3數(shù)學概念教學中引入情境的創(chuàng)設

馬茂年

摘 ? ?要：合理的教學情境設計能促使學生主動構(gòu)建數(shù)學新知，是促進概念生成的一種有效方式.教師在教學前，一定要研究教材并理解教材的設計意圖，然后采取相關策略，即“以數(shù)學概念與現(xiàn)實的關聯(lián)性為依據(jù)、以數(shù)學概念發(fā)展的歷史脈絡為線索、以對數(shù)學概念本質(zhì)的理解為出發(fā)點、以數(shù)學概念在教材中的邏輯順序、以對數(shù)學概念的認知沖突為突破口”等創(chuàng)設情境，幫助學生更有效地學，從而達成數(shù)學課程目標的要求.

關鍵詞：數(shù)學概念;情境設計;函數(shù)的零點與方程的解

教師在進行課堂教學設計前，必須研究教材，理解教材的設計意圖，這樣才能用好教材，使教學設計不偏離方向.教學設計的出發(fā)點是研究學生，即分析學生已有的認知情況，了解學生在當前思維發(fā)展過程中最需要的是什么、學習情感上最迫切的需求是什么，從而使教學設計合乎學生的認知發(fā)展規(guī)律.其中，學生的學情信息是確定教學設計基調(diào)的決定性因素.因此，教師在進行教學設計時，不能斷章取義，更不能強加式地武斷主觀，應時刻提醒自己：把握好教材，使教學合乎學生的學習情感態(tài)度、體現(xiàn)學生的本位思想.

合理的概念教學情境引入方式，能吸引學生的注意力，激發(fā)學生的思維運作，促使學生主動構(gòu)建數(shù)學新知.它是促進概念生成的一種有效方式.一線教師對此深有體會.也正因此，造成了許多為情境而捏造情境、為生成而假作生成的不當行為.這容易引發(fā)知識上的概念泛化，甚至造成概念混淆，使學生產(chǎn)生課堂倦怠心理，導致教師教學設計思路的僵化與定式. 以下，筆者結(jié)合在我校開展的青年教師“同課異構(gòu)”講課比賽，及其他教師的課堂實踐，針對概念教學情境引入設計中應注意的一些問題，以人教A版（2019）普通高中教科書《數(shù)學》（以下簡稱“新教材”）必修第一冊第四單元第五節(jié)第一目“函數(shù)的零點與方程的解”為例，談談如何進行情境設計.

一、以數(shù)學概念與現(xiàn)實的關聯(lián)性為依據(jù)創(chuàng)設情境

數(shù)學不是無源之水、無本之木，而是與現(xiàn)實生活存在著千絲萬縷的聯(lián)系.數(shù)學概念是對生活現(xiàn)象與經(jīng)驗的直接套用或間接抽象，很多數(shù)學概念都能在現(xiàn)實生活中找到“原型”.因此，以數(shù)學概念與現(xiàn)實的關聯(lián)性為依據(jù)去創(chuàng)設數(shù)學概念引入的情境，不僅能夠讓學生感受到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，而且能夠發(fā)展學生用數(shù)學的眼光去觀察世界、用數(shù)學的思維去思考世界、用數(shù)學的語言去表達世界的能力.

【案例1】

1.觀察圖象片段（如圖1，時刻0～t0之間的氣溫變化圖），請你將其補充成完整的函數(shù)圖象.

2.追問：是否有某時刻的溫度為0°C？為什么？

3.再問：你認為函數(shù)存在零點應滿足什么條件？

巧妙運用這樣一幅函數(shù)圖象，即可引導學生聯(lián)系生活，歸納并生成“零點存在性”定理.當然，設置生活情境必須把握好度，所創(chuàng)設的情境必須與當前學習任務密切相關，并能夠從中概括出當前學習內(nèi)容的本質(zhì).否則，此情境非但不能為學生理解教學內(nèi)容提供支持，反而會干擾甚至混淆學生的數(shù)學理解.

【錯誤案例】

如果把函數(shù)比作一部電影，那么函數(shù)的零點就像是電影的一個瞬間，一個鏡頭. 有時我們會忽略一些鏡頭……現(xiàn)有兩組鏡頭（如圖2），哪一組能說明他的行程一定曾渡過河？

這樣的情境創(chuàng)設缺乏數(shù)學知識的依托，它不僅干擾了目標的實現(xiàn)（以至于有學生提出小孩可以跳過河的想法），而且使簡單問題復雜化，導致學生對函數(shù)概念理解的混淆.

二、以數(shù)學概念發(fā)展的歷史脈絡為線索創(chuàng)設情境

大數(shù)學家龐加萊曾指出：“如果我們想要預見數(shù)學的將來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史與現(xiàn)狀.”歷史是人類最寶貴的精神財富，“以史為鑒，可以明得失”，以數(shù)學史為鑒，可以讓學生讀懂數(shù)學.所以教師應仔細研究、體味數(shù)學知識的歷史發(fā)展脈絡，并以此為線索創(chuàng)設數(shù)學概念的引入情境.

