余傾斜撓類(lèi)和包絡(luò)余模

李 園， 姚海樓

(北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)部， 北京 100124)

傾斜理論在代數(shù)表示論中有著舉足輕重的作用. Brenner等[1]于20世紀(jì)80年代建立了傾斜理論，Angeleri-Hügel等[2]研究了包絡(luò)理論與傾斜理論之間的關(guān)系. 用代數(shù)表示論的方法來(lái)研究余代數(shù)，是近些年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題. 本文主要引入了關(guān)于余代數(shù)的余模(預(yù))包絡(luò)以及極大余傾斜余模和包絡(luò)余模等概念，證明了在余代數(shù)中當(dāng)余傾斜撓類(lèi)是包絡(luò)類(lèi)時(shí)，它是由包絡(luò)余模唯一表示的. 余代數(shù)的表示理論也取得了很大的成就[3-15]. Lin[16]討論了3種不同類(lèi)型的余代數(shù)，即co-Frobenius余代數(shù)、半完備余代數(shù)和有理余代數(shù). N?st?sescu等[17]定義了遺傳余代數(shù)并研究了它的基本性質(zhì). Wang[18]引進(jìn)了余代數(shù)上的傾斜余模和偏傾斜余模的概念，并得到了它的一些基本結(jié)果. Simson[19]研究了余傾斜余模，并且在箭圖余代數(shù)中給出了不同的有趣的例子. 另外，Simson研究了Hom-可計(jì)算余代數(shù)、Euler余代數(shù)[20]，以及馴順余模型余代數(shù)[21]. Liu等[22]給出了n-自余傾斜余模和n-余傾斜余模的定義，并得到了n-自余傾斜余模和n-余傾斜余?？梢哉T導(dǎo)余模之間的等價(jià).

受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā)，在余代數(shù)上將把包絡(luò)理論與余傾斜理論建立聯(lián)系. 在本文，對(duì)于一個(gè)余代數(shù)，引入了余模的(預(yù))包絡(luò)以及極大余傾斜余模和包絡(luò)余模的概念，并得到了在余代數(shù)中當(dāng)余傾斜撓類(lèi)是包絡(luò)類(lèi)時(shí)，它是由包絡(luò)余模唯一表示的.

1 預(yù)備知識(shí)

令C是一個(gè)余代數(shù)，C-Comod表示左C余模范疇.如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，本文中的余模都是指左C余模.用HomC(X,Y)表示余模X、Y之間的映射.用Gen(T)表示若干個(gè)T的直和的滿同態(tài)像，也就是說(shuō)，對(duì)任意的M∈GenT，都存在一個(gè)基數(shù)I使得ψ:T(I)→M是滿射.令M∈C-Comod是一個(gè)余模類(lèi)，記Add(M)為M中元素的直和的直和項(xiàng)所構(gòu)成的余模類(lèi).對(duì)應(yīng)地，記add(M)為M中元素的有限直和的直和項(xiàng)所構(gòu)成的余模類(lèi).類(lèi)似地，記Prod(M)為M中元素的直積的直和項(xiàng)所構(gòu)成的余模類(lèi).如果M={M}，則分別寫(xiě)成AddM、addM.對(duì)所有的M∈M，記

如果C是一個(gè)半完備余代數(shù)，那么它就有足夠多的投射對(duì)象.

下面給出預(yù)包絡(luò)的定義，并研究它們的性質(zhì).

定義1令ξ?C-Comod是一個(gè)余模類(lèi)且M∈C-Comod.如果φ∈HomC(M,X)，其中X∈ξ，且對(duì)每個(gè)F∈ξ，HomC(φ,F):HomC(X,F)→HomC(M,F)都是滿態(tài)射，則稱φ是M的ξ-預(yù)包絡(luò).

注1令φ∈HomC(M,X)是M的一個(gè)ξ-預(yù)包絡(luò).

1) 若gφ=φ且g∈End(X)，則有g(shù)是X的一個(gè)自同構(gòu)，稱φ是M的ξ-包絡(luò).

2) 若φ∈HomC(M,X)是滿態(tài)射且Cokerf∈⊥ξ，則稱φ是特殊的ξ-預(yù)包絡(luò).

如果每一個(gè)余模都有一個(gè)ξ-(預(yù))包絡(luò)，則稱ξ?C-Comod是一個(gè)(預(yù))包絡(luò)類(lèi).

