基于數(shù)學(xué)模型分析的小提琴諧音能量分布特性研究

楊 波，李圣辰，韓寶強(qiáng)

(1.中國音樂學(xué)院 音樂科技系，北京 100101； 2.北京郵電大學(xué) 信息光子學(xué)與光通信研究院，北京 100876)

小提琴琴弦振動(dòng)產(chǎn)生的聲音是復(fù)合音，其中包含整弦振動(dòng)和部分弦振動(dòng)的聲音，整弦振動(dòng)產(chǎn)生基音，部分振動(dòng)產(chǎn)生泛音，基音和泛音統(tǒng)稱為諧音.其中，基音為1號(hào)諧音，第一泛音為2號(hào)諧音……以此類推.諧音的分布情況，是一件樂器所發(fā)出聲音的質(zhì)量一個(gè)的重要參考方面[1].研究諧音，對(duì)于研究樂器的音色有十分重要的作用[2]，例如人耳可以根據(jù)諧音的不同來識(shí)別樂器或者是人聲.因此，研究樂器諧音的數(shù)量、能量以及分布，對(duì)于調(diào)查樂器的質(zhì)量、聲音的音色以及指導(dǎo)樂器的制造等方面，有積極的作用.

傳統(tǒng)分析樂器諧音的方法，多通過不同的硬件如頻譜分析儀，或者軟件如GMAS通用音樂分析系統(tǒng)來完成，其分析對(duì)象一般以一個(gè)音為單位.這樣的分析方法不利于大規(guī)模進(jìn)行研究，且受到樣本的是否具有典型性、樣本的穩(wěn)定性等因素的影響，其結(jié)果僅針對(duì)單個(gè)被研究樣本.本文研究對(duì)象為3個(gè)八度音階的音，從頻譜分析的結(jié)果數(shù)據(jù)中，提取諧音能量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.這種方法較傳統(tǒng)方法更具有樣本的概括性，得到的結(jié)果也更穩(wěn)定，減少了樣本是否具有典型性等偶然因素的影響.在已有的研究中，缺乏使用數(shù)學(xué)方法對(duì)小提琴諧音分布規(guī)律的研究工作，所以本文擬使用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)不同小提琴的諧音能量分布規(guī)律進(jìn)行比較研究.一般來說，物理模型的分析方法是基于相關(guān)抽象假設(shè)的，本文的方法是由實(shí)際情況出發(fā)，研究小提琴諧音在能量分布上的結(jié)果，進(jìn)行建模和對(duì)比，因此本文方法不受相關(guān)假設(shè)的影響.

本文使用自行錄制的6把小提琴音階音頻作為數(shù)據(jù)庫來源，樣本音頻包括g到g3的22個(gè)音(G大調(diào)).小提琴音域大致為g到c4，本實(shí)驗(yàn)所用樣本選擇的22個(gè)音，基本涵蓋了小提琴音域內(nèi)的音，因此樣本具有一定的代表性.實(shí)驗(yàn)過程首先使用常數(shù)Q變換(Constant-Q Transform, CQT)對(duì)每一個(gè)音進(jìn)行頻譜分析，通過尋找基音和諧音，提取有效的諧音及能量分布.借助高斯混合模型根據(jù)每把小提琴22個(gè)音的諧音及能量特性為每把小提琴的諧音進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后使用Kullback-Leibler(KL)散度對(duì)得到的6把小提琴的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行兩兩對(duì)比，研究數(shù)據(jù)間的差異性.最后借助假設(shè)驗(yàn)證完成所有琴差異的統(tǒng)計(jì)，研究在不同頻域范圍內(nèi)諧音分布規(guī)律的差異是否顯著，得出小提琴不同諧音間差異性的大小，即具有顯著差異的諧音和不具有顯著差異的諧音分別有哪些.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在調(diào)查的小提琴前12號(hào)諧音中，根據(jù)諧音能量分布規(guī)律間差異的顯著性，可以分為3個(gè)層次： 首先，5號(hào)、9號(hào)、11號(hào)諧音具有的差異顯著性最低；其次，3號(hào)、4號(hào)、7號(hào)、8號(hào)、10號(hào)諧音的差異顯著性中等；最后，2號(hào)、6號(hào)和12號(hào)諧音的差異顯著性最大.實(shí)驗(yàn)說明本文提出為小提琴諧音能量分布建模進(jìn)行研究是有效的.此結(jié)果可以被用來對(duì)比研究樂器音色、研究樂器質(zhì)量，或者樂器識(shí)別等方面.

