基礎(chǔ)隔震高層建筑結(jié)構(gòu)減震系數(shù)研究

賴正聰，潘 文，白 羽，葉燎原，張?zhí)飸c，賈 毅

(1.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500；2.云南省抗震工程技術(shù)研究中心，昆明 650500；3.中國建筑第二工程局有限公司，昆明 650500)

隔震結(jié)構(gòu)在抵抗可能遭遇的超罕遇烈度地震作用方面，較非隔震結(jié)構(gòu)具有更高的安全儲備、優(yōu)勢更為顯著。目前，隔震技術(shù)應(yīng)用正從低矮建筑向高層建筑延伸發(fā)展。高寬比較小的低矮隔震結(jié)構(gòu)在地震作用下，基本以整體平動及剪切變形為主，不易發(fā)生傾覆。而高寬比較大的高層隔震結(jié)構(gòu)在地震作用下，彎剪變形較為突出，往往因受到較大的傾覆力矩作用而呈現(xiàn)相對顯著的翻轉(zhuǎn)，隔震層傾角反應(yīng)也更為劇烈[1-2]。

由于隔震后結(jié)構(gòu)所受到的實際地震作用將顯著減小，從而結(jié)構(gòu)所受內(nèi)力也隨之大幅減小[3]。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中可根據(jù)內(nèi)力減小的程度酌情對上部結(jié)構(gòu)地震作用及抗震措施要求適當(dāng)降低。對此，目前主要根據(jù)水平向減震系數(shù)大小來確定降低幅度。而正如上所述，低矮建筑與高層建筑在地震作用下的主要受力及變形特征有所不同，新修編的國家標(biāo)準(zhǔn)GB 50011—2010《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[4](以下簡稱《抗規(guī)》)提出：對于多層建筑，取樓層剪力最大比值；對于高層建筑還應(yīng)考慮傾覆力矩比，并取剪力比與力矩比的較大值。而《建筑隔震設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》(征求意見稿)中因采用直接帶隔震層進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計的做法，不存在地震力降低的問題，但針對抗震措施要求降低的規(guī)定中強(qiáng)調(diào)了用隔震后、前的底部剪力比進(jìn)行劃分，不再考慮力矩比的影響。兩部標(biāo)準(zhǔn)之間具有顯著的差異。針對上述相關(guān)問題，目前僅有少數(shù)學(xué)者結(jié)合實際結(jié)構(gòu)算例[5]或就特定比值的影響因素[6-8]進(jìn)行了分析，未能給出普適性的結(jié)論，尚無缺乏較為深入全面的機(jī)理性研究。

本文針對質(zhì)量、剛度沿高度分布相對均勻的基礎(chǔ)隔震高層建筑結(jié)構(gòu)建立其等效梁模型，基于振型分解反應(yīng)譜法、編制MATLAB計算程序，分別對隔震及非隔震結(jié)構(gòu)振型數(shù)、振型參與質(zhì)量、地震剪力、力矩等關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行探討分析。給出了確定水平向減震系數(shù)指標(biāo)的臨界剛度比、臨界周期比。進(jìn)一步分析了該兩個臨界比值對減震系數(shù)的一般性控制規(guī)律。所得研究成果可為相關(guān)理論研究及工程應(yīng)用提供參考和依據(jù)。

1 基于等效梁模型的動力分析

高寬比較大的基礎(chǔ)隔震高層建筑結(jié)構(gòu)，其上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度沿高度分布往往相對較為均勻?？刹捎脠D1所示的等效隔震梁模型進(jìn)行模擬分析。隔震層總體水平等效剛度Kh、總體抗傾覆轉(zhuǎn)動剛度Kθ、隔震層水平總體等效黏滯阻尼系數(shù)Ch、轉(zhuǎn)動等效黏滯阻尼系數(shù)Cθ均可根據(jù)支座性能及布置參數(shù)確定[9]。

圖1 基礎(chǔ)隔震高層剪力墻結(jié)構(gòu)簡化分析模型

在非隔震情況下，代以圖2(a)所示的懸臂梁模型。設(shè)其受到側(cè)向水平激勵力f(x,t)的作用，在不考慮圖2(b)中微元體上轉(zhuǎn)動慣性力影響的情況下，可采用經(jīng)典Bernoulli-Euler梁模型進(jìn)行分析。實際結(jié)構(gòu)在水平力作用下，將同時發(fā)生彎曲及剪切變形，但對于本文所探討的問題，采用同時包含兩種變形的整體等效抗彎剛度同樣可得到較為準(zhǔn)確的分析結(jié)果[10]。梁橫向振動控制微分方程為