引理1令φ1:M→F1和φ2:M→F2是M的2個(gè)不同的ξ-包絡(luò)，則F1?F2.

證明：取M的2個(gè)不同的ξ-包絡(luò)，φ1:M→F1和φ2:M→F2，則有2個(gè)余模映射f1:F2→F1和f2:F1→F2，滿足交換圖，如圖1、2所示.

圖1 φ1的交換圖Fig.1 Commutative diagram of φ1

圖2 φ2的交換圖Fig.2 Commutative diagram of φ2

于是，φ2=f2φ1和φ1=f1φ2.由此可得φ2=f2f1φ2和φ1=f1f2φ1.由φ1和φ2都是M的ξ-包絡(luò)可知，f2f1和f1f2都是自同構(gòu).因而，f1和f2既是單態(tài)射又是滿態(tài)射，即它們都是同構(gòu)的.因此，F(xiàn)1?F2.

引理2如果M有一個(gè)ξ-包絡(luò)和φ:M→F是一個(gè)ξ-預(yù)包絡(luò)，則存在F的子余模F′和K使得F=F′⊕K，并且合成π°φ:M→F′是M的一個(gè)ξ-包絡(luò)，其中π是F到F′的投影.

證明： 取M的一個(gè)ξ-包絡(luò)θ:M→F0，則有交換圖，如圖3所示.

圖3 M的交換圖Fig.3 Commutative diagram of M

故φ=fθ和θ=gφ，由此可得θ=gfθ.由假設(shè)可知，gf是F0的自同構(gòu).并且，有F=Imf⊕Kerg.因此，F(xiàn)′=Imf?F0并且M→F′是M的一個(gè)ξ-包絡(luò).

引理3設(shè)M有一個(gè)ξ-包絡(luò).令φ:M→F是M的ξ-預(yù)包絡(luò)，則φ是ξ-包絡(luò)的充分必要條件是不存在直和分解F=F′⊕K，并且K≠0和Imφ?F′.

證明：?假設(shè)φ:M→F是一個(gè)ξ-包絡(luò).取一個(gè)分解F=F′⊕K，并且K≠0和Imφ?F′.令f′:F′⊕K→F′是F到F′的投影態(tài)射.令η:F′→F=F′⊕K是典型的單態(tài)射，則有余模映射f=ηf′:F′⊕K→F.容易驗(yàn)證φ=fφ.因φ:M→F是一個(gè)ξ-包絡(luò)，故f是一個(gè)自同構(gòu).于是，K=0，這與假設(shè)矛盾.

?由引理1和引理2可得.

圖4 直和的交換圖Fig.4 Commutative diagram of the direct sum

定理1對(duì)于余模類(lèi)ξ?C-Comod，令W是投射生成子，φ:W→B是W的ξ-預(yù)包絡(luò)，則HomC(W,B)是一個(gè)循環(huán)EndB模且Prodξ?GenB.

圖5 φ(I)的交換圖Fig.5 Commutative diagram of φ(I)

圖6 直積的交換圖Fig.6 Commutative diagram of the direct product

2 finendo和預(yù)包絡(luò)

介紹了finendo余模的定義，并研究了預(yù)包絡(luò)與finendo余模之間的關(guān)系.

定義21) 令W是投射生成子,如果存在一個(gè)γ和余模映射f:W→B(γ)使得對(duì)每個(gè)α,所有的余模映射W→B(α)都可以通過(guò)f進(jìn)行分解，其中γ和α是基數(shù)，則余模B稱為W-finendo.

2) 如果余模B是W-finendo，其中W是投射生成子，則稱B是finendo余模.

命題1設(shè)C是余代數(shù)，W是投射生成子，且T∈C-Comod，則下面的2個(gè)條件是等價(jià)的:

1)T是finendo余模；

2) 存在一個(gè)基數(shù)β使得對(duì)任意的α，所有的余模映射W→T(α)都可以通過(guò)若干個(gè)T(β)的直積進(jìn)行分解.

