賴新興
(江西理工大學 理學院,江西 贛州 341000)
高等數(shù)學是高等院校的公共數(shù)學基礎課程之一,也是后續(xù)專業(yè)課程的一門必備工具課程。在高等數(shù)學的教學過程中如何有效地與專業(yè)課程結合起來,明確學生學習的目的,激發(fā)學生學習的興趣,調動學生學習的主動性,是高等數(shù)學教學改革的方向之一。
最值問題是高等數(shù)學中重要的教學內容,以經(jīng)濟類專業(yè)為例,提供教學設計思路,融入經(jīng)濟類專業(yè)特色,給出教學設計的具體過程,對高等數(shù)學教學與專業(yè)結合方面起到拋磚引玉的作用。
在經(jīng)濟類專業(yè)中,常常會遇到這樣一類問題:在一定條件下,怎樣使“產(chǎn)品最多”“用料最省”“成本最低”“利潤最大”等問題,這類問題在數(shù)學上有時歸納為求某一函數(shù)(通常稱為目標函數(shù))的最值問題,最值問題包括最大值問題和最小值問題[1]。結合經(jīng)濟類專業(yè)創(chuàng)設情境,引入問題,引例取自學生所在專業(yè)中涉及的問題,讓學生體會到學習高等數(shù)學是有用的,培養(yǎng)學生用數(shù)學方法解決專業(yè)問題的能力。引導學生思考下面的引例,
已知條件:[1]假設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是 C(x)=x3-6x2+15x,售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是 r(x)=9x。
老師提問1:是否存在一個能取得最大利潤的生產(chǎn)水平?
老師提問2:如果存在的話,如何找出這個生產(chǎn)水平?
【設計思想】引例問題緊扣專業(yè)特色,經(jīng)濟類專業(yè)學生對經(jīng)濟類問題存在濃厚的求知欲,引導學生發(fā)現(xiàn)問題,激發(fā)學生主動探索解決實際問題的方法。
以上問題是經(jīng)濟類專業(yè)中比較常見的“利潤最大”問題,引導學生從專業(yè)問題中挖掘出數(shù)學模型,其實就是最值問題,為了解決這類問題,我們需要討論
問題:函數(shù)在一定條件下如何求解最大值和最小值?
【設計思想】引導學生在專業(yè)實際問題中尋找數(shù)學模型,培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力,訓練學生用數(shù)學方法解決專業(yè)中碰到的問題。
假定滿足條件:函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內除有限個點外可導,且至多有有限個駐點。積極鼓勵學生思考為什么要假設滿足這些條件。
引導學生思考以下兩個問題:
問題1:最大值和最小值是否存在?
引導學生回顧閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質可知,f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定存在。
問題2:如果存在,在哪里取到最大值和最小值?
引導學生分兩種情況思考最大值和最小值取得之處,
(1)第一種情況在區(qū)間端點處取得;
(2)第二種情況在開區(qū)間[a,b]內的點x0處取得,那么,按 f(x)在開區(qū)間(a,b)內除有限個點外可導且至多有有限個駐點的假定,可知f(x0)一定也是 f(x)的極大值(或極小值),從而 x0一定是 f(x)的駐點或不可導點。
【設計思想】引導學生掌握解決實際問題的方法,首先從實際問題中抽象出數(shù)學問題,利用數(shù)學知識解決實際問題,讓學生體會到數(shù)學的價值性,從中感受學習數(shù)學的愉悅感。
根據(jù)以上討論的情況,我們可用如下方法求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。
(1)求出 f(x)在(a,b)內的駐點或不可導點;
(2)計算 f(x)在上述駐點、不可導點處的函數(shù)值及 f(a),f(b);
(3)比較(2)中諸值得大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是 f(x)在[a,b]上的最小值。
【設計思想】經(jīng)過苦思冥想之后,通過自己的艱辛努力,問題終于得以解決,讓學生感受到成功的喜悅,學習數(shù)學的信心倍增,進而激發(fā)學習數(shù)學的興趣。
利用以上一般情況求解最大值和最小值的方法,引導學生類比聯(lián)想,解決引例問題。[1]售出千件產(chǎn)品的利潤是
如果 p(x)取得最大值,那么它一定在使得 p'(x)=0的生產(chǎn)水平處獲得。因此,令
故在 x2=3.414處達到最大利潤, 而在 x1=0.586處發(fā)生局部最大虧損。
【設計思想】把前面提出的問題一一解決,解除學生心中的疑問,讓學生理清思路,引導學生進一步深入思考。
在經(jīng)濟學中,稱 C'(x)為邊際成本,r'(x)為邊際收入,p'(x)為邊際利潤。上述結果表明:在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上,r'(x)=C'(x),即邊際收入等于邊際成本。上面的結果也可以從圖1的成本曲線和收入曲線中看出。
圖1
【設計思想】在學習過程中介紹經(jīng)濟類專業(yè)中涉及到的概念,讓學生在學習過程中潛移默化地接受新知識。
和學生一起討論以上解決問題的方法,鼓勵學生之間互相交流,并且通過設計專業(yè)的實際例子和學生舉一反三。
舉一反三[1]一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當月租金定位4000元時,公寓會全部租出去。當月租金每增加200元時,就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓平均每月需花費400元的維修費。試問房租定為多少可獲得最大收入?