圖2 非隔震懸臂梁

(1)

式中：E為材料彈性模量；I為截面等效慣性矩；ρ為材料密度；A為等效截面積。

自由振動情況下，激勵力f(x,t)=0，振動方程演變?yōu)槭?2)

(2)

采用分離變量法求解式(2)，假設(shè)其解y(x,t)可表示為[11-12]

y(x,t)=φ(x)q(t)

(3)

將其代入式(2)，經(jīng)簡單整理后可分別得到關(guān)于模態(tài)函數(shù)φ(x)和廣義坐標(biāo)q(t)的兩個獨立微分方程。求解關(guān)于φ(x)的4階微分方程可得

φ(x)=C1cosβx+C2sinβx+C3chβx+C4shβx

(4)

其中，

(5)

積分常數(shù)Cj(j=1，2，3，4)及參數(shù)ω可由滿足特定邊界條件的頻率方程確定，ρl=ρA。

對于總高度為l(梁總長)的非隔震結(jié)構(gòu)，Chopra已給出對應(yīng)的頻率方程

1+cosβlchβl=0

(6)

利用數(shù)值方法求解式(6)，當(dāng)n=1,n=2,n=3和n=4時，得到

βnl=1.875,βnl=4.694,

βnl=7.855,βnl=10.996

(7)

對應(yīng)前4階固有頻率分別為

ωn=3.516f0,ωn=22.03f0,

ωn=61.7f0,ωn=120.9f0

(8)

引入邊界條件后，非隔震結(jié)構(gòu)模態(tài)函數(shù)可表達(dá)為

φn(x)=chβnx-cosβnx-

(9)

對應(yīng)前4階振型曲線如圖3所示。

圖3 非隔震懸臂梁梁振型曲線

對于隔震結(jié)構(gòu)，不考慮阻尼的情況下，等效梁底部即隔震層所受瞬時力矩、剪力分別等于彈簧(支座)翻轉(zhuǎn)力矩及支座水平剪力。在結(jié)構(gòu)頂部截面處，彎矩、剪力均為0。由以上邊界條件及式(3)～式(5)可得特征方程

(10)

由式(10)、式(5)即可求解各階頻率ωn。但該式較為復(fù)雜，難以得出解析解，將基于MATLAB平臺采用數(shù)值方法進(jìn)行計算。通過把所求出的頻率ωn代入由隔震結(jié)構(gòu)邊界條件確定的以待定系數(shù)Cj為未知量的方程組便可得到各階模態(tài)函數(shù)φn(x)。

(11)

式中，Mn，Cn，Kn分別為第n階振型的廣義質(zhì)量、廣義阻尼系數(shù)、廣義剛度。

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：Cb為隔震層整體等效黏滯阻尼系數(shù)，非隔震結(jié)構(gòu)計算時取0；C0為上部結(jié)構(gòu)Rayleigh阻尼系數(shù)。

由此，可采用與離散系統(tǒng)相同的求解方法對隔震與非隔震結(jié)構(gòu)各階地震響應(yīng)進(jìn)行計算，然后通過各階峰值反應(yīng)組合得到隔震等效梁的最大地震反應(yīng)。計算時，隔震支座水平剛度采用等效水平剛度，以將其非線性行為作等效線性化處理。因高寬比較大的高層隔震建筑形狀往往較為規(guī)則，扭轉(zhuǎn)反應(yīng)相對較小[13]，因此，可按SRSS組合進(jìn)行計算。

2 基本問題分析

2.1 隔震結(jié)構(gòu)

工程實踐經(jīng)驗表明，結(jié)構(gòu)隔震前、后周期比、抗側(cè)移剛度比對結(jié)構(gòu)計算振型數(shù)及計算結(jié)果直接相關(guān)，現(xiàn)對相關(guān)問題作簡要探討。有效參與振型數(shù)需根據(jù)有效振型參與質(zhì)量系數(shù)確定，該系數(shù)可按式(16)計算。

(16)

