā)展離不開訓(xùn)練，但要整合課堂內(nèi)外整體審視思維訓(xùn)練，課堂中的直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證是訓(xùn)練的主平臺(tái)，課外訓(xùn)練是課內(nèi)訓(xùn)練的延續(xù)、拓展和補(bǔ)充. 平行線的研究可以配兩節(jié)習(xí)題課：第一節(jié)課單獨(dú)應(yīng)用平行線的判定或性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算;第二節(jié)課綜合運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算，解決簡(jiǎn)單的問題.

4. 基于平行線研究結(jié)果的邏輯整理，進(jìn)行“命題與證明”的教學(xué)

在“命題與證明”內(nèi)容的教學(xué)中，以相交線、平行線研究成果的邏輯整理為主線，介紹命題、定義、證明的相關(guān)概念，結(jié)合具體推理過程中的命題（如證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行”）讓學(xué)生體會(huì)命題是數(shù)學(xué)陳述的語言表達(dá)工具，推理是以“論證命題”為橋梁溝通前提命題和結(jié)論命題，知道命題的基本結(jié)構(gòu)是“題設(shè) + 結(jié)論”，命題的分類（真命題、假命題;真命題中的定義、基本事實(shí)、定理等）. 在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)習(xí)題課，讓學(xué)生對(duì)平行線的相關(guān)命題進(jìn)行局部邏輯整理，明確哪些是不需要證明的基本事實(shí)和定義，哪些是需要證明的定理;明確知識(shí)生成的次序結(jié)構(gòu)，形成如圖13所示的知識(shí)樹，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)大廈是怎樣依據(jù)邏輯逐步建立起來的，促進(jìn)學(xué)生的邏輯推理能力向更高水平發(fā)展.

5. 整體復(fù)習(xí)，建構(gòu)知識(shí)體系

在完成本單元的教學(xué)后，需要進(jìn)行回顧整理，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，在相互聯(lián)系中深化對(duì)知識(shí)的理解，建構(gòu)知識(shí)體系，總結(jié)研究過程中的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)研究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 可以先根據(jù)目錄整體粗略回顧研究主線，如圖14所示.

再進(jìn)一步回顧研究得到的結(jié)果，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，如圖15所示.

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步總結(jié)相交線與平行線的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法.

（1）研究思路.

相交線：引入—定義—性質(zhì)—特例（垂線）;

平行線：定義—判定、性質(zhì).

（2）研究?jī)?nèi)容.

用角及其關(guān)系量化刻畫平面上兩條直線的位置關(guān)系（方向關(guān)系）.

（3）研究方法.

畫出圖形、直觀觀察、動(dòng)態(tài)想象—提出猜想—驗(yàn)證猜想（操作確認(rèn)，推理證明）.

單元復(fù)習(xí)課中，應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知重構(gòu)，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化知識(shí)理解，總結(jié)思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成圖形及圖形關(guān)系研究的一般觀念，便于遷移到新的圖形與圖形關(guān)系的研究中. 當(dāng)然，單元復(fù)習(xí)中還需要進(jìn)行知識(shí)、思想方法的理解和應(yīng)用，通過有層次的訓(xùn)練鞏固知識(shí)、發(fā)展能力.

6. 設(shè)計(jì)研究性作業(yè)與習(xí)題課

學(xué)生空間觀念、幾何直觀和推理能力的發(fā)展，研究幾何圖形關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)積累，需要綜合運(yùn)用知識(shí)、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問題的活動(dòng)，可以通過研究性作業(yè)及習(xí)題課來實(shí)現(xiàn). 研究性習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)难芯恐黝}和研究材料. 例如，可以用以下問題和材料引導(dǎo)學(xué)生抽象幾何圖形關(guān)系并進(jìn)行主題研究活動(dòng).

主題作業(yè)1：設(shè)計(jì)潛望鏡.

用兩面平面鏡，試著調(diào)整平面鏡的位置.

（1）設(shè)計(jì)簡(jiǎn)易的前視潛望鏡裝置（如圖16）;

（2）設(shè)計(jì)簡(jiǎn)易的后視潛望鏡裝置（如圖17）.

要求：網(wǎng)上搜索平面鏡反射原理，明確兩個(gè)平面鏡的位置關(guān)系，并說明理由.

答案：（1）兩個(gè)平面鏡互相平行;

（2）兩個(gè)平面鏡互相垂直.

主題作業(yè)2：測(cè)量城墻拐角.

如圖18所示的兩面古城墻，如何測(cè)量其拐角？試設(shè)計(jì)測(cè)量方案，并說明理由.

引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)測(cè)量方案，并用推理的方法說明理由（有多種測(cè)量方法，如用對(duì)頂角相等，用平行線的判定和性質(zhì)等）.

五、結(jié)束語

運(yùn)用研究性整體教學(xué)策略設(shè)計(jì)學(xué)生的主題研究活動(dòng)，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)積極情緒的形成和發(fā)展，又可以發(fā)展學(xué)生大腦的元認(rèn)知策略，形成可以遠(yuǎn)遷移的幾何研究的一般觀念;基于空間知覺運(yùn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，借助語言符號(hào)開展融合直觀與邏輯的研究活動(dòng)，可以充分應(yīng)用大腦的空間視覺的神經(jīng)機(jī)制促進(jìn)學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)，促進(jìn)空間與數(shù)量、空間與時(shí)間、空間與運(yùn)動(dòng)、空間數(shù)量與語言加工的大腦功能融合發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生空間觀念、幾何直觀和推理能力的發(fā)展;通過分層次的分散與集中相結(jié)合的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，形成思想方法;通過主題化、研究性跨學(xué)科問題解決，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和“四能”的發(fā)展. 這是基于教育神經(jīng)科學(xué)視野的幾何研究性單元整體教學(xué)的主要策略. 通過案例設(shè)計(jì)研究，把“融合直觀與邏輯的研究性單元整體教學(xué)”運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐，收集證據(jù)，分析教學(xué)效果，這是今后進(jìn)一步研究的重點(diǎn).

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