結(jié)構(gòu)化教學(xué)理念下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

成宏喬 朱宸材

【摘 要】結(jié)構(gòu)化教學(xué)關(guān)注學(xué)情，著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，注重教學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)籌與優(yōu)化，將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容視為相對(duì)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)形態(tài)進(jìn)行呈現(xiàn)，以突出數(shù)學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性。研究者以“一次函數(shù)”章節(jié)復(fù)習(xí)課為例，通過問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，按照建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和教法結(jié)構(gòu)的理念展開教學(xué)過程，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化教學(xué);單元整體教學(xué);一次函數(shù);復(fù)習(xí)課

【作者簡(jiǎn)介】成宏喬，高級(jí)教師，主要從事課堂教學(xué)研究;朱宸材，高級(jí)教師，主要從事課堂教學(xué)研究。 目前，中學(xué)數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出一種普遍的教學(xué)形態(tài)：教師按照教材內(nèi)容分課時(shí)講授，每節(jié)課都獨(dú)立成一個(gè)教學(xué)模塊。數(shù)學(xué)知識(shí)和方法按課時(shí)為單位推進(jìn)，課與課之間關(guān)聯(lián)度低，離散性大。在此情形下，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會(huì)呈現(xiàn)碎片化的情況，長(zhǎng)此以往，學(xué)生很難對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有整體的把握和系統(tǒng)性的認(rèn)知，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升幫助不大。美國(guó)心理學(xué)家布魯納說過，任何學(xué)科的教學(xué)，首要任務(wù)就是使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。為了讓學(xué)生更加輕松、有效地學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)，將知識(shí)和方法結(jié)構(gòu)化將是一種有益的嘗試，于是結(jié)構(gòu)化教學(xué)在此情境下應(yīng)運(yùn)而生。筆者以“一次函數(shù)”章節(jié)復(fù)習(xí)課為例，就結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)施的做法與理念與大家進(jìn)行探討。

一、結(jié)構(gòu)化教學(xué)的內(nèi)涵

結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是對(duì)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，并將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容視為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)形態(tài)進(jìn)行呈現(xiàn)，以突出數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性的一種教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)內(nèi)容（如教材等）認(rèn)知（主要指學(xué)情）固定的前提下，教師綜合考慮各方面因素，根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)有組織、有系統(tǒng)地創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境、安排學(xué)習(xí)材料及學(xué)習(xí)流程，讓學(xué)生按照預(yù)設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效的教與學(xué)。在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的理念下，結(jié)構(gòu)化教學(xué)依據(jù)單元整體設(shè)計(jì)進(jìn)行，以學(xué)生自我認(rèn)識(shí)為前提，以促進(jìn)學(xué)生思維能力提升為抓手，聚焦知識(shí)結(jié)構(gòu)的單元化呈現(xiàn)，在追求學(xué)生學(xué)科思維發(fā)展和學(xué)科能力提升的基礎(chǔ)上，建立適合學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的結(jié)構(gòu)化體系，幫助學(xué)生更輕松、有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[1]。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前思考

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生從學(xué)習(xí)常量數(shù)學(xué)到研究變量數(shù)學(xué)的一次思維飛躍。同時(shí)，函數(shù)也是數(shù)學(xué)與實(shí)際問題聯(lián)系的紐帶，大量實(shí)際生活情境問題的研究可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)變化過程中函數(shù)的本質(zhì)特性。章節(jié)復(fù)習(xí)課是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的良好課型，其目的是將每一節(jié)的知識(shí)進(jìn)行有效串聯(lián)。一次函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)課通過整體性的設(shè)計(jì)與實(shí)施，構(gòu)建一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，通過復(fù)習(xí)函數(shù)的圖像、性質(zhì)建立函數(shù)與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的完整結(jié)構(gòu)。

1.學(xué)習(xí)內(nèi)容分析——從整體上認(rèn)知單元知識(shí)

上好一節(jié)復(fù)習(xí)課，首先要了解本章到底有哪些知識(shí)，并弄清楚知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。于是，筆者在課前首先對(duì)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)的教材內(nèi)容進(jìn)行研讀，參閱《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的要求，梳理本章的知識(shí)脈絡(luò)。[2]（如圖1）

2.復(fù)習(xí)內(nèi)容選定——從活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生思維

從課型來(lái)看，教師普遍覺得復(fù)習(xí)課難上，主要原因之一是復(fù)習(xí)課難以有效聚焦，又具有較大的靈活性，往往能使教師的教學(xué)特點(diǎn)得到彰顯。一般而言，復(fù)習(xí)課可以從知識(shí)發(fā)展的角度進(jìn)行面面俱到的安排，也可以以任務(wù)為驅(qū)動(dòng)突顯能力發(fā)展進(jìn)行專題研究。不管如何設(shè)計(jì)，復(fù)習(xí)課都應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，上出新意，避免“炒冷飯”的現(xiàn)象，有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生深度思考，這才符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的教學(xué)理念。