圖4給出了不考慮等效梁質(zhì)量、截面積沿高度變化的情況下，隔震結(jié)構(gòu)1階及1階+2階振型參與質(zhì)量系數(shù)與隔震后、前結(jié)構(gòu)1階周期比rT1的關(guān)系?？梢姡?dāng)1階周期比rT1>1.3時，1階振型參與質(zhì)量系數(shù)已超過90%，意味著該情況下可僅考慮1階振型反應(yīng)即可。而1階+2階的值在所給出的1階周期比范圍(1～5)內(nèi)均已大于90%。

圖4 隔震結(jié)構(gòu)振型參與質(zhì)量系數(shù)與1階周期比的關(guān)系

不妨假設(shè)上部結(jié)構(gòu)在沿高度均勻分布水平側(cè)向力作用下，基于頂點位移相等的等效梁整體等效截面慣性矩為Ieq(不考慮彈模變化)，則對應(yīng)的整體抗側(cè)移剛度Ks為

(17)

隔震層總體等效水平剛度Kh與Ks具有相同量綱，而總體等效翻轉(zhuǎn)剛度為Kθ的量綱則不同于Ks。定義無量綱剛度比值rkh=Ks/Kh，rkc=Kθ/Khl2，前者表示上部結(jié)構(gòu)與隔震層抗側(cè)移剛度比，后者則為隔震層翻轉(zhuǎn)剛度與側(cè)移剛度比。

圖5給出了不同rkc對應(yīng)的rkh與rT1關(guān)系曲線?？梢钥吹剑芷诒萺T1隨剛度比rkh的增大而增大。rkc由1.6增大到6.4，即增大4倍的情況下，曲線變化較小。意味著隔震層等效翻轉(zhuǎn)剛度Kθ對結(jié)構(gòu)周期影響較小。在不考慮Kθ影響的情況下，按照前述等效梁動力分析方法，重新計算不同剛度比rkh下隔震后、前結(jié)構(gòu)周期比rT1，通過數(shù)值擬合可得到

圖5 rkh與rT1關(guān)系曲線

(18)

由式(18)可計算得到與rT1=1.3對應(yīng)的rkh值為0.8。由前面分析可知，當(dāng)rkh=0.8時，隔震結(jié)構(gòu)1階振型參與質(zhì)量系數(shù)便超過90%，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)以基本振型貢獻(xiàn)為主，高階振型反應(yīng)可忽略。

需作說明的是，本文定義的Ks為結(jié)構(gòu)整體等效側(cè)移剛度，并非特定樓層剛度，盡管看似當(dāng)rkh=0.8時，上部結(jié)構(gòu)剛度較隔震層剛度小，但實際上，從定義式(17)不難發(fā)現(xiàn)，對于單一樓層，l要小得多，相應(yīng)的樓層抗側(cè)移剛度值則要大得多。

2.2 非隔震結(jié)構(gòu)

(19)

(20)

表1 非隔震結(jié)構(gòu)前4階參數(shù)

表1中為Tun第n階非隔震結(jié)構(gòu)周期，可表達(dá)為

(21)

其中，前4階的ωn由式(8)給出，依次代入式(21)可得

(22)

式中，cn依次為式(8)中的各項系數(shù)值：3.516，22.03，61.7，120.9。

對于質(zhì)量沿高度分布相對均勻的高層剪力墻結(jié)構(gòu)而言，可有

(23)

因而，式(22)可變?yōu)?/p>

(24)

根據(jù)式(17)以及rkh的定義，式(24)改寫為

(25)

由表1可見，質(zhì)量及剛度沿高度分布相對均勻的非隔震結(jié)構(gòu)前4階有效振型參與質(zhì)量系數(shù)之和為0.91。意味著，采用振型分解反應(yīng)譜法計算時，可僅考慮前4階的貢獻(xiàn)。實際上，前2階振型對結(jié)構(gòu)反應(yīng)起主要控制作用，該2階的有效振型參與量系數(shù)之和已達(dá)0.82。