證明：1)?2)因?yàn)門(mén)是finendo余模，則存在一個(gè)基數(shù)β使得對(duì)每個(gè)基數(shù)α,余模映射φ:W→T(α)都可以通過(guò)h:W→T(β)進(jìn)行分解.令I(lǐng)=HomC(W,T(β)),取T(β)的第h個(gè)投影映射η:[T(β)]I→T(β)，并且令g:W→[T(β)]I是I中所有的映射誘導(dǎo)的對(duì)角映射，則有交換圖，如圖7所示.因此，φ=fηg，進(jìn)而得到2).

圖7 finendo余模T的交換圖Fig.7 Commutative diagram of finendo comodule T

圖8 φ的交換圖 Fig.8 Commutative diagram of φ

命題2設(shè)C是余代數(shù)，W是有限維的投射生成子,則對(duì)于一個(gè)余模T,下面的3個(gè)條件是等價(jià)的：

1)T是finendo余模.

2)W有一個(gè)addT-預(yù)包絡(luò).

3) GenT是一個(gè)預(yù)包絡(luò)類(lèi).

證明：1)?2)對(duì)一個(gè)映射φ:W→X,其中X∈addT,則存在基數(shù)α及滿態(tài)射π:T(α)→X.因?yàn)閃是投射的,所以有一個(gè)余模映射g:W→T(α)使得πg(shù)=φ.因?yàn)門(mén)是finendo余模，所以對(duì)于任意一個(gè)基數(shù)α和g:W→T(α),存在一個(gè)基數(shù)γ和f:W→T(γ)使得g可以通過(guò)f進(jìn)行分解.因此,有交換圖，如圖9所示.

圖9 f的交換圖 Fig.9 Commutative diagram of f

于是有πhf=φ.因此,令θ=πh并立即得到f:W→T(γ)是addT-預(yù)包絡(luò).

2)?3)取一個(gè)addT-預(yù)包絡(luò)ψ:W→B.首先,想證明ψ也是GenT-預(yù)包絡(luò).假設(shè)f:W→X是任意的余模映射，其中X∈GenT.則對(duì)于某個(gè)J有一個(gè)滿態(tài)射ρ:T(J)→X.由W的投射性，可知f=ρf′，其中f′:W→T(J).取有限子集J0?J,即i:T(J0)→T(J)是單態(tài)射.然后取f″:W→T(J0)使得if″=f′.因?yàn)棣?W→B是一個(gè)addT-預(yù)包絡(luò)，所以有一個(gè)g:B→T(J0)使得f″=gψ.因此，有交換圖，如圖10所示.

圖10 ψ的交換圖Fig.10 Commutative diagram of ψ

所以igψ=f′,并且ρigψ=ρf′=f.因此,ψ也是GenT-預(yù)包絡(luò).取任意的A?C-Comod，因?yàn)閃是一個(gè)投射生成子，則存在一個(gè)滿態(tài)射π:W(I)→A.于是有推出圖，如圖11所示.

圖11 推出交換圖Fig.11 Commutative diagram of pushout

因π是滿態(tài)射，可知σ也是一個(gè)滿態(tài)射，并且有B′∈GenT.由引理4可知，ψ(I)是一個(gè)GenT-預(yù)包絡(luò).因此,對(duì)于f:A→X，其中X∈GenT,存在一個(gè)θ:B(I)→X使得fπ=θψ(I).由推出的性質(zhì)可知，有唯一的α:B′→X使得f=αb′.因此，b′是一個(gè)GenT-預(yù)包絡(luò).又因?yàn)锳是任意一個(gè)余模，故GenT是一個(gè)預(yù)包絡(luò)類(lèi).

3)?1)令ψ:W→X是一個(gè)GenT-預(yù)包絡(luò)，其中X∈GenT.則 HomC(ψ,T(α)):HomC(X,T(α))→ HomC(W,Tα)是滿態(tài)射.因此,對(duì)于任意g:W→T(α),有一個(gè)h:X→T(α)使得g可以通過(guò)ψ進(jìn)行分解.因?yàn)閄∈GenT,所以有滿態(tài)射π:T(γ)→X，其中γ是基數(shù).因?yàn)閃是一個(gè)投射生成子,所以有一個(gè)f:W→T(γ)使得ψ=πf.故hπf=g.因此，T是finendo余模.

3 主要結(jié)果

首先給出極大余傾斜余模和包絡(luò)余模的定義，然后研究余傾斜撓類(lèi)和極大余傾斜余模之間的關(guān)系，最后進(jìn)一步地研究當(dāng)余傾斜撓類(lèi)是包絡(luò)類(lèi)時(shí)，它與包絡(luò)余模的關(guān)系.