于是，真實(shí)的學(xué)情就顯得尤為重要，其與授課者的教學(xué)目標(biāo)及授課方式成正相關(guān)。為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及自我評(píng)價(jià)，筆者提前三天對(duì)任教年級(jí)100名初二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，以設(shè)計(jì)出學(xué)生需要的、基于真實(shí)學(xué)情的復(fù)習(xí)課。調(diào)查結(jié)果見表1。

從調(diào)查結(jié)果可以看出，大多數(shù)學(xué)生覺得一次函數(shù)有一定的難度，對(duì)于函數(shù)的知識(shí)運(yùn)用方面自我評(píng)價(jià)較低，期望教師在解題方法上多一些歸納，在學(xué)習(xí)方法上多一些指導(dǎo)。

3.學(xué)習(xí)目標(biāo)確定——從任務(wù)解決中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

根據(jù)學(xué)生的情況，筆者決定從學(xué)生熟悉的圖形入手，通過圖形的變換感受知識(shí)的變化，從方法的選取中建立模型，提升學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)能力。制訂的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）通過用一次函數(shù)解決問題的研究，引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系。

（2）引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)表述數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，體會(huì)模型思想、轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)思想等。

（3）引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)歸納，總結(jié)學(xué)習(xí)方法及經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

另外，本節(jié)課的設(shè)計(jì)是想通過一個(gè)基本的背景進(jìn)行圖形變換，避免過多的背景干擾從而造成閱讀障礙。本節(jié)課的另外一個(gè)嘗試是授課時(shí)教師不使用課件和學(xué)案，而是與學(xué)生一起畫圖，這樣做既能引導(dǎo)學(xué)生利用好圖形，又能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度。因?yàn)樵谡n堂教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了很多開放性問題，所以在授課時(shí)沒有了課件的制約，能讓學(xué)生更充分研討，對(duì)于學(xué)生的生成能及時(shí)地反饋和評(píng)價(jià)。

（二）課堂實(shí)施

1.課堂引入

師：同學(xué)們，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)已接近尾聲，大家花了很多時(shí)間和精力來(lái)學(xué)習(xí)，應(yīng)該有比較大的收獲。但由于學(xué)習(xí)的內(nèi)容還沒有進(jìn)行梳理，甚至有的內(nèi)容大家已經(jīng)遺忘。從記憶方法來(lái)看，記憶需要一個(gè)載體，通過載體的變化及事物本質(zhì)的研究，我們才會(huì)有深刻的認(rèn)識(shí)。今天我們從一些熟悉的背景中歸納知識(shí)和方法。

【設(shè)計(jì)意圖】教師開門見山地告知學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的目的是通過圖形背景的變化對(duì)知識(shí)進(jìn)行回顧、對(duì)方法進(jìn)行總結(jié)，為結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實(shí)施做鋪墊。

2.背景研究

如圖2，已知直線l分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6）。

師：看到這個(gè)條件大家有什么想法？

生：我想求直線l的函數(shù)關(guān)系式。

師：在這個(gè)過程中，你運(yùn)用了什么知識(shí)和方法？

生：我知道直線是一次函數(shù)的圖像，求解析式用待定系數(shù)法。

教師在肯定學(xué)生后與學(xué)生一起從知識(shí)（數(shù)與形的轉(zhuǎn)化）、方法（待定系數(shù)法）和思想（函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合）三方面進(jìn)行歸納。

【設(shè)計(jì)意圖】開放性問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生積極思考，充分表達(dá)，改變教師問、學(xué)生答的模式，運(yùn)用“新”的授課方式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，教師借助學(xué)生的回答可以適當(dāng)強(qiáng)調(diào)解析式與直線間的數(shù)形關(guān)系。因此，結(jié)構(gòu)化教學(xué)的引入需要設(shè)計(jì)開放性的問題情境，這樣才能進(jìn)行多元化的研究和歸納。

3.變式研究

變式1：若點(diǎn)C為線段OA上一點(diǎn)，將線段OB沿BC翻折，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D上。

師：你有什么想法？

生：我想求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

師：在這個(gè)過程中，你運(yùn)用了什么知識(shí)和方法？

生：我用到的知識(shí)是全等變換，用設(shè)元和勾股定理進(jìn)行解決。

教師肯定學(xué)生后與學(xué)生一起從知識(shí)（圖形的翻折）、方法（方程與勾股定理）、思想（全等變換、方程思想）三方面進(jìn)行歸納。

這時(shí)，一名學(xué)生舉手表示他想求D點(diǎn)坐標(biāo)，并主動(dòng)歸納為知識(shí)方面是求坐標(biāo)，方法方面是過該點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，思想方面是構(gòu)造。

