基于觀測器的離散馬氏跳變系統(tǒng)的故障估計

王國良 宋歌

0 引言

馬氏跳變系統(tǒng)(MJS)是一類特殊的混雜系統(tǒng),這類系統(tǒng)通常包括兩種機制,分別稱為時間演化機制和事件驅動機制.前者是狀態(tài)向量,后者是Markov切換信號,決定了哪個子系統(tǒng)被激活.因此,馬氏系統(tǒng)用來描述隨機系統(tǒng)的故障估計問題是非常方便的[1-2].當然,在其他問題上也是如此,如H2和H∞控制[3-5]、濾波及估計執(zhí)行器和傳感器故障[6-7]、保成本控制[8]等.

目前,故障估計的方法主要包括基于觀測器的方法和基于信號重構的方法.其中,基于觀測器的方法不僅能對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計,而且也能準確地反映故障信息,它主要包含基于自適應觀測器[9]、魯棒觀測器[10]以及分布式觀測器[11].當系統(tǒng)的參數(shù)存在跳變特性時,文獻[12-13]考慮了隨機通信延遲的馬氏系統(tǒng)的故障估計問題,文獻[14-16]考慮了執(zhí)行器和傳感器故障的馬氏系統(tǒng)綜合.文獻[17]則考慮切換系統(tǒng)的故障估計問題,設計了一個魯棒觀測器來同時估計系統(tǒng)的狀態(tài)與故障.該方法雖然很好地處理了基于觀測器的切換系統(tǒng)的故障估計問題,但依然有問題需要進一步考慮,比如,用一個隨機信號去估計確定性信號.因此,本文提出了一種方法來處理馬氏系統(tǒng)與待估計確定性信號之間的問題.

本文采用構建輔助系統(tǒng)的方法研究基于觀測器的D-MJSs故障估計問題.主要貢獻如下:1)提出一種新的方法來處理故障估計問題,有效解決了隨機系統(tǒng)與確定性故障估計之間的矛盾;2)本文方法更具一般性,且保守性更小;3)為了減小不確定TPM帶來的影響,使用一些新的放縮手段應用于輔助系統(tǒng),來處理具有不確定TPM的問題;4)所有條件都以LMI形式給出,并且可以應用于其他系統(tǒng)或問題.

1 準備知識和問題表述

(1)

πij=Pr{r(k+1)=j|r(k)=i},

(2)

類似于文獻[9,17-18],系統(tǒng)(1)的估計系統(tǒng)描述為

(3)

(4)

(5)

通過qi(k)的定義,進一步得出

Diω(k))1{r(k)=i}1{r(k+1)=j}]=

(6)

Ef(k)+Dω(k)),

(7)

(8)

其估計系統(tǒng)構造為

(9)

eq(k+1)=(ΠT?In)[(A-LC)eq(k)+

Eef(k)+Dω(k)],

(10)

Δf(k)+ef(k)-FCeq(k).

(11)

將式(10),(11)合并,得到

(12)

將式(12)簡化表示為

(13)

其中

2 主要內容

(14)

I≤P,

(15)

P≤αI,

(16)

其中

P=diag{P1,…,PN,PN+1},

G=diag{G1,…,G1,G2},

觀測器增益為

(17)

證明對于系統(tǒng)(13),選取如下形式的Lyapunov函數(shù)

(18)

其中P>0.通過計算,可以得到

(19)

(20)

根據(jù)式(17),得到

(21)

進一步計算得到

(22)

將其計算化簡得到

(23)

基于式(23),可以得到

(24)

它等價于

αvT(k)v(k),

(25)

根據(jù)式(16),(18)和(25),得

(26)

基于式(26),從0歸納到k,可以得到

?

(27)

根據(jù)式(15),(16)和(27),可以得到

(28)

進一步簡化式(28),有

(29)

證畢.

從定理1以看出,TPM需要準確地給出,但在一些應用中,很難準確得到.因此,當它不確定時,描述為

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

以及以下任何一種條件

證明為了更簡單表示,系統(tǒng)(8)重寫為

(35)

‖g(k)‖≤ε‖v‖∞,

(36)

其中ε是正標量.基于式(35),可以得到

?

(37)

如果條件

(38)

成立,其中ρ(M)表示矩陣M的譜半徑,則可以得到

(39)

關于條件(38),它等價于以下系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(40)

其Lyapunov函數(shù)為

(41)

基于文獻[19]中的引理2,滿足條件是(a)或(b),得到

ΔV(k)=

(42)

式(34)保證其成立.另一方面,條件(34)可以得出

(43)

是漸近穩(wěn)定的,在相似的Lyapunov函數(shù)條件下,計算得出

ΔV(k)=

(44)

類似系統(tǒng)(35)的證明,如果滿足此命題中的條件,則可以知道系統(tǒng)(32)和(33)都是ISS.證畢.