1 研究現(xiàn)狀及相關(guān)研究

在對(duì)樂器進(jìn)行聲學(xué)研究方面，小提琴聲學(xué)一直是被熱切關(guān)注的焦點(diǎn).Von Helmholtz在《On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music》[1]中，對(duì)小提琴及弦樂器有一定的研究.這本書比較詳細(xì)地介紹了音樂聲學(xué)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于我們進(jìn)行音樂聲音音頻分析的研究具有指導(dǎo)的意義.同時(shí)，在該書中，作者介紹了諧音是樂器聲音品質(zhì)的一個(gè)重要方面，并提出諧音對(duì)于樂器音色有重要影響.

《The Science of Sound》[3]亦是一本關(guān)于樂器和樂器聲音研究的書，作者提出樂器的音色不僅受諧音的影響，還受到頻譜包絡(luò)和持續(xù)等因素的影響，但諧音是更為重要的方面.該書中，第三章節(jié)介紹了小提琴聲學(xué)，主要集中在弦振動(dòng)、琴體振動(dòng)以及空腔振動(dòng)等方面.該研究是從小提琴本身振動(dòng)出發(fā)的，本文則通過分析小提琴音頻的頻譜數(shù)據(jù)分布情況，并進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，以提供更加實(shí)際的分析結(jié)果.

研究樂器的諧音，首先需要進(jìn)行頻譜分析.CQT[4]被證明在頻譜分析和頻譜信息提取方面是非常有效的.文獻(xiàn)[4]提出使用中心頻率和帶寬的恒定比值(Q值)，以及按照幾何級(jí)數(shù)展開的頻率軸，來完成快速傅里葉變換.本文選擇此方法來提取每一個(gè)音的頻譜信息.

我們參考了一些對(duì)樂器音頻進(jìn)行分析的文獻(xiàn).文獻(xiàn)[5]介紹了幾種分析音頻的方法，比較籠統(tǒng).文獻(xiàn)[6]介紹了利用插值法進(jìn)行短時(shí)頻譜分析.本文提出的研究創(chuàng)新點(diǎn)在于利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，對(duì)音頻頻譜分析結(jié)果進(jìn)行研究，得到諧音的能量分布規(guī)律.同時(shí)頻譜分析不是本文的重點(diǎn)，且不作深入討論.另外在參考的文獻(xiàn)中找到一些研究樂器諧音不同側(cè)重點(diǎn)的文章.如文獻(xiàn)[7-8]研究諧音的共振峰；文獻(xiàn)[9]提出借助適應(yīng)基音的多框架集合分析方法，提取頻譜包絡(luò)；文獻(xiàn)[10]側(cè)重在捕捉頻譜包絡(luò)的變化.在參考的研究中，首先注意到，研究樂器的諧音是非常重要且有意義的，可以從多方面、多角度對(duì)樂器的諧音進(jìn)行調(diào)查研究.而本文的方法是利用統(tǒng)計(jì)方法來研究樂器諧音能量分布，這在已有的研究中是鮮有的，因此是本文的創(chuàng)新點(diǎn).在計(jì)算方面，我們主要通過MATLAB來完成，并參考了文獻(xiàn)[11]中使用MATLAB進(jìn)行聲音分析的方法.

2 數(shù)據(jù)庫

依據(jù)本文所提出的研究小提琴諧音分布模型的方法，需要自行錄制所需音頻.其原因主要有兩點(diǎn)： 第一，在已有的音頻數(shù)據(jù)庫中，小提琴音頻數(shù)量有限，不能夠滿足本實(shí)驗(yàn)的需求；第二，實(shí)驗(yàn)中需要盡量避免除小提琴以外的其他因素的影響，例如演奏者、錄音環(huán)境、錄音設(shè)備等.因此，本文所使用的小提琴音頻，是作者自行錄制的，并保證演奏員、錄音環(huán)境、設(shè)備等都是相同的.