定義3如果余模T滿足下面的3個(gè)條件，則稱T是余傾斜余模:

1) proj.dim(T)≤1.

3) 存在一個(gè)正合列0→W→T1→T2→0，其中W是投射生成子，Ti∈AddT.

注21) 如果一個(gè)余模T滿足定義3中的1)和2)，則稱T為偏余傾斜余模.

2) 如果對(duì)于一個(gè)余傾斜余模M∈C-Comod，有ξ=Gen(M)，則稱ξ是一個(gè)余傾斜撓類(lèi).

令C是一個(gè)余代數(shù)，M∈C-Comod.用spn(M)表示生成余模M的C-子集的最小基數(shù).令ξ?C-Comod是余傾斜撓類(lèi).用trank(ξ)表示spn(T)的最小值，其中T為歷遍所有使得ξ=Gen(T)的余傾斜余模.

1) 對(duì)每一個(gè)α<κ，Tα是一個(gè)余傾斜余模.

2) 對(duì)每一個(gè)α≠γ<κ，Tα不同構(gòu)于Tγ且Gen(Tα)=Gen(Tγ).

3) 對(duì)每一個(gè)α<κ，spn(Tα)=trank(GenT).

4) 如果T0是使得GenT0=GenT和spnT0=trank(GenT)成立的余傾斜余模，則存在一個(gè)α<κ使得T0?Tα.

注3由定義4可知，每個(gè)極大的余傾斜余模是余傾斜的.

為了更好地刻畫(huà)余傾斜余模類(lèi)，在極大余傾斜余模和余傾斜撓類(lèi)之間建立一個(gè)雙射.

設(shè)C是一個(gè)余代數(shù)，用L表示所有在C-Comod中的余傾斜撓類(lèi)的集合.

定理2設(shè)C是一個(gè)余代數(shù)，用P表示所有在同構(gòu)意義下的極大余傾斜余模的集合，則P和L之間存在一個(gè)雙射.

當(dāng)余傾斜撓類(lèi)T是包絡(luò)類(lèi)時(shí)，有下面的結(jié)果.

定義5令C是一個(gè)余代數(shù)，定義

U={T∈L|T是一個(gè)包絡(luò)類(lèi)}

另外，如果存在子余模T0?T滿足下面的3個(gè)條件：

1)T0?W，其中W是投射生成子.

3) 不存在包含T0的T的真直和項(xiàng).

則稱T∈C-Comod為包絡(luò)余模.

定理3令C是半完備余代數(shù).用W表示在同構(gòu)意義下的所有的包絡(luò)余模類(lèi)，則從U到W存在一個(gè)單射.

證明：定義φ:U→W：φ(T)=P其中W→P是W的ε-包絡(luò).先證明φ是定義良好的.令ε∈U，取正合列

其中θ:W→T是W的ε-包絡(luò)，且θ是單射，因?yàn)棣虐械膬?nèi)射余模.因此，W?T′，其中T′?T，即定義5中的1)是成立的.由引理3可知定義5中的3)是成立的.由定理1可知，Prod(ε)?Gen(T)，又由T∈ε可知Gen(T)?ε.因此，ε=Gen(T).又因?yàn)棣攀且粋€(gè)包絡(luò)類(lèi)，則有ε=Gen(T)=Gen(T⊕T0)=(T⊕T0)⊥?T⊥.

圖12 交換圖Fig.12 Commutative diagram

4 結(jié)論

2) 若W是投射生成子，φ:W→B是W的ξ-預(yù)包絡(luò)，其中ξ是余模類(lèi)，則得到了HomC(W,B)是一個(gè)循環(huán)EndB模且Prodξ?GenB； 還得出了若W是有限維的投射生成子,則T為finendo余模，W有一個(gè)addT-預(yù)包絡(luò)和GenT是一個(gè)預(yù)包絡(luò)類(lèi)三者之間是相互等價(jià)的.

3) 在極大余傾斜余模和余傾斜撓類(lèi)之間建立了一個(gè)雙射，并且得到了在余代數(shù)上當(dāng)余傾斜撓類(lèi)是包絡(luò)類(lèi)時(shí)，它可以由包絡(luò)余模唯一表示.