【設(shè)計(jì)意圖】圖形的翻折是初中數(shù)學(xué)中常見的全等變換，在平面直角坐標(biāo)系的背景中研究形式更多樣化，本題的研究讓學(xué)生明白翻折的本質(zhì)屬性還是全等。同時(shí)，通過點(diǎn)在線上的研究，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到圖像上的點(diǎn)滿足的數(shù)的特征，強(qiáng)化變式1的知識(shí)。教師將提問方式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理（怎么想？運(yùn)用了什么知識(shí)和方法？），并把學(xué)生的表達(dá)及時(shí)板書，引導(dǎo)學(xué)生反思，幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

變式2：在圖2的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合。

師：你有什么想法？

生：我想求點(diǎn)E的坐標(biāo)，只要過點(diǎn)E向x軸作垂線就可以了。

在學(xué)生求出點(diǎn)E的坐標(biāo)后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：該問題運(yùn)用了什么知識(shí)和方法？最后師生一起總結(jié)：知識(shí)方面是圖形的旋轉(zhuǎn)和求點(diǎn)的坐標(biāo)，方法方面是作垂線構(gòu)造全等，思想方面是構(gòu)造思想與模型思想。

【設(shè)計(jì)意圖】在翻折后研究旋轉(zhuǎn)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到這兩種圖形的變換與全等的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)相較于翻折，還須認(rèn)清旋轉(zhuǎn)的方向。通過對(duì)“熟悉”圖形的研究，加強(qiáng)對(duì)“K型相似”模型的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生建立模型以及運(yùn)用模型的能力。

變式3：如圖3，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FOK，設(shè)直線AB、FK交于點(diǎn)G。

師：你有什么想法？

生：我想求點(diǎn)G的坐標(biāo)，只要將直線AB，F(xiàn)K的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立并建立方程組即可。

學(xué)生分別指出了知識(shí)（求交點(diǎn)）、方法（聯(lián)立方程）以及思想（方程思想）三方面的內(nèi)容，進(jìn)一步掌握了所學(xué)知識(shí)。

【設(shè)計(jì)意圖】研究背景從之前單線變換為探究雙線，從知識(shí)上來(lái)說，是一次提升。開放性問題的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的回顧與梳理。

變式4：在變式3的條件下，點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，ON⊥OM交FK于點(diǎn)N，連接MN，得到△MON。

師：你有什么想法？

生：△MON是等腰直角三角形。

師：△MON面積有最小值嗎？如果有，怎么求？

學(xué)生對(duì)于這個(gè)問題展開了熱烈的討論，最后得出兩種解題方法：一是求等腰直角三角形面積的最小值可轉(zhuǎn)化為求一條直角邊的最小值;二是用函數(shù)表示出這個(gè)三角形的面積。通過操作和比較，教師引導(dǎo)學(xué)生用“垂線段最短”的知識(shí)解決問題。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷從點(diǎn)到線再到面的圖形變化，通過開放性問題的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性和興趣，從而提升學(xué)生幾何推理能力，形成解決問題的一般方法。四道變式訓(xùn)練題，看似普通，實(shí)則獨(dú)具匠心。針對(duì)平時(shí)每節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行有效整合的過程，就是一種思維的結(jié)構(gòu)化的過程。學(xué)生要想對(duì)問題進(jìn)行深入思考和挖掘，必須對(duì)問題的前因后果進(jìn)行系統(tǒng)化的分析和整體化的思考，才能順理成章地將一次函數(shù)的研究引向深入。

三、教學(xué)反思

（一）構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，以“本”為本設(shè)定知識(shí)的載體

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，尤其是章節(jié)復(fù)習(xí)課，教師首先要對(duì)本章的知識(shí)有清晰地認(rèn)識(shí)，能夠建立知識(shí)間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，在弄清楚知識(shí)的本質(zhì)屬性、價(jià)值意義以及難度要求的前提下，課堂教學(xué)才能有的放矢。結(jié)構(gòu)化整體教學(xué)追求的是學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)的螺旋式上升。這種螺旋式上升需要在學(xué)生原有的知識(shí)觀念和新知識(shí)發(fā)生不同程度的認(rèn)知沖突作用下形成，這其中包括同化、順應(yīng)等過程。整章知識(shí)的梳理、歸納和總結(jié)讓學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)和方法進(jìn)行橫向聯(lián)系、縱向剖析并將其納入自己的知識(shí)體系。如上述課例中建立的一次函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，可以幫助學(xué)生清晰地了解教材的編寫意圖，學(xué)生可以將一次函數(shù)的概念、性質(zhì)、應(yīng)用的研究方式應(yīng)用到整個(gè)函數(shù)的學(xué)習(xí)中。學(xué)生的學(xué)習(xí)不再局限在單一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而是將知識(shí)點(diǎn)連點(diǎn)成線，再將形成的知識(shí)鏈條形成網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建成一個(gè)完整的體系，從而更有效地幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（二）構(gòu)建學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，以學(xué)定教確定教學(xué)的難度

