具有一般關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)母子公司擔(dān)保債券的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)分析

林建偉，宋麗平

（莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建 莆田 351100）

隨著債券市場(chǎng)的發(fā)展，信用等級(jí)較低的公司通過第三方擔(dān)保、母公司為子公司擔(dān)保、債券保險(xiǎn)以及信用準(zhǔn)備金等增信方式提高其信用等級(jí)，其中母公司同時(shí)為旗下多家子公司擔(dān)保的方式尤為常見。例如：2018 年4 月，杭州?？低晹?shù)字技術(shù)股份有限公司宣布為旗下17 家子公司債券提供擔(dān)保，擔(dān)保額度達(dá)224.50 億元；2018 年10 月，陽(yáng)光城宣布為旗下7家子公司債券提供擔(dān)保，擔(dān)保額度達(dá)52.98 億元；2018 年11 月，中南建設(shè)集團(tuán)股份有限公司宣布為旗下24 家子公司債券提供擔(dān)保，擔(dān)保額度達(dá)143.40 億元。子公司債券獲得母公司擔(dān)保有助于增強(qiáng)子公司到期還本付息的能力，提高子公司債券的信用等級(jí)，降低子公司的融資成本，從而解決子公司融資難的問題。但同時(shí)應(yīng)意識(shí)到母公司為子公司債券提供擔(dān)保所隱含的違約傳染性風(fēng)險(xiǎn)，即子公司的違約可能增加母公司的違約概率，或直接導(dǎo)致母公司違約，因此在一家母公司為n家子公司債券提供擔(dān)保時(shí)，建立合理的公司債券定價(jià)模型是研究熱點(diǎn)。

JARROW 等［1］首次通過違約強(qiáng)度傳染模型描述了關(guān)聯(lián)公司之間的違約依賴性結(jié)構(gòu)，并對(duì)具有單向違約傳染結(jié)構(gòu)的2 家關(guān)聯(lián)公司債券進(jìn)行定價(jià)；COLLIN-DUFRESNE 等［2］采用測(cè)度變換方法，研究了具有環(huán)形違約傳染結(jié)構(gòu)的2 家關(guān)聯(lián)公司債券定價(jià)問題；白云芬等［3］通過測(cè)度變換方法，研究了具有雙曲衰減違約強(qiáng)度傳染結(jié)構(gòu)的2 家關(guān)聯(lián)公司債券定價(jià)問題；FAN［4］采用總的違約強(qiáng)度構(gòu)建方法，對(duì)具有環(huán)形違約傳染結(jié)構(gòu)的3 家關(guān)聯(lián)公司債券進(jìn)行定價(jià)。以上研究主要基于利率為常數(shù)的假設(shè)，討論無擔(dān)保關(guān)聯(lián)公司債券定價(jià)問題。

在擔(dān)保債券定價(jià)問題上，任學(xué)敏等［5］在隨機(jī)利率服從Vasicek 模型下，采用約化方法對(duì)在第三方擔(dān)保下的公司債券進(jìn)行了定價(jià)，但模型忽略了擔(dān)保所引起的違約傳染性。林建偉等［6］通過環(huán)形違約強(qiáng)度傳染模型刻畫了2 家公司之間由于互相擔(dān)保所引起的違約傳染性，采用總的違約強(qiáng)度構(gòu)建法考慮了雙方互相擔(dān)保公司債券定價(jià)問題，但模型未考慮隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)的影響。夏鑫等［7］基于隨機(jī)利率服從CIR模型，通過單向指數(shù)衰減違約傳染模型描述了2 家公司之間因具有擔(dān)保所引起的違約傳染性，采用測(cè)度變換方法考慮了單方擔(dān)保債券的定價(jià)問題，但模型僅獲得了定價(jià)的積分表達(dá)式。近年來，楊招軍等［8］采用均衡定價(jià)理論，考慮了在混合擔(dān)保下企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)和混合擔(dān)保成本的定價(jià)問題。蔣和勝等［9］實(shí)證研究了資產(chǎn)支持證券和資產(chǎn)擔(dān)保債券對(duì)銀行信貸的影響，認(rèn)為資產(chǎn)擔(dān)保債券具有較高的信用評(píng)級(jí)，有助于銀行降低資金成本。李恩來［10］采用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法，實(shí)證研究了擔(dān)保增信措施對(duì)公司債券的作用和影響，結(jié)果表明，擔(dān)保增信措施提高了公司債券的信用等級(jí)，擴(kuò)大了融資規(guī)模，降低了公司債券的發(fā)行利差。江源［11］實(shí)證檢驗(yàn)了擔(dān)保增信措施對(duì)城投債信用評(píng)級(jí)和發(fā)行價(jià)格的影響關(guān)系，發(fā)現(xiàn)擔(dān)保增信措施提高了城投債的信用等級(jí)，但對(duì)城投債發(fā)行利差無顯著影響。綜上，現(xiàn)有研究未考慮隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)的影響和擔(dān)保所引起的違約傳染性風(fēng)險(xiǎn)［8-11］。此外，只考慮在單方擔(dān)保下的公司債券定價(jià)問題［5-11］，而未考慮同時(shí)為n家關(guān)聯(lián)公司提供擔(dān)保時(shí)的公司債券定價(jià)問題。