用于實(shí)驗(yàn)的樣本音頻是來自6把中國制造、價(jià)格相近且相近生產(chǎn)時(shí)間的小提琴，這些琴從生產(chǎn)后一直在使用中.我們要求一位演奏員(余彥男，寧波交響樂團(tuán)小提琴演奏家)，在每一把小提琴上演奏3個(gè)八度的G大調(diào)音階，也就是每把琴22個(gè)音，將這些音作為得到這把琴最終用于比較的數(shù)據(jù)的樣本來源.每把琴演奏上行音階兩遍，每個(gè)音以每分鐘60拍的速度演奏4拍，音與音之間間隔2拍，也就是每個(gè)音長(zhǎng)度約為4s.待錄音結(jié)束，由演奏員親自試聽，從兩遍中選擇一遍作為最終樣本來源，試聽內(nèi)容主要參考音準(zhǔn)、強(qiáng)度和穩(wěn)定度.

錄音使用具有強(qiáng)指向性的SCHOPES MK4麥克風(fēng)，這個(gè)麥克風(fēng)具有較強(qiáng)的指向性，因此可以減少環(huán)境噪音對(duì)錄音的影響.錄音軟件使用Digidesign公司的ProTools，錄音完成后未對(duì)音頻做后期處理.錄音時(shí)令麥克風(fēng)指向小提琴f孔，距離為1m，并確保演奏員和麥克風(fēng)的位置固定，這樣可以更好地拾取直達(dá)聲，且盡量減少環(huán)境因素的影響.最終音頻的采樣率為96kHz，采樣精度為24bit.根據(jù)尼奎斯特采樣定理，本樣本采樣率所容納的信號(hào)中最大頻率分量頻率為48kHz，是超過人耳可聽閾的，符合本實(shí)驗(yàn)的要求.樣本的錄音地點(diǎn)是在中國音樂學(xué)院國音堂地下錄音棚.所有樣本音頻是在同一天同一地點(diǎn)且由同一位演奏員演奏的，盡可能移除了可能存在的變量，如演奏員身體狀況、錄音棚環(huán)境狀況等，保證錄音的統(tǒng)一性，以進(jìn)行比較研究.

3 實(shí)驗(yàn)過程

我們使用A(f,t)來代表頻譜分析的結(jié)果，意為某一時(shí)刻、某一頻率的振幅.我們知道，在某一頻率下，不同時(shí)刻的振幅是不穩(wěn)定的.所以需要計(jì)算振幅在某一頻率下，所有時(shí)刻的平均值，以此來去掉不穩(wěn)定性.計(jì)算公式如下：

(1)

式中：t0是窗長(zhǎng)，為1024；fs是采樣率，為96kHz.

圖1 數(shù)據(jù)裁剪示意圖Fig.1 Example of data frame

于是，我們得到了每個(gè)音在不同頻率段下的振幅值.本文著重考慮的是小提琴的諧音，因此，根據(jù)已知音的音高(基音頻率)，去除基音頻率以下的數(shù)據(jù).隨著音高的不斷升高，基音的頻率也在升高.這就導(dǎo)致經(jīng)過去掉基音以下部分后，剩下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度不一致，音高越高，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越短.為了保證每一個(gè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度一致，需要按照最高音的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度來裁剪其他音的數(shù)據(jù)，如圖1所示.