在知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)也就自然生成。所謂學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，指在教學(xué)任務(wù)的整體把握下，教師可以基于學(xué)生的學(xué)情和特點(diǎn)用合適的教學(xué)活動(dòng)展開教學(xué)，通過教學(xué)活動(dòng)的關(guān)聯(lián)建立知識(shí)間的聯(lián)系和學(xué)法的過程。這里的知識(shí)間的聯(lián)系包括內(nèi)部關(guān)聯(lián)和外部關(guān)聯(lián)：內(nèi)部關(guān)聯(lián)主要指知識(shí)之間的前后關(guān)聯(lián)，是縱向發(fā)展的，而外部關(guān)聯(lián)則是橫向的學(xué)法方面的指導(dǎo)和數(shù)學(xué)思想方面的滲透。如在嘗試平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，從幾何變化的角度進(jìn)行結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，將直線、圖形的幾何變化歸納成為關(guān)鍵點(diǎn)的定位，于是學(xué)生結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)過程就轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解和內(nèi)化的過程，從圖形的變化轉(zhuǎn)化為關(guān)鍵元素的變化，從而形成學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu)化。在章節(jié)復(fù)習(xí)課中，學(xué)生學(xué)完一章的內(nèi)容，迫切需要建立知識(shí)間的聯(lián)系以及學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，顯然此時(shí)最佳的方法不是對(duì)每個(gè)問題方法的單獨(dú)指導(dǎo)，而是通過問題組的呈現(xiàn)，找到解決系列問題的通性通法。上述課例正是考慮到學(xué)生的實(shí)際需求，通過一個(gè)圖形的變化拓展，既復(fù)習(xí)了重要知識(shí)點(diǎn)、常用解法，又詮釋了知識(shí)、方法間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系。正如布魯納所說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的，這為學(xué)生理解數(shù)學(xué)提供了幫助。

（三）構(gòu)建教法結(jié)構(gòu)，以思輔練教會(huì)學(xué)習(xí)的方法

教師的個(gè)人教學(xué)理念及風(fēng)格會(huì)體現(xiàn)在課堂之中，并影響到學(xué)生。課堂中如果只專注于對(duì)問題的解法訓(xùn)練，要想全面提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)是很難實(shí)現(xiàn)的，充其量?jī)H能在解題能力上有所提高。只有將指向“解惑”的教學(xué)延伸到培養(yǎng)學(xué)生的“善問”，讓學(xué)生從“擅做”到“精學(xué)”，從被動(dòng)接受到主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效提升，這需要教師在教授知識(shí)時(shí)形成穩(wěn)定的教法結(jié)構(gòu)和思考路徑，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解多下苦功。只有教師形成了良好的機(jī)構(gòu)體系，才有可能將這樣的體系化學(xué)習(xí)傳授給學(xué)生。在上述課例中，筆者在課堂中多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)“你有什么想法？”“運(yùn)用了什么知識(shí)和方法？”“學(xué)習(xí)后有什么收獲？”等結(jié)構(gòu)化的提問，并結(jié)合板書書寫學(xué)生的回答等，盡量形成穩(wěn)定的提問結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行體系化的思維訓(xùn)練，再輔以“可視化”的呈現(xiàn)（如圖4），學(xué)生在潛移默化中養(yǎng)成了對(duì)于一般問題的思考方式。

一節(jié)復(fù)習(xí)課的成功，不一定是教學(xué)預(yù)設(shè)的成功，但一定是教學(xué)理念的一次突破。同樣地，結(jié)構(gòu)化教學(xué)理念的實(shí)施也需要教師長(zhǎng)期不懈地堅(jiān)持。如果復(fù)習(xí)課可以滲透結(jié)構(gòu)化的教學(xué)理念，那么在平時(shí)的新授課、習(xí)題課等其他課型中，廣大教師也不妨將結(jié)構(gòu)化的教學(xué)理念付諸嘗試。筆者期望基于知識(shí)與學(xué)情的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，能夠讓學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化思維，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳彩虹，趙琴，汪茂華，等.基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)：全國(guó)第十屆有效教學(xué)理論與實(shí)踐研討會(huì)綜述[J].全球教育展望，2016（1）：121-128.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)任編輯：陸順演）