例如，以方程的發(fā)展史為鑒引入新課.

【案例2】

中國：公元1世紀編成的《九章算術(shù)》，以算法形式給出了求一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程根的具體方法;7世紀，隋唐數(shù)學家王孝通找出了求三次方程正根的數(shù)值解法;11世紀，北宋數(shù)學家賈憲在《黃帝九章算法細草》中提出了解三次或三次以上的高次方程式的解法;13世紀，南宋數(shù)學家秦九韶提出了可以求出任意次代數(shù)方程正根的算法.

西方：9世紀，阿拉伯數(shù)學家花拉子米給出了一次方程、二次方程的一般解法;1541年，意大利數(shù)學家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法;1545年，意大利數(shù)學家卡當在其名著《大術(shù)》一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費拉里（卡當?shù)膶W生）的四次方程的一般解法;1778年，法國數(shù)學大師拉格朗日提出了五次方程根式解不存在的猜想;1824年，年僅19歲的挪威年輕數(shù)學家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解.

三、以對數(shù)學概念本質(zhì)的理解為出發(fā)點創(chuàng)設情境

相比于2007年版教材，新教材更加注重數(shù)學知識的背景呈現(xiàn)和實際應用，這使得數(shù)學知識的形成、發(fā)展更具趣味性和探索性，教材更具親和力和人文關懷.教師在進行教學設計時，應仔細體味教材的用意，充分挖掘課本素材的教育教學功能，讓數(shù)學概念的形成成為學生學習的內(nèi)在需要.然而，現(xiàn)實是許多教師往往撇開現(xiàn)成的素材而不顧，自主開發(fā)，主觀設計.這樣，不僅造成了資源的浪費，甚至還曲解了概念的本質(zhì).

“與二次函數(shù)的零點一樣，對于一般函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點.” 對于零點的概念，新教材在定義之前先鋪墊了“二次函數(shù)的零點”，進而提升到“函數(shù)的零點”，接著又提供了大量的素材，讓函數(shù)的零點這一概念的引入合情合理，不僅體現(xiàn)了“函數(shù)的零點”這一概念的本質(zhì)特征，更蘊含著數(shù)學思維得以進一步發(fā)展的背景.

在這個定理的教學中，可先設計如下問題讓學生辨析：

【案例3】

1.零點不是一個點，而是交點的橫坐標，是一個值.

2.①從方程的角度看，零點是相應方程f（x）=0的實數(shù)解;②從形的角度看，零點是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標;③從函數(shù)值與自變量的值對應的角度看，零點是使函數(shù)值為0的對應的自變量x的值.

3.函數(shù)的零點為方程的求解提供便利.通過引入零點，對于不能用公式法求解的方程來說，我們可以把它與函數(shù)聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點，從而求出方程的解.

然后進一步設計如下四個問題，推進辨析：

4.零點存在性定理是否說明區(qū)間（a，b）內(nèi)的零點有多少個？

5.函數(shù)y=f（x）的圖象必須是閉區(qū)間[a，b]上的一條連續(xù)不斷的曲線嗎？

6.若f（a）f（b）>0，零點情況如何？

7.若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，則有f（a）f（b）<0成立嗎？

在進行教學設計時，只要抓住函數(shù)的零點概念，通過合理的鋪墊和設問，引導學生思考，便可以讓學生對概念有深刻的理解，并在教學過程中使學生形成數(shù)學學習的能力.

四、以數(shù)學概念在教材中的邏輯順序去創(chuàng)設情境

和2007年版教材相比，新教材在內(nèi)容的編排上更注重體現(xiàn)教學的思想性和整體性. 新教材強調(diào)過程與聯(lián)系，注重數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展過程.在“函數(shù)的零點與方程的解”教材內(nèi)容中，教材的設計意圖主要是通過教學，為后續(xù)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”的學習做好知識與思想方法上的準備. 教材中對函數(shù)的零點進行定義時還指出：“一般地，對于不能用公式求解的方程[f（x）=0]，我們可以把它與相應的函數(shù)[y=f（x）]聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點，從而得到方程的解.”對于教材的這些描述，筆者認為可以這樣來理解和把握：函數(shù)的零點定義的前綴詞是函數(shù)[y=f（x）]，強調(diào)的是函數(shù)在特定狀態(tài)下（函數(shù)值為0）的x的值，它是從函數(shù)的圖象中派生出來的一個數(shù)學稱謂，體現(xiàn)了“形”的特點（以形顯數(shù)）. 同時，利用函數(shù)的零點求出方程的解，體現(xiàn)了函數(shù)零點的應用功能，也就是說，求函數(shù)的零點的意義在于進一步求得方程的解.因此，從知識結(jié)構(gòu)的順序上，應該是先產(chǎn)生零點，進一步利用函數(shù)的零點來探求方程的解，而不是通過求方程的解來得到函數(shù)的零點，更不能用求解的方法替代對函數(shù)零點的討論.

