一個Hilbert型不等式的一般形式

有名輝，孫 霞

(浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江 杭州 310053)

0 引言

定義加權(quán)賦范線性空間Lp,μ(X)如下：

其中p≥1，μ(x)在X上非負可測.若μ(x)=1，記 ‖f‖p,μ= ‖f‖p，Lp,μ(X)=Lp(X).若f(x),g(y)≥0，且f(x),g(y)∈L2(+)，則有

(1)

其中π2是滿足式(1)的最佳常數(shù)因子[1].不等式(1)通常被稱為Hilbert型不等式.Hilbert型不等式形式多樣，技巧多變，100多年來一直是數(shù)學(xué)研究者熱衷的研究對象.特別是20世紀90年代以來，以楊必成、洪勇、Krnic、Pecaric等為代表的學(xué)者通過不斷創(chuàng)新核函數(shù)、改進系數(shù)、探究高維推廣和算子表示及參數(shù)的等價條件，構(gòu)建了大量形式精巧的新型Hilbert型不等式[2-8].這些不等式的創(chuàng)立借助了許多經(jīng)典分析的技巧，同時也在一定程度上促進了分析學(xué)的發(fā)展.

2008年，楊必成[9]研究了式(1)類似的情形，建立了下列不等式：

(2)

其中C0=0.915 9…為Catalan常數(shù).

2011年，周昱等[10]又建立了一個類似于式(2)且與Euler數(shù)相關(guān)的不等式，即

(3)

其中En(n∈)是Euler數(shù)，即E0=1,E1=1,E2=5,E3=61,….

式(1)、(2)及式(3)相關(guān)的推廣和類比可參考文獻[11-13].在此，通過構(gòu)造一個一般形態(tài)的核函數(shù)，推廣式(3)中的結(jié)果，同時給出一些新的特殊形態(tài)的不等式.

1 預(yù)備知識

引理1[14]設(shè)λ,a,b>0，且a+b=λ，n∈，Φ(x)=cscx，則

(4)

引理2設(shè)0<γ<1，且n∈，Φ(x)=cscx,則

(5)

(6)

作代換lnt=-(k+γ)-1u，則有

(7)

把式(7)代入到式(6)，可得

(8)

令t=1/u，類似可算得

(9)

結(jié)合式(8)和(9)，并利用式(4)，可得式(5).

引理3設(shè)p>1，1/p+1/q=1，γ1,γ2∈，且γ1γ2≠0.另有0<γ<1，n∈，且Φ(x)=cscx.設(shè)u∶Ω1=(a,b)→+及v∶Ω2=(c,d)→+嚴格單調(diào)遞增可微，且u(a+0)=v(c+0)=0，u(b-0)=u(d-0)=+∞.設(shè)

φ1(x)=[u(x)]p(1-γγ1)-1[u′(x)]1-p，φ2(y)=[v(y)]q(1-γγ2)-1[v′(y)]1-q.

函數(shù)fm(x)和gm(y)(m為充分大的自然數(shù))定義如下：

則當m→∞時，有

(10)

證明令uγ1(x)vγ2(y)=t，當γ1>0或γ1<0時，均有

當γ2>0或γ2<0時，又可算得

(12)

此外，通過交換積分的順序，還可算得

(13)

將式(12)和(13)代入到式(11)，可得

令m→∞，由勒貝格控制收斂定理，并結(jié)合式(5)，便可得式(10).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)p>1，1/p+1/q=1，γ1,γ2∈，且γ1γ2≠0.另有0<γ<1，n∈，且Φ(x)=cscx.設(shè)u∶Ω1=(a,b)→+及v∶Ω2=(c,d)→+嚴格單調(diào)遞增可微，且u(a+0)=v(c+0)=0，u(b-0)=u(d-0)=+∞.設(shè)

φ1(x)=[u(x)]p(1-γγ1)-1[u′(x)]1-p，φ2(y)=[v(y)]q(1-γγ2)-1[v′(y)]1-q.

f(x),g(y)≥0，且f(x)∈Lp,φ1(Ω1)，g(y)∈Lq,φ2(Ω2).k(x,y)由引理3定義，則

(14)

其中|γ1|-1/q|γ2|-1/pπ2n+1Φ(2n)(γπ)是滿足式(14)的最佳常數(shù)因子.

證明由H?lder不等式，可得

{∫Ω2?(y)[v(y)]q(1-γγ2)p[v′(y)]1-qgq(y)dy}1/q.

作代換uγ1(x)vγ2(y)=t，由引理2，可得

(16)

同理可算得

(17)

把式(16)和(17)代入到式(15)，可得

(18)

根據(jù)Hilbert不等式相關(guān)文獻[2-3]常用的處理方法，不難證明式(18)不取等號，故式(14)成立.

最后只需證明式(14)中的常數(shù)因子最佳.事實上，若此常數(shù)因子不是最佳值，則有正數(shù)K滿足

K<|γ1|-1/q|γ2|-1/pπ2n+1Φ(2n)(γπ),

(19)

使得式(14)中的常數(shù)因子改為K之后依舊成立，即

(20)

將引理3中定義的fm(x)和gm(y)分別替代式(20)中的f(x)和g(y)，利用引理3，則

令m→∞，則可得與式(19)矛盾的表達式，因此式(14)的常數(shù)因子是最佳的.定理1證畢.

在定理1中，令u(x)=x，v(y)=y，Ω1=Ω2=+，則有:

推論1設(shè)p>1，1/p+1/q=1，γ1,γ2∈，且γ1γ2≠0.另有0<γ<1，n∈，且Φ(x)=cscx.設(shè)f(x),g(y)≥0，φ1(x)=xp(1-γγ1)-1，φ2(y)=yq(1-γγ2)-1.且f(x)∈Lp,φ1(+)，g(y)∈Lq,φ2(+)，則

(21)

其中|γ1|-1/q|γ2|-1/pπ2n+1Φ(2n)(γπ)是滿足式(21)的最佳常數(shù)因子.

在式(21)中，令γ1=β，γ2=-β，β>0，作代換G(y)=g(y)yβ，為形式統(tǒng)一美觀，再把G(y)寫成g(y)，則可得

(22)

其中φ1(x)=xp(1-γβ)-1，φ2(y)=yq(1-(1-γ)β)-1.在式(22)中，令n=0，則式(22)轉(zhuǎn)化為

(23)

(24)

由此知式(22)可轉(zhuǎn)化為式(3)，從而定理1是式(3)的推廣.

在定理1中，令u(x)=ex，v(y)=ey，Ω1=Ω2=+，則有：

推論2設(shè)p>1，1/p+1/q=1，γ1,γ2∈，且γ1γ2≠0.另有0<γ<1，n∈，且Φ(x)=cscx.f(x),g(y)≥0，φ1(x)=x-pγγ1x，φ2(y)=e-qγγ2y，且f(x)∈Lp,φ1(+)，g(y)∈Lq,φ2(+)，則

(25)

其中|γ1|-1/q|γ2|-1/pπ2n+1Φ(2n)(γπ)是滿足式(25)的最佳常數(shù)因子.

在式(25)中，令γ1=β，γ2=-β，β>0，作代換G(y)=g(y)yβ，同樣為了形式統(tǒng)一美觀，把G(y)寫成g(y)，則有

(26)

其中φ1(x)=x-pγβx，φ2(y)=eqγβy.