“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課初探
——以“數(shù)與式”的復(fù)習(xí)為例

■江美紅

在日常教學(xué)中，不少教師在復(fù)習(xí)課上只是把所要復(fù)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的羅列，變成新授課的機(jī)械重復(fù)，學(xué)生無(wú)論從知識(shí)、能力上都得不到更多收獲。如何提高復(fù)習(xí)課的效能，這是畢業(yè)班教師非常關(guān)心的問(wèn)題?！吧L(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，能根據(jù)所要復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，堅(jiān)持系統(tǒng)化理論，踐行“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維方法，架設(shè)生長(zhǎng)型路徑，開(kāi)展探究性活動(dòng)。學(xué)生可從中積累新經(jīng)驗(yàn)、經(jīng)歷新感受、收獲新成長(zhǎng)。

數(shù)與式這兩章的內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)多而散，數(shù)中包含有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)、開(kāi)方、方根等概念及運(yùn)算，式中包含整式、分式、二次根式等概念、性質(zhì)及運(yùn)算。復(fù)習(xí)課除了要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺外，還要打開(kāi)章節(jié)通道，貫通前后內(nèi)容，聚集所要復(fù)習(xí)的核心知識(shí)，智慧地整合教學(xué)資源。

教學(xué)環(huán)節(jié)1.數(shù)的復(fù)習(xí)

問(wèn)題1.我們到現(xiàn)在為止，學(xué)過(guò)哪些數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的分類(lèi)。

問(wèn)題2.認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)后，我們還學(xué)過(guò)哪些實(shí)數(shù)的運(yùn)算？

設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)相關(guān)運(yùn)算知識(shí)的回憶。

設(shè)計(jì)意圖：把學(xué)生在回答問(wèn)題1、問(wèn)題2中的數(shù)字和符號(hào)連起來(lái)，生成算式，讓學(xué)生回顧開(kāi)方、負(fù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、零指數(shù)冪等中考常考的知識(shí)點(diǎn)。

問(wèn)題4.請(qǐng)同學(xué)們對(duì)①式進(jìn)行計(jì)算，并說(shuō)出計(jì)算結(jié)果。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)用問(wèn)題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考，通過(guò)理性計(jì)算，驗(yàn)證了意想不到的結(jié)論，既提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，也為下一個(gè)問(wèn)題做好鋪墊。

問(wèn)題6.若要保持計(jì)算結(jié)果不變，①式中的數(shù)字3還能不能改了？若能，還能改成哪些數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)讓學(xué)生歸納結(jié)論，提出猜想，讓他們?cè)谇笾那械臓顟B(tài)下，全身心地投入到學(xué)習(xí)中去。

教學(xué)環(huán)節(jié)2.由數(shù)到式

問(wèn)題7.如何證明上述猜想？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“歸納——猜想——證明”推理過(guò)程，提升學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)體悟由數(shù)到式的必要性和優(yōu)越性。

問(wèn)題8.將①式中的3 用字母a代替，得到代數(shù)式，記為③，在這個(gè)代數(shù)式里，有哪些特殊的代數(shù)式呢？

設(shè)計(jì)意圖：用問(wèn)題來(lái)引出代數(shù)式的分類(lèi)，對(duì)比數(shù)的分類(lèi)，讓學(xué)生感受兩者之間的異同點(diǎn)。讓學(xué)生親歷整合碎片化知識(shí)的過(guò)程，更好地理清知識(shí)之間的聯(lián)系。

問(wèn)題9.使③式成立的條件是什么？

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生的回答可能有缺漏，需引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題要全面，進(jìn)而得出字母a的取值范圍是a＞0。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，復(fù)習(xí)了二次根式、分式等代數(shù)式成立的條件，學(xué)生養(yǎng)成了看到含字母的代數(shù)式就有挖掘隱含條件的習(xí)慣和意識(shí)，感受數(shù)與式之間的區(qū)別。

問(wèn)題10.化簡(jiǎn)③式，除了用到數(shù)的相關(guān)知識(shí)外，還需要掌握什么知識(shí)或方法呢？

問(wèn)題11.通過(guò)化簡(jiǎn)③式，我們能發(fā)現(xiàn)①式中的數(shù)字3換成哪些數(shù)可使答案不變呢？

預(yù)設(shè)生成：在問(wèn)題10 的鋪墊下，學(xué)生不難得出：當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，原式=；當(dāng)a≥1 時(shí)，原式=1。所以，可以將①中的數(shù)字3換成任何不小于1的數(shù)，答案都為1。學(xué)生能夠感受到用字母表示數(shù)的優(yōu)越性以及代數(shù)問(wèn)題中變中不變的規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固代數(shù)式的化簡(jiǎn)。