本文擬在隨機(jī)利率服從CIR 模型［12］下，采用約化方法，考慮具有一般關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)母子公司擔(dān)保債券的定價(jià)問題?；趎+1 家公司違約強(qiáng)度傳染性模型，刻畫由一家母公司同時(shí)為n家子公司提供擔(dān)保而形成的公司違約相互依賴性，采用隨機(jī)分析理論，建立具有一般關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)母子公司擔(dān)保債券的數(shù)學(xué)模型，得到相應(yīng)子公司債券定價(jià)的顯式表達(dá)式和母公司的違約概率，并分析了定價(jià)中所蘊(yùn)含的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)和因母子公司擔(dān)保而產(chǎn)生的違約傳染性風(fēng)險(xiǎn)。

1 母子公司擔(dān)保債券定價(jià)

1.1 模型假設(shè)

（1）設(shè)(Ω，F(xiàn)，Q)表示完備概率測(cè)度空間，其中Ω 為樣本空間，F(xiàn)是Ω 上的σ-代數(shù)，Q為(Ω，F(xiàn))上的等價(jià)鞅 測(cè)度［13］。{F}0≤t≤T表示F的 一個(gè)子σ-代數(shù)流，且FT=F。rt表示隨機(jī)利率過程，F(xiàn)r，t=σ(rs：s≤t)為其產(chǎn)生的自然流。τi（i=1，2，…，n）表示子公司i的違約時(shí)間，τn+1為母公司的違約時(shí)間，Ni，t=I{τi≤t}為子公司i的違約過程，Nn+1，t=I{τn+1≤t}為 母公司的違約過程，且母公司和子公司的違約過程均獨(dú)立于隨機(jī)利率過程rt，以及n家子公司的違約過程兩兩之間相互獨(dú)立。設(shè)Fi，t=σ(Ni，s：s≤t)，i=1，2，…，n，n+1 表示母公司和子公司產(chǎn)生的自然流，F(xiàn)t=Fr，t∨F1，t∨F2，t∨…∨Fn，t∨Fn+1，t表示[0，t]內(nèi)市場(chǎng)產(chǎn)生的所有信息。λi，t表示隨機(jī)時(shí)間τi(i=1，2，…，n，n+1)內(nèi)一個(gè)非負(fù)Ft可測(cè)的違約強(qiáng)度過程，且在等價(jià)鞅測(cè)度Q下，對(duì)任何t≥0，數(shù)學(xué)期望和補(bǔ)償過程Mi，t=Ni，t?是一個(gè)Ft可測(cè)鞅。

（2）在等價(jià)鞅測(cè)度Q下，隨機(jī)利率過程rt演化服從CIR［12］模型：

其中，θ，δ，ρ為常數(shù)，且滿足2θδ≥ρ2，{Bt}t≥0為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

（3）設(shè)n家子公司同時(shí)發(fā)行了零息票債券，到期日為T，在債券期限[0，T]內(nèi)，母公司同時(shí)為n家子公司債券提供擔(dān)保，任一家子公司i在債券期限內(nèi)一旦發(fā)生違約，若母公司在債券期限內(nèi)沒有發(fā)生違約，則子公司i的債券損失將由母公司承擔(dān)，債券持有者在到期日獲得1 元；若母公司在債券期限內(nèi)也發(fā)生違約，子公司i的債券持有者只能在到期日得到R元，0