引導學生根據(jù)實際問題先進行假設,設每套月房租為元,則租不出去的房子套數(shù)為
租出去的套數(shù)為
租出的每套房子獲利(x-400)元。故總利潤為
令 y'=0,得駐點 x=7200。 由 y"<0 知 x=7200為極大值,又駐點唯一,這極大值點就是最大值點。即當每套月房租定在元時,可獲得最大收入。
【設計思想】舉一反三能夠讓學生鞏固所學知識,講授完一個知識點,布置相同類型的問題,讓學生互相討論交流,把剛學的知識應用起來,訓練學生靈活應用知識的能力。
在講授高等數(shù)學知識時,需要通過變換相關例子,以達到鞏固提高的效果。應當根據(jù)學生所學專業(yè),設計高等數(shù)學的教學方案,結合學生專業(yè),選擇適當相關例子。在講解變換例子時,以學生訓練和思考為主,讓全體學生全部參與,教師只是在恰當?shù)臅r候給予提醒引導,培養(yǎng)學生主動解決實際問題的能力。
變式訓練[1]已知制作一個背包的成本為40元。如果每一個背包的售出價為元,售出的背包數(shù)由
給出,其中a,b為正常數(shù)。問什么樣的售出價格能帶來最大利潤?
我們可以設利潤函數(shù)為p(x),則
令 p'(x)=0,得 x=60(元)。 由 p"(x)=-2b<0 知 x=60為極大值點,又駐點唯一,這極大值點就是最大值點,即售出價格定在60元時能帶來最大利潤。
【設計思想】通過變換題型,鞏固所學知識,提高應用知識的能力。以問題的方式,引導學生思考問題,促使學生主動探索問題,引導學生觀察現(xiàn)象,從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)解決問題的方法,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,對學生的思維發(fā)展有促進作用。
講解完內容后,要善于總結歸納,鼓勵學生積極總結,并且要從數(shù)學方法和專業(yè)應用兩方面總結。根據(jù)問題引導學生回憶所涉及的數(shù)學知識,默寫數(shù)學公式,演算推導過程,引導學生解決專業(yè)實際問題,提高學生應用數(shù)學的能力[2]。
1.6.1 情境設置專業(yè)化
本著高等數(shù)學與學生所學專業(yè)相結合的教學理念,注意到高等數(shù)學與學生所學專業(yè)的關系,讓學生能夠在自己所學專業(yè)中發(fā)現(xiàn)問題,并且用所學數(shù)學知識解決問題,因此老師在舉例子時要以專業(yè)為背景,傳授數(shù)學方法,在有限的課堂教學中傳承數(shù)學思想,體現(xiàn)數(shù)學的實用性[3]。
1.6.2 問題探究活動化
教學中本著以學生發(fā)展為本的思想,生活中雖然碰到的是特殊問題,但我們需要學會解決一般問題,再用解決一般問題的方法去解決特殊問題,引導學生從特殊到一般的思考方式,意在引導學生善于思考,激發(fā)學生積極探究問題。
探究活動過程中,首先給予學生充裕的獨立思考時間,并且提供學生表達的機會,讓學生分享解決問題的方法,體驗成功的喜悅。其次提供互相討論交流的平臺,師生互相討論,學生和學生之間互相討論,交流思考方式,培養(yǎng)學生的交流能力,鍛煉學生的數(shù)學應用能力。
1.6.3 思路拓廣數(shù)學化
數(shù)學教學的目標終究是為了人的發(fā)展,教師要培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去分析問題和解決問題,數(shù)學具有很強的應用價值。高等數(shù)學教學與專業(yè)有機地結合,注重高等數(shù)學在學生專業(yè)的應用,同時在問題的設置中巧妙滲透數(shù)學方法,加深了學生對高等數(shù)學的本質認識,從而有利于培養(yǎng)學生思維的應用性。
從整理知識提升到強化方法,從探究問題到舉一反三,由提出問題到解決問題,通過數(shù)學的學習提高學生的綜合能力。高等數(shù)學的教學中提供學生所學專業(yè)相關的實例,提供具有專業(yè)背景的問題,讓學生從專業(yè)中挖掘出數(shù)學模型,并且用數(shù)學知識解決專業(yè)問題,讓學生體會到數(shù)學的魅力。
最值問題與經(jīng)濟類專業(yè)結合只是高等數(shù)學知識與學生專業(yè)結合的一個具體例子,拋磚引玉,在教學過程中,注重發(fā)揮學生的學習主體作用,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。適時地將高等數(shù)學知識融入學生專業(yè),從而達到激發(fā)學習興趣,提高思維品質,培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的創(chuàng)新人才培養(yǎng)目標[4-5]。
高等數(shù)學教學與學生所學專業(yè)相互結合的模式有利于培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力,是一項高校教師需要長期實踐并不斷改進的教學模式,也是高校教學改革探索的一種新型教學模式。教師需要了解學生所學專業(yè)的相關知識,根據(jù)學生所學專業(yè)設計教案,改變講課方式,將學生所學專業(yè)融入高等數(shù)學的教學中,既要求學生掌握高等數(shù)學的知識內容,也要求學生掌握應用數(shù)學的能力。培養(yǎng)學生在所學專業(yè)中發(fā)現(xiàn)問題的能力,培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型的能力,培養(yǎng)學生靈活應用數(shù)學知識的能力,同時提高學生解決實際問題的能力[6]。