基于這種理解，不可如此設計概念情境引入：

【錯誤案例】

問題1：求方程x2-2x-3=0的實數(shù)解，并畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象.（方程x2-2x-3=0的實數(shù)解為-1，3. 函數(shù)的圖象略）

問題2：觀察形式上函數(shù)y=x2-2x-3與相應方程x2-2x-3=0的聯(lián)系.（函數(shù)y=0時的表達式就是方程x2-2x-3=0）

問題3：由于形式上的聯(lián)系，方程x2-2x-3=0的實數(shù)解在函數(shù)y=x2-2x-3的圖象中如何體現(xiàn)？（方程的實數(shù)解就是y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點的橫坐標）

初步提出零點的概念：-1，3既是方程x2-2x-3=0的解，又是函數(shù)y=x2-2x-3圖象與x軸交點的橫坐標.-1，3在方程中稱為實數(shù)解，在函數(shù)中稱為零點.

在這個設計中，傳達了這樣一種信息：先求出方程的解，然后由方程的解引出函數(shù)的零點. 這正與“先得到函數(shù)的零點，再得到方程的解”的結(jié)構(gòu)順序相反，是“以形顯數(shù)”的逆過程，違背了“利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點，從而得到方程的解”的基本線索.

新教材在提出函數(shù)的零點的定義后，又進一步解釋：“方程f（x）=0有實數(shù)解 函數(shù)y=f（x）有零點函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有公共點.”故此，教師在教學前一定要仔細研讀教材，把握教材意圖，厘清結(jié)構(gòu)順序.

五、以對數(shù)學概念的認知沖突為突破口創(chuàng)設情境

在數(shù)學概念教學中，情境的引入應尊重學生已有的認知基礎，對于一些抽象的數(shù)學概念，教學設計中應做適當?shù)匿亯|，比如設置合理的問題鏈，讓學生在探索的過程中，形成認知差異，還原概念的形象特征，并進一步歸納生成對概念的系統(tǒng)認知.

某教師設想直接拿對一元二次方程與相應二次函數(shù)關系的探究，來引入函數(shù)的零點的概念.筆者覺得這種方法存在兩方面的疑點.疑點一：二次方程與二次函數(shù)的關系對大部分高一學生來說，是一種形象直觀、呼之欲出的數(shù)學知識，是否有必要讓學生經(jīng)歷從具體到一般的探索過程？疑點二：學生能在第一時間明白教師的設計意圖嗎？其實，高中學生對函數(shù)的零點概念并不會覺得抽象，更何況它本身就是從圖形中抽象出來的（學生容易產(chǎn)生誤解的是“零點是點”，教學中要注意糾偏），若僅為引出零點概念而設計鋪墊，倒不如直接給出定義.學習零點的概念，目的是用來解決一些不能用求解法求解的方程，為下一節(jié)內(nèi)容的教學做好知識與方法層面的儲備，以及讓學生在學的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)、方程之間的轉(zhuǎn)化思想.因此，若設計一個學生不能立刻解決，或者過程比較麻煩甚至無法解決的方程，作為概念教學的情境引入，則更易引起學生的思維沖突，使其增強思辨意識，進而產(chǎn)生主動接納新知的需要.

鑒于此，筆者指導某教師采用以下方法來引入：讓學生在較短的時間內(nèi)求出方程2007x2-2008x+1=0的解，進而求解方程3x5+6x-1=0的實數(shù)解. 或許學生對前一個方程還想利用一般方法求解，但在解題的過程中，隨著思考的深入，這道題必然會促使學生思考特定解法：直接找實數(shù)解.而后面的方程，學生自然感到無一般性解法，用方程的思想方法來解必將走入死胡同.當學生經(jīng)歷認知沖突后，就會產(chǎn)生問題轉(zhuǎn)化的愿望.此時，教師適時進行引導：可否借助函數(shù)的圖象來解決.然后從二次函數(shù)的圖象與二次方程的解的關系入手，引出函數(shù)零點的概念.

情境引入的設計，要讓學生體會到自身原有的知識和經(jīng)驗與導入問題的解決之間存在溝壑，讓學生經(jīng)歷認知沖突，產(chǎn)生主動構(gòu)建新知的愿望，從而實現(xiàn)知識的正向遷移. 此外，讓學生領會教師的設計意圖也是很重要的，這樣才能有效而快速地激活學生的思維，讓學生真正做到主動構(gòu)建數(shù)學知識.

六、結(jié)語

數(shù)學概念教學中情境的設計，有時需要教師改變定理的條件或者定理的結(jié)論，以得到一些新的命題.教師還要引導學生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新審視教學內(nèi)容.但所有引申和改變，都應該與課程目標有關，教師要認認真真、切切實實地把握好“度”.數(shù)學教學的根本，是幫助學生更有效地學、更有效地達成數(shù)學課程目標.追求教學內(nèi)容與數(shù)學課程目標的一致，認真解構(gòu)每一節(jié)課相關數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延，把教學內(nèi)容講準、講對、講透、講深，應該成為我們數(shù)學教師的專業(yè)自覺。