（4）母子公司違約強(qiáng)度傳染性模型為

該模型刻畫了一家母公司同時(shí)為n家子公司債券提供擔(dān)保而形成的違約依賴性結(jié)構(gòu)，側(cè)重于母公司與子公司的差異性，而未區(qū)分n家子公司的差異性。a，a*均為正常數(shù)，分別表示子公司和母公司的自身違約因子；b為正常數(shù)，且a>b，表示因母公司為子公司i債券提供擔(dān)保而形成的違約傳染因子，即子公司i一旦違約，若母公司沒有違約，因母公司為子公司i債券提供擔(dān)保，其違約強(qiáng)度將發(fā)生跳躍，從a*增至a*+b。

注1條件a>b體現(xiàn)了由子公司i全部債務(wù)引起的違約影響程度大于僅由子公司i債券損失所造成母公司的違約影響程度。

（5）任意兩家公司同時(shí)發(fā)生違約的概率為零。

1.2 母子公司擔(dān)保債券的數(shù)學(xué)模型和定價(jià)公式

由于不區(qū)分n家子公司之間的差異性，n家子公司所發(fā)行擔(dān)保債券具有相同價(jià)值，因此以子公司1所發(fā)行擔(dān)保債券定價(jià)為主。根據(jù)模型假設(shè)（1）～（5），在隨機(jī)利率背景下具有一般關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)母子公司擔(dān)保債券定價(jià)的數(shù)學(xué)模型為

其中，D(0，T)表示子公司1 所發(fā)行的擔(dān)保債券價(jià)格，式（3）右邊括號(hào)內(nèi)第1 項(xiàng)表示若子公司1 在擔(dān)保債券期限內(nèi)未發(fā)生違約，則債券持有者可在到期日獲得1 元；第2 項(xiàng)表示若子公司1 在債券期限內(nèi)已經(jīng)違約，而母公司在債券期限內(nèi)未發(fā)生違約，根據(jù)母子公司擔(dān)保合約規(guī)定，母公司將承擔(dān)子公司1 因發(fā)生違約而造成的損失，擔(dān)保債券持有者仍將在到期日獲得1 元；第3 項(xiàng)表示若子公司1 在債券期限內(nèi)已經(jīng)違約，且母公司在債券期限內(nèi)也發(fā)生違約，則擔(dān)保債券持有者只能在到期日獲得R元。

基于式（3），結(jié)合COX 等［12］關(guān)于隨機(jī)貼現(xiàn)因子的結(jié)果，可得母子公司擔(dān)保債券價(jià)格。

定理1任意給定正數(shù)a，a*，b，滿足a>b，母子公司擔(dān)保債券價(jià)格D(0，T)的顯式表達(dá)式為

證明基于式（3），結(jié)合隨機(jī)利率r與違約時(shí)間(τ1，τ2，…，τn+1)的獨(dú)立性，有

下面求解EQ(I{τ1≤T}I{τn+1

對(duì)任意k=1，2，…，n?2，

同理，可得

由此可得

綜上，可求得式（4）。證畢！

1.3 無擔(dān)保情形下的公司債券定價(jià)

在無擔(dān)保情形下，母子公司違約強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型為

子公司1 債券定價(jià)的數(shù)學(xué)模型為

經(jīng)計(jì)算，無擔(dān)保情形下子公司1 的債券定價(jià)公式為

2 金融意義分析

2.1 子公司債券擔(dān)保價(jià)值

母公司為子公司債券提供擔(dān)保所產(chǎn)生的價(jià)值體現(xiàn)在有擔(dān)保與無擔(dān)保2 種情形下子公司發(fā)行債券的價(jià)差，即子公司債券擔(dān)保價(jià)值D*=D(0，T)?(0，T)，由式（4）和式（8），可得

定理2任意給定正數(shù)a，a*，b，滿足a>b，母公司擔(dān)保下D*的表達(dá)式為

且D*>0。

證明由式（4）和式（8），易求得D*。由式（3），結(jié)合λ1，t==a，有

(0，T)，因此，D*>0。

注2D*>0 表明母公司為子公司發(fā)行債券提供擔(dān)保增大了子公司債券的發(fā)行價(jià)值，提升了子公司的信用等級(jí)，降低了子公司的融資成本，一定程度上克服了子公司融資難問題。