到此為止，我們得到了每一個(gè)經(jīng)過處理后的數(shù)據(jù)，每把琴有22個(gè)這樣的數(shù)據(jù).每一行數(shù)據(jù)的第一個(gè)元素為這個(gè)音的基音振幅.因?yàn)槊恳粋€(gè)音的基音頻率并不是一樣的，所以需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即令基音頻率為1，其余各諧音需計(jì)算其頻率與基音頻率的比值，即：

(2)

根據(jù)之前頻譜分析時(shí)將每一個(gè)八度分成n(n=120)個(gè)單位，所以我們可以通過式(3)來計(jì)算頻率比值：

(3)

基于同樣的原因，為了使振幅之間具有可比性，我們需要將振幅也作標(biāo)準(zhǔn)化處理.將基音的振幅設(shè)為1，其他頻率的振幅依次計(jì)算其與基音振幅的比值，即：

(4)

琴弦整弦振動(dòng)產(chǎn)生基音，2次諧音頻率是基音的2倍，3次諧音是基音的3倍……[2]因此，我們嘗試將每把琴的22個(gè)音的數(shù)據(jù)求平均值，能夠簡(jiǎn)化并得到這把琴每個(gè)諧音振幅與基音振幅的比值的平均水平，即：

(5)

式中：n為22，即22個(gè)音；i為每個(gè)音的編號(hào)；k為頻率比值點(diǎn)序號(hào).

圖2 尋找諧音位置示意圖Fig.2 Example of finding harmonics location

接下來，我們使用尋找峰值的辦法，找到每一個(gè)諧音的所在位置.諧音的定義要滿足：

(6)

其中，因?yàn)榉侵C音成分占數(shù)據(jù)中的大多數(shù)且其幅值比較小，所以我們將閾值設(shè)為該琴數(shù)據(jù)的平均值，從而找到諧音的所在位置.將1號(hào)小提琴的諧音示意圖展示如圖2所示.

從圖中我們可以清楚地找到本實(shí)驗(yàn)中小提琴的諧音，包括基音在內(nèi)共12個(gè)諧音.現(xiàn)將所有琴的除基音外的諧音位置數(shù)據(jù)整理如表1所示.

表1 諧音位置表

從表1中我們看到，小提琴諧音與基音頻率比值并不完全一致.在5號(hào)諧音、9號(hào)諧音和10號(hào)諧音處(表1中劃線的數(shù)據(jù))，諧音頻率比不統(tǒng)一，但差距不是非常的大.根據(jù)式(3)，可以計(jì)算各諧音與基音頻率的比值.1，5，6號(hào)琴的第5號(hào)諧音與基音的比值為5.0101，其余3把琴的比值為5.0397；3，4號(hào)琴的第9號(hào)諧音與基音的比值為9.0840，其余4把琴的比值為9.0317；1，2，5號(hào)琴的第10號(hào)諧音與基音的比值為10.0213，其余3把琴的比值為10.0794.猜想其原因可能與琴弦的質(zhì)量有關(guān)，誤差可忽略.

在實(shí)驗(yàn)中，除了之前發(fā)現(xiàn)的3個(gè)諧音頻率比有差異，其余諧音的頻率比是相同的.本文的目的是研究頻域內(nèi)諧音能量的分布規(guī)律，所以我們將每個(gè)琴的諧音數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，將不統(tǒng)一處的諧音位置進(jìn)行調(diào)換，使之與其他琴的諧音位置統(tǒng)一，再繼續(xù)進(jìn)行深入諧音分布規(guī)律的探究.我們使用高斯混合模型將振幅比值按照各頻率比值點(diǎn)進(jìn)行分布規(guī)律統(tǒng)計(jì)，即：

(7)

然后對(duì)每一把琴的各頻率比值點(diǎn)上的振幅比值分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，即：

(8)

式中i代表琴的編號(hào).

接下來，使用上一步得到的結(jié)果，使用KL散度對(duì)琴的數(shù)據(jù)進(jìn)行兩兩對(duì)比，即：

(9)

式中：i和j代表任意兩把琴；k代表各頻率比值點(diǎn).

此時(shí)得到的結(jié)果是6把琴在各頻率比值點(diǎn)(k值)處的兩兩比較的數(shù)據(jù).下一步，我們使用假設(shè)驗(yàn)證來調(diào)查其中各頻段上是否有顯著差異.作如下假設(shè)：

H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0.