教學(xué)環(huán)節(jié)3.拓展提升

預(yù)設(shè)生成：此題有多種解答方法，第一種是直接代入；第二種是將x、y分母有理化后再直接代入；第三種是求出x+y=4，xy=1 后，再整體代入變形后的代數(shù)式，或求出x2+y2的值再整體代入；第四種是把所求代數(shù)式化為后再計(jì)算。學(xué)生會(huì)答出多種思路，教師只需引導(dǎo)學(xué)生思考更簡(jiǎn)捷的思路即可。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算，提高分式、二次根式的運(yùn)算能力，體會(huì)解題方法的多樣性和感受整體思想的優(yōu)越性。

問(wèn)題13.上題中，由x+y=4，xy=1，我們可以求出x2+y2的值，那么你還能求出哪些代數(shù)式的值？

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可能回答(x?y)2，，x2y+xy2……不管說(shuō)出幾個(gè)，教師都可引導(dǎo)學(xué)生觀察這些代數(shù)式具有的共同特點(diǎn)，給出對(duì)稱(chēng)式的概念，再舉出更多代數(shù)式的例子，任選幾個(gè)典型代數(shù)式并求出它們的值。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向運(yùn)用，引出對(duì)稱(chēng)式的概念，并感受知二求多的過(guò)程。

問(wèn)題14.由x+y=4，xy=1，你能不能將x，y放在其他不同的背景中，如幾何圖形或者函數(shù)背景下，嘗試設(shè)計(jì)出其他問(wèn)題？

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可能想到矩形，已知周長(zhǎng)和面積，求對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；也可能想到直角三角形，已知兩條直角邊的和與面積，求斜邊長(zhǎng)；可能放在函數(shù)背景下，已知一次函數(shù)y=?x+4 和反比例函數(shù)y=，求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。此問(wèn)題難度高，可給予學(xué)生足夠的時(shí)間，小組合作探討，再分享成果。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)，并將知識(shí)進(jìn)行橫縱向聯(lián)系，提升學(xué)生的思維深度和廣度。

該部分設(shè)計(jì)利用由數(shù)到式、數(shù)式應(yīng)用這條主線(xiàn)，勾勒出異于新授課的思維場(chǎng)景，營(yíng)造出復(fù)習(xí)這一內(nèi)容的新思維氛圍。經(jīng)過(guò)教師創(chuàng)造性演變過(guò)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是有價(jià)值且高效的，是學(xué)生驟然頓悟的質(zhì)變過(guò)程。這個(gè)過(guò)程可助力學(xué)生思維活動(dòng)的展開(kāi)，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

【教學(xué)思考】

1.選準(zhǔn)問(wèn)題的起點(diǎn)與終點(diǎn)。

創(chuàng)造性地使用教材，要有打破教材結(jié)構(gòu)的勇氣，總結(jié)教學(xué)中相近或相鄰的知識(shí)，從知識(shí)體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)上去把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，選準(zhǔn)問(wèn)題的起點(diǎn)與終點(diǎn)。本課例以“我們到現(xiàn)在為止，學(xué)過(guò)哪些數(shù)？”這一個(gè)典型問(wèn)題為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，引出數(shù)與式的概念、運(yùn)算的復(fù)習(xí)。設(shè)置問(wèn)題“ 已知，求的值”是為了將教材中的基本問(wèn)題逐步演變成中考中的焦點(diǎn)問(wèn)題，幫助學(xué)生尋找和總結(jié)解題的方案。

2.設(shè)計(jì)好問(wèn)題生長(zhǎng)的路徑。

在選好問(wèn)題的起點(diǎn)與終點(diǎn)之后，要認(rèn)真謀劃所要復(fù)習(xí)內(nèi)容的生長(zhǎng)過(guò)程，精心設(shè)計(jì)好問(wèn)題生長(zhǎng)的路徑，創(chuàng)造性地提煉知識(shí)的生長(zhǎng)鏈，充分展示模型變化、結(jié)構(gòu)變化、背景變化、深度變化的關(guān)系。如：改變算式中的數(shù)字3，若使得算式的結(jié)果不變，猜想可以改成哪些數(shù)？由數(shù)到式加以論證，揭示變化中的不變性的規(guī)律。再如：由x+y=4，xy=1，能否將x，y放在其他不同的背景中，如幾何圖形或者函數(shù)背景下，嘗試設(shè)計(jì)出其他問(wèn)題？學(xué)生在創(chuàng)造過(guò)程中感受成功的喜悅，不斷地開(kāi)拓與超越，凸顯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)變式的魅力。

3.精選生長(zhǎng)鏈中的例題和習(xí)題。

用“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念進(jìn)行架構(gòu)，要根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，精選生長(zhǎng)鏈中的例題和習(xí)題，如問(wèn)題12 選擇分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，是中考的重要考點(diǎn)，該題解法多樣，且滲透了重要的數(shù)學(xué)思想方法。還可以對(duì)此進(jìn)行變式，讓學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí)。最后提升難度，學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)等式，設(shè)計(jì)不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問(wèn)題。所選的變式問(wèn)題注意到不同的梯度，重構(gòu)舊知識(shí)的新視野，學(xué)生從中積累新經(jīng)驗(yàn)，收獲新成長(zhǎng)。