接下來,根據(jù)系統(tǒng)(32)可以構造一個估計系統(tǒng)

(45)

類似于式(10)和(11),可以根據(jù)系統(tǒng)(32)和(45)建立

(46)

(47)

簡化表示為

(48)

其中

(49)

(50)

以及條件(a)或(b),其中

以及

且矩陣P和G依舊是定理1中的形式,觀測器增益仍根據(jù)式(17)計算,而控制增益為

(51)

(52)

基于式(51),得到

(53)

經(jīng)過計算,可得到

(54)

式(50)保證了式(54)成立.系統(tǒng)(48)的Lyapunov函數(shù)如下：

(55)

通過計算得出

(56)

(57)

下面的證明與定理1中(24)至(29)的步驟相似,在此省略.證畢.

注3當TPM是不確定時,系統(tǒng)的故障估計問題仍可以通過定理2解決.此外,基于所提出的輔助系統(tǒng),可以很容易地構造中間估計器.它可以看作是故障估計問題從確定性系統(tǒng)向隨機系統(tǒng)的擴展結果.盡管確定性信號f(k)成功估計,但其計算復雜度也是需要考慮的問題.可以看出,所給的LMI的維數(shù)較大,同時也包含了許多要求解的變量.其主要原因是所考慮的系統(tǒng)是一個具有N個模態(tài)的馬氏系統(tǒng).如何進一步降低復雜性是一個必要且重要的問題,這將是我們今后要做的工作.本文所提出的方法更具有一般性,而且可以擴展到其他問題.第一,因為r(k)是一個隨機過程,所以一些確定性系統(tǒng)的故障估計問題可以作為本文的一個特殊情形；第二,它可以用來處理半馬爾可夫跳變系統(tǒng),盡管半馬爾可夫跳變過程更具有一般性.

3 仿真研究

考慮系統(tǒng)(1)的模型[17,20],參數(shù)為

給定α=65,根據(jù)定理1,可得觀測器增益為

和

F1=0.329 0,F2=0.505 4,

F3=0.113 7,F4=-0.187 8.

不失一般性,故障信號f(k)如下所示:

圖1 狀態(tài)曲線ζ(k)和Fig.1 State curves of ζ(k) and

圖2 模態(tài)r(k)的仿真Fig.2 Simulation result of modal r(k)

圖3 誤差曲線ex(k)Fig.3 Error curves for ex(k)

圖4 故障f(k),估計和估計誤差ef(k)Fig.4 Failure f(k),estimation and estimation error ef(k)

當Π不確定時,可以通過定理2來研究類似的問題.不失去一般性,基于式(30),假設

與此同時,令δ=0.23,ζ=3.5.根據(jù)定理2,控制器增益計算為

觀測器增益為

和

F1=-0.050 0,F2=-0.035 8,

F3=0.010 7,F4=0.010 7.

最后,為進一步比較,并證明本文提出的方法的優(yōu)點,不失一般性,假設

其中θ≥0表示為擾動.一方面,當θ=0時,從定理1可以得出α的最小可行解αmin=3.2,而文獻[17]中相應的αmin=10.99且更大.即使對上述不確定的TPM,定理2得到的最小可行解αmin=3.8,仍然小于文獻[17],但大于αmin=3.2.由此可見,本文方法的保守性較小.另一方面,當α=81時,基于定理2的θ的最大可行解θmax=1.91,大于文獻[18]中得到的θmax=1.58;同時,定理2的相應最大可行解θmax=1.67.與前一種情況結果相似,可知本文方法保守性更小.

4 結束語

本文采用輔助系統(tǒng)方法研究了D-MJSs的故障估計問題,可以很好地解決隨機系統(tǒng)與確定性故障之間的矛盾.通過對隨機變量求取期望,構造確定性中間變量,并利用中間估計器來同時估計狀態(tài)與故障.通過放縮手段研究了TPM的其他情況.通過仿真算例驗證了結果的實用性與優(yōu)勢.仍然有以下問題需要考慮:第一,r(k)在中間變量式(4)中很重要,當其無法得到時,如何考慮類似問題是必要且更貼合實際的;第二,應進一步降低計算復雜度和保守性,尤其是系統(tǒng)模態(tài)大幅增加后;第三,當Π由式(32)表示,但δ未知時,如何進行有效估計是很有必要的.本文的結論同樣適用于其他系統(tǒng)或問題,例如非線性系統(tǒng)、多智能體系統(tǒng)和濾波器設計.