(10)

假設(shè)H0(原假設(shè))認(rèn)為在此條件下，該處諧音無顯著差異；假設(shè)H1(備選假設(shè))認(rèn)為在此條件下，該處諧音具有顯著性差異.6把琴兩兩對(duì)比，我們得到15組數(shù)據(jù)，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，所以選擇t檢驗(yàn)，即：

(11)

表2 假設(shè)驗(yàn)證的情況

經(jīng)過以上9組假設(shè)驗(yàn)證，我們將具有明顯差異和不具有明顯差異的諧音進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3所示.

表3 假設(shè)驗(yàn)證結(jié)果統(tǒng)計(jì)

4 討論及未來工作

通過使用高斯混合模型為小提琴諧音能量建模，KL散度分析兩兩數(shù)據(jù)間的差距，以及假設(shè)驗(yàn)證不同諧音的差異性是否顯著，最終我們得到了關(guān)于諧音能量在分布規(guī)律上的不同(表3).

表3中我們可以看到，當(dāng)擬設(shè)均值增大以及顯著性水平減小時(shí)，具有明顯差異的諧音數(shù)量減少.在調(diào)查的小提琴前12號(hào)諧音中，依據(jù)諧音能量分布規(guī)律的差異顯著性，我們將其分為3個(gè)等級(jí)： 首先，5號(hào)、9號(hào)、11號(hào)諧音具有的差異顯著性最低，因?yàn)檫@3個(gè)諧音在預(yù)設(shè)值變化時(shí)，最先呈現(xiàn)出差異無顯著性；其次，6號(hào)諧音始終表現(xiàn)出十分顯著的差異，2號(hào)和12號(hào)諧音只有在假設(shè)驗(yàn)證第⑨組情況中才表現(xiàn)出顯著性降低，因此，本文認(rèn)為2號(hào)、6號(hào)和12號(hào)諧音的差異顯著性比較高；最后，其余3號(hào)、4號(hào)、7號(hào)、8號(hào)和10號(hào)諧音，差異的顯著性處于中等水平.

結(jié)果數(shù)據(jù)中，第5號(hào)諧音每把琴模型之間差異的顯著性很低，其原因可能是小提琴這件樂器本身造成的，即有可能第5號(hào)諧音的能量分布規(guī)律是小提琴的共性.而結(jié)果顯示第6號(hào)諧音各模型間差異非常顯著，本文認(rèn)為這個(gè)諧音是小提琴諧音中差別最大的一個(gè).關(guān)于第5號(hào)諧音能量分布差異性小、第6號(hào)諧音能量分布差異性大，以及其他諧音呈現(xiàn)出不同的差異顯著性，是作者下一步需要深入研究探討的.

5 結(jié) 語

本文提出了一種研究小提琴諧音分布的模型分析方法.將大量的小提琴演奏的單音作為分析樣本，提取頻譜信息，從頻域的角度為小提琴的諧音能量分布建立模型.從對(duì)比研究不同小提琴模型間的差異，來調(diào)查小提琴諧音分布規(guī)律的差異性，以及差異的顯著性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，此種方法對(duì)于調(diào)查諧音間的差異是有效的.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明： 在本文提出的研究方法下，小提琴諧音呈現(xiàn)出有區(qū)別的差異性分布規(guī)律，不同諧音差異顯著性不同.若研究樂器和樂器之間、音色和音色之間的共性特征，應(yīng)當(dāng)選擇差異顯著性較小的諧音重點(diǎn)分析研究；若進(jìn)行樂器差別、音色差別的研究，應(yīng)當(dāng)著重考慮差異顯著性較大的諧音.本方法比傳統(tǒng)方法研究單一樣本的實(shí)驗(yàn)結(jié)果更具有概括性.此外，本方法還可以用在諸多方面，如研究和評(píng)價(jià)樂器質(zhì)量、調(diào)查高質(zhì)量樂器與低質(zhì)量樂器之間的諧音差異；與樂器制作工藝相結(jié)合，利用諧音研究指導(dǎo)和促進(jìn)樂器制作；以及識(shí)別樂器、聲音等方面.