2.2 母公司違約概率

根據(jù)母子公司擔(dān)保合約規(guī)定，一家母公司承擔(dān)n家子公司可能發(fā)生違約所造成的債務(wù)損失，從而引發(fā)違約傳染風(fēng)險(xiǎn)，導(dǎo)致母公司違約概率大大增加。設(shè)Prob(τn+1

定理3任意給定正數(shù)a，a*，b，滿足a>b，P1，P2的表達(dá)式分別為

證明由式（6）可得

由式（2），并考慮n家子公司的對(duì)稱性，有

對(duì)任意k=1，2，…，n?1，有

同理可得，

綜上，可得P1的表達(dá)式（10）。證畢！

下面推導(dǎo)P2的表達(dá)式。

以及Prob(τ1

可求得

根據(jù)有擔(dān)保和無擔(dān)保情形下n+1 家母子公司的違約強(qiáng)度模型（2）和（6），可知

即P2≥P1≥0。

注3P2≥P1≥0，表明母公司為n家子公司同時(shí)提供擔(dān)保，一方面，提高了子公司債券的價(jià)值，提升了子公司的信用等級(jí)；另一方面，由于母公司承擔(dān)子公司違約的風(fēng)險(xiǎn)，可能引發(fā)違約傳染，并增大母公司違約風(fēng)險(xiǎn)，特別在子公司肯定在到期日之前違約條件下，母公司違約概率增大幅度將是巨大的。

3 數(shù)值分析

基于式（9）～式（11），考查隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)和母公司擔(dān)保對(duì)子公司債券定價(jià)的影響?；緟?shù)設(shè)定為a=0.3，a*=0.1，b=0.1，θ=0.6，δ=0.1，ρ=0.2，r0=0.06，n=10，R=0.5，T=2.5。

圖1 和圖2 分別為母公司為子公司債券擔(dān)保所體現(xiàn)價(jià)值關(guān)于初始市場(chǎng)利率r0和隨機(jī)利率波動(dòng)率ρ的依賴關(guān)系?？芍?，擔(dān)保價(jià)值D*恒為正，且隨r0和母公司的自身違約因子a*的增大而減小，隨ρ的增大而增大。其蘊(yùn)含的金融意義為：（1）母公司擔(dān)保增強(qiáng)了子公司到期還本付息的能力，提升了子公司信用等級(jí)，由此提升了子公司債券的發(fā)行價(jià)值；同時(shí)母公司的信用等級(jí)越高，其為子公司債券擔(dān)保所體現(xiàn)的價(jià)值越大；（2）市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)越不景氣，市場(chǎng)環(huán)境波動(dòng)越大，母公司為子公司債券擔(dān)保所體現(xiàn)的價(jià)值越大。

圖1 擔(dān)保價(jià)值D*關(guān)于a*和r0 的變化關(guān)系Fig.1 The guarantee value D* with varying a* and r0

圖2 擔(dān)保價(jià)值D*關(guān)于a*和ρ 的變化關(guān)系Fig.2 The guarantee value D* with varying a* and ρ

圖3 和圖4 分別為母公司的擔(dān)保價(jià)值D*關(guān)于子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的依賴關(guān)系?？芍?，擔(dān)保價(jià)值D*隨子公司自身違約因子a的增大而增大，隨違約傳染因子b的增大而減小。其蘊(yùn)含的金融意義為：子公司的信用等級(jí)越低，母公司的信用增級(jí)作用越明顯，相應(yīng)地，母公司的擔(dān)保價(jià)值越大；但當(dāng)子公司違約對(duì)于母公司造成的違約傳染程度越嚴(yán)重時(shí)，母公司擔(dān)保對(duì)于增強(qiáng)子公司到期還款付息能力減弱，從而降低母公司的擔(dān)保價(jià)值。

圖3 擔(dān)保價(jià)值D*關(guān)于a*和a 的變化關(guān)系Fig.3 The guarantee value D* with varying a* and a

圖4 擔(dān)保價(jià)值D*關(guān)于a*和b 的變化關(guān)系Fig.4 The guarantee value D* with varying a* and b