關(guān)于這一點，也可由圖6中以賴正聰?shù)妊芯恐械目s尺模型為算例、采用本文等效梁模型計算所得樓層剪力結(jié)果看到。圖中縱坐標(biāo)為各樓層標(biāo)高與結(jié)構(gòu)總高度(7.576 m)的比值。第1階振型對應(yīng)的樓層剪力分布基本符合拋物線形狀。而從第2階開始，振型曲線均具有反相位特征，參與振型疊加后，必然導(dǎo)致圖中樓層剪力分布曲線的拋物線形狀發(fā)生變形。但從數(shù)值上看，仍以第1階振型貢獻(xiàn)為主。同時可見，前2階振型組合計算結(jié)果與前4階組合結(jié)果差異甚小。這充分證實了前述結(jié)論，即采用前4階振型參與計算便可得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，后面進(jìn)一步分析時，對于非隔震結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)將采用前4階振型計算組合得到。

圖6 非隔震結(jié)構(gòu)算例樓層剪力計算結(jié)果

3 減震系數(shù)分析

3.1 樓層剪力比和力矩比

圖7顯示了rkh分別取0.80，1.25，5.00，8.00時對應(yīng)的結(jié)構(gòu)隔震后、前樓層剪力比、力矩比隨樓層高度比的變化曲線(Tg=0.55 s)。非隔震結(jié)構(gòu)取前4階振型進(jìn)行SRSS組合，上部結(jié)構(gòu)阻尼比取0.05，隔震層阻尼比參照以往經(jīng)驗取0.15。其中樓層高度比定義為樓層距結(jié)構(gòu)底部的高度與結(jié)構(gòu)總高之比。

圖7 結(jié)構(gòu)樓層剪力比和力矩比

由圖7可見，不同剛度比rkh對應(yīng)的隔震后與隔震前結(jié)構(gòu)各樓層剪力比和力矩比最大值通常出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)底部。剛度比對樓層剪力比、力矩比隨結(jié)構(gòu)高度的分布均有一定的影響。當(dāng)剛度比增大超過某個值時，各樓層剪力比均大于力矩比。

3.2 臨界剛度比

根據(jù)以上分析結(jié)果可知，可較為簡便地通過結(jié)構(gòu)底部剪力比、力矩比對結(jié)構(gòu)減震效能進(jìn)行評價。根據(jù)動力學(xué)理論，當(dāng)取前4階并按SRSS進(jìn)行組合計算時，非隔震結(jié)構(gòu)底部剪力VbF、底部力矩MbF分別為

(26)

(27)

式中，Ano為非隔震結(jié)構(gòu)第n階振型對應(yīng)的譜加速度。

隔震結(jié)構(gòu)計算時，可僅考慮基本振型影響[14-15]，其底部剪力VbI、底部力矩MbI分別為

(28)

(29)

式中，A1o為隔震結(jié)構(gòu)第1階振型對應(yīng)的譜加速度。

由以上分析、結(jié)合表1可以看到，因計算非隔震結(jié)構(gòu)Ano所需要的各階周期Tun可由剛度比rkh和隔震結(jié)構(gòu)基本周期TI1確定，同時所涉及的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、高度、αmax、g等參數(shù)在計算底部剪力比、力矩比時均可約除，因而，影響該兩個比值的參數(shù)僅為TI1，Tg，ξ以及剛度比rkh。

圖8顯示了不同TI1/Tg(以Tg=0.55 s為例)對應(yīng)的底部剪力比、力矩比隨rkh的變化曲線?？梢钥吹剑S著rkh的增大，結(jié)構(gòu)底部剪力比和力矩比均趨于減小。說明隔震層相對于上部結(jié)構(gòu)越柔，隔震后剪力和力矩降低幅度越大。同時可見，特定TI1/Tg比值對應(yīng)的底部剪力比和力矩比兩條曲線存在交叉現(xiàn)象，即當(dāng)剛度比rkh小于某個臨界值時，底部力矩比大于剪力比，此時，應(yīng)以力矩比作為減震效能的評價指標(biāo)；當(dāng)rkh大于該臨界值時則應(yīng)以底部剪力比作為相應(yīng)評價指標(biāo)。該交叉點對應(yīng)的剛度比即為控制評價指標(biāo)的臨界剛度比，用符號rkhB表示。

圖8 結(jié)構(gòu)底部剪力比和力矩比(Tg=0.55 s)

