基于相依函數(shù)型數(shù)據(jù)條件均值函數(shù)估計的漸近性質(zhì)

丁 潔， 凌能祥

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009）

眾所周知，條件均值函數(shù)的非參數(shù)估計是回歸分析研究的重要問題，其理論與方法在經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中已有廣泛的應(yīng)用。條件均值函數(shù)的非參數(shù)估計中，通常解釋變量X取值于Rd空間，響應(yīng)變量Y取值于R1空間，（X，Y）的樣本被認(rèn)為是i.i.d或有某種相依的隨機(jī)變量，文獻(xiàn)［1－2］已取得一些有意義的成果。

近年來，隨著計算技術(shù)的快速發(fā)展，在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境計量學(xué)和計量化學(xué)等領(lǐng)域人們常常收集到曲線數(shù)據(jù)或函數(shù)型觀察值。于是人們開始關(guān)注基于函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷特別是非參數(shù)統(tǒng)計推斷。關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)的詳細(xì)背景及統(tǒng)計推斷的早期工作參見文獻(xiàn)［3－5］。最近，文獻(xiàn)［6］利用Kolmogorov熵的原理和方法，進(jìn)一步研究了基于函數(shù)型數(shù)據(jù)響應(yīng)變量的條件均值函數(shù)、條件分布函數(shù)、條件密度函數(shù)和條件風(fēng)險率函數(shù)的非參數(shù)估計，在i.i.d情形下獲得了有關(guān)非參數(shù)估計量的幾乎完全一致收斂性及其收斂速度。鑒于條件均值函數(shù)在金融中的廣泛應(yīng)用和時間序列問題的相依性，本文進(jìn)一步利用Kolmogorov熵的原理和方法研究基于α混合相依函數(shù)型數(shù)據(jù)有關(guān)條件均值函數(shù)估計的幾乎完全一致收斂性及收斂速度，推廣現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果。

首先簡要介紹強(qiáng)相合的定義。過程｛（Xi，Yi），i≥1｝被稱為強(qiáng)混合或α混合，如果

為了方便起見，本文中只假設(shè)｛（Xi，Yi），i≥1｝為算術(shù)α混合，且速度a＞1。

引進(jìn)Kolmogorov熵的定義，設(shè)SF是半度量空間F的子集，給定ε＞0，如果這里B（xi，h）是以xi為中心的小球，半徑h＞0，則F中有限個元x1，x2，…，xN稱為SF的ε網(wǎng)點(diǎn)，當(dāng)Nε（SF）是F中覆蓋SF所需要的半徑為ε的開球的最小個數(shù)時，（1）式稱為SF的Kolmogorovε熵［7－9］，即

設(shè)｛（Xi，Yi），i≥1｝為同分布于（X，Y）的混合相依序列，其中X取值于有半度量d的抽象無限維空間（F，d），Y取值于R1空間。本文中，C、C′、C1為正常數(shù)，并在不同的情形下取不同的值。

根據(jù)文獻(xiàn)［5］，定義條件均值函數(shù)（2）式的核估計如下，即

其中，K為核函數(shù)；φ（·）為已知實值Borel可測函數(shù)；窗寬

1 記號和假設(shè)

設(shè)SF為集合F的緊子集，記

為得出本文主要結(jié)論，引入一些基本假設(shè)，關(guān)于回歸函數(shù)r，假設(shè)條件如下：

H2 對于小球概率，設(shè)?x∈SF，0＜Cφ（h）≤P（X∈B（x，h））≤C′φ（h），當(dāng)h→0時，φ（h）→0。

H3 （nφ（h））＝O（logn）2。

H4 關(guān)于核函數(shù)，假設(shè)條件如下：核函數(shù)K（·）滿足K（·）：R→R＋，且∫K＝1，支撐集為［0，1］。

H5 對于相依結(jié)構(gòu)Sn，i，i＝1，2，3，4，存在θ＞C1β＋1＞2，使得：

H6 假如如下：

其中，δm（·）在SF上連續(xù)。H1～H4為研究非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)的漸近性的常用假設(shè)，參見文獻(xiàn)［5］。與i.i.d場合相比，假設(shè)H5給出了相依結(jié)構(gòu)在收斂速度方面的影響，這有助于給出有關(guān)收斂速度的一般性結(jié)論，需要特別指出的是，在假設(shè)H5中取C1＞1／β，并且C1取在假設(shè)H3、下面的H7成立的前提下，結(jié)論C1logn中的常數(shù)C1。最后，對于Kolmogorov熵，下面引用文獻(xiàn)［6］中的假設(shè)。

2 引理及證明

2.1 引理

引理1 在假設(shè)H2～H5、H7下有：

其中

引理2 在假設(shè)H1、H2、H4下有：

其中

引理3 在引理1的條件下，對于某個給定的常數(shù)ε0，0＜ε0＜1，有

引理4 在假設(shè)H1～H7下，有

2.2 證明

（1）引理1的證明。根據(jù)文獻(xiàn)［6］的分解，有

首先，研究F2，對于?η＞0，有

由文獻(xiàn)［5］和Kolmogorov熵的定義，對于r＝log2n和某一個常數(shù)C＜∞，得

由（4）式，有

存在某個ε0＞0，獲得并且取有

由（12）～（14）式以及假設(shè)H7，得

故有：

下面研究F1。根據(jù)＾r(nóng)（x）的定義、核函數(shù)K的有界性以及上述k（x）的取法，關(guān)于F1可以得到下面的不等式：

類似于F2的證明，有

同理，有

由（11）式以及（16）～（18）式，引理1得證。

（2）引理2的證明。類似于文獻(xiàn)［6］中Lemma 10的證明。

（3）引理3的證明。由（7）式，結(jié)合文獻(xiàn)［6］中Lemma 9的證明方法，此引理得證。

（4）引理4的證明。根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的分解方法，有

類似F1和F3的證明，可得：

而對于G2，有

由（6）式以及Markov不等式，有

由（21）式和文獻(xiàn)［5］，類似F2的證明，可得：

由（19）式、（20）式和（22）式，引理4得證。

3 主要結(jié)論及其證明

定理1 在假設(shè)H1～H7下，有

該結(jié)論給出了在相依函數(shù)型數(shù)據(jù)場合下估計量＾r(nóng)φ（x）精確的一致收斂速度。這里收斂速度被分為2部分，第1部分和通常情形類似，只取決于回歸函數(shù)的光滑參數(shù)算子，相依結(jié)構(gòu)和熵對收斂速度的影響體現(xiàn)在第2部分。

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［5］，有如下分解：

由上述4個引理的結(jié)論及文獻(xiàn)［5］，定理得證。

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