圖5 和圖6 分別為母公司違約概率增大幅度P1關(guān)于子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的依賴關(guān)系?？芍?，相比于無擔(dān)保情形，擔(dān)保情形下母公司在到期日之前違約概率增大幅度恒為正，且其隨子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的增大而增大。其蘊(yùn)含的金融意義為：在債券到期日之前，若子公司發(fā)生違約，因母公司同時(shí)為n家子公司發(fā)行的債券提供擔(dān)保，承擔(dān)子公司違約所造成的債務(wù)損失，致使母公司的違約強(qiáng)度發(fā)生跳躍，可能由b增至nb，因此增大了母公司的違約概率，即P1恒為正，同時(shí)當(dāng)子公司自身違約因子a和違約傳染因子b增大時(shí)，均造成違約傳染程度加劇，P1更大，特別是當(dāng)b=0.15 時(shí)，P1最大值約為0.57。

圖5 違約概率增大幅度P1 關(guān)于a*和a 的變化關(guān)系Fig.5 The increasing range of default probability P1 with varying a* and a

圖6 違約概率增大幅度P1 關(guān)于a*和b 的變化關(guān)系Fig.6 The increasing range of default probability P1 with varying a* and b

圖7 和圖8 分別為母公司條件違約概率增大幅度P2關(guān)于子公司自身違約因子a和違約傳染因子b的依賴關(guān)系，進(jìn)一步表明，在n家子公司于到期日之前肯定違約條件下，母公司由于為子公司擔(dān)保而引發(fā)的違約傳染程度進(jìn)一步擴(kuò)大，P2更大，特別是當(dāng)b=0.15 時(shí)，P2最大值約為0.77。這也蘊(yùn)含了母公司擔(dān)保雖然可使子公司信用增級(jí)，但也可能引發(fā)巨大的違約傳染風(fēng)險(xiǎn)。

圖7 條件違約概率增大幅度P2 關(guān)于a*和a 的變化關(guān)系Fig.7 The increasing range of conditional default probability P2 with varying a* and a

圖8 條件違約概率增大幅度P2 關(guān)于a*和b 的變化關(guān)系Fig.8 The increasing range of conditional default probability P2 with varying a* and b

圖9 子公司債券價(jià)值增長(zhǎng)率L 關(guān)于n 的變化關(guān)系Fig.9 The increasing ratio of the subsidiary bond value L with varying n

圖10 母公司違約概率增長(zhǎng)率Q 關(guān)于n 的變化關(guān)系Fig.10 The increasing ratio of parent company default probability Q with varying n

4 結(jié)論

綜合采用隨機(jī)分析理論和約化方法，在隨機(jī)利率服從CIR 模型背景下，基于一家母公司和n家子公司的違約強(qiáng)度傳染模型，刻畫了母公司為n家子公司債券提供擔(dān)保所形成的違約相關(guān)性，建立了具有一般關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)母子公司擔(dān)保債券定價(jià)的數(shù)學(xué)模型，得到母子公司擔(dān)保債券解的閉合表達(dá)式。相比于無擔(dān)保情形，進(jìn)一步獲得了母公司為子公司擔(dān)保所體現(xiàn)的擔(dān)保價(jià)值和可能引發(fā)的母公司違約概率增大幅度的顯式表達(dá)式。圍繞擔(dān)保價(jià)值和母公司違約概率增大幅度2 個(gè)重要因素對(duì)隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)和母子公司擔(dān)保所隱含的違約傳染風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行金融意義分析。結(jié)果表明：（1）母公司為子公司擔(dān)保，增強(qiáng)了子公司到期還本付息的能力，提升了子公司的信用等級(jí)，從而提高了子公司發(fā)行債券的價(jià)值，且市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)越不景氣、市場(chǎng)環(huán)境震蕩越大，母公司為子公司擔(dān)保所體現(xiàn)的擔(dān)保價(jià)值越大；（2）母公司為子公司擔(dān)?？赡芤l(fā)違約傳染，導(dǎo)致母公司違約概率增大，特別在n家子公司于債券到期日之前肯定違約條件下，母公司條件違約概率增大幅度將是巨大的；（3）母公司應(yīng)在權(quán)衡擔(dān)保價(jià)值和違約概率2 個(gè)重要因素下決定擔(dān)保子公司個(gè)數(shù)，從而規(guī)避違約傳染風(fēng)險(xiǎn)造成的損失。