從圖8可以看到，特定場地卓越周期Tg下，TI1/Tg比值越大，對應(yīng)的rkhB越大。由此可見，當(dāng)隔震層較柔的情況下，唯有進(jìn)一步提高上部結(jié)構(gòu)抗側(cè)移剛度才能有效降低隔震結(jié)構(gòu)在傾覆力矩作用下的整體翻轉(zhuǎn)反應(yīng)。表2進(jìn)一步給出不同場地周期Tg對應(yīng)的臨界剛度比數(shù)值。表中計算結(jié)果顯示，特定TI1/Tg對應(yīng)不同Tg下的rkhB盡管不完全相同，但非常接近。圖9顯示了不同場地卓越周期Tg對應(yīng)的rkhB隨TI1/Tg的變化曲線。可以看到，各條曲線基本重合、呈現(xiàn)出基本一致的變化規(guī)律。

表2 臨界剛度比rkhB

圖9 TI1/Tg-rkhB曲線

為便于應(yīng)用，對表2中各列數(shù)值取平均，并對該平均值與TI1/Tg數(shù)值進(jìn)行擬合，最終可得到二者的關(guān)系表達(dá)式(30)

(30)

可見，rkhB與TI1/Tg的平方成正比，隔震結(jié)構(gòu)周期的變化對rkhB的影響較為顯著。

3.3 臨界周期比

實際工程中，采用周期比進(jìn)行分析更為方便，現(xiàn)在上述臨界剛度比分析基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出臨界周期比(確定減震系數(shù)采用剪力比或力矩比進(jìn)行計算的臨界周期比值)。式(18)表達(dá)了隔震后、前結(jié)構(gòu)第1階周期比rT1與剛度比rkh的內(nèi)在關(guān)系。將臨界剛度比計算表達(dá)式(30)代入式(18)便可得到隔震后、前結(jié)構(gòu)1階臨界周期比rT1B計算式(31)，同時直觀地給出了圖10所示的rT1B隨TI1/Tg的變化曲線。

圖10 TI1/Tg-rT1B曲線

(31)

因周期比rT1隨剛度比rkh的增大而增大(見圖5)，結(jié)合上述對臨界剛度比的討論可知，當(dāng)隔震后、前結(jié)構(gòu)1階周期比rT1rT1B時則應(yīng)以底部剪力比作為相應(yīng)評價指標(biāo)。

需作進(jìn)一步說明的是，以上分析結(jié)論對于《抗規(guī)》及《建筑隔震設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》(征求意見稿)所給出的不同反應(yīng)譜或不同結(jié)構(gòu)阻尼比取值均成立。因不同的譜加速度、阻尼比都只會使得隔震結(jié)構(gòu)底部剪力、力矩同比例改變，圖8中交叉點對應(yīng)橫坐標(biāo)即臨界剛度比rkhB不會改變，進(jìn)而臨界周期比rT1B亦必然不受影響。進(jìn)而言之，以上關(guān)于該兩個臨界比值分析所得規(guī)律和結(jié)論是具有普遍性的。

4 結(jié) 論

本文基于等效梁模型，對質(zhì)量、剛度沿高度分布相對均勻的基礎(chǔ)隔震高層建筑結(jié)構(gòu)減震系數(shù)取值問題進(jìn)行了分析探討，最終可得出如下結(jié)論以供后續(xù)理論研究及實際工程應(yīng)用參考：

(1)當(dāng)隔震后、前結(jié)構(gòu)基本周期比rT1>1.3或上部結(jié)構(gòu)整體等效剛度與隔震層水平等效剛度之比rkh>0.8時，可有效抑制高層剪力墻隔震結(jié)構(gòu)高階振型反應(yīng)，僅需考慮基本振型對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的貢獻(xiàn)。

(2)結(jié)構(gòu)隔震后、前的底部剪力比、力矩比與上部結(jié)構(gòu)整體等效剛度與隔震層水平等效剛度之比rkh、基本周期比rT1有關(guān)，與質(zhì)量、阻尼等參數(shù)無關(guān)。

(3)當(dāng)rkh小于臨界剛度比rkhB或rT1小于臨界周期比rT1B時，底部力矩減震效果較剪力要差，應(yīng)以隔震后、前結(jié)構(gòu)底部力矩比作為減震效能評價指標(biāo)；當(dāng)rkh大于臨界剛度比rkhB或rT1大于臨界剛度比rT1B時，則應(yīng)以底部剪力比作為評價指標(biāo)。其中，rkhB和rT1B可按本文所給數(shù)值取用。