在數(shù)學(xué)建模中提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力

段景紅

（東?？h駝峰中心小學(xué)，江蘇 連云港 222313）

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三：抽象、推理和建模。所謂數(shù)學(xué)建模，是指學(xué)生對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程。數(shù)學(xué)知識，從根本上說，是一個個數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和建模應(yīng)用水平。在數(shù)學(xué)建模過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”，把握學(xué)生的數(shù)學(xué)建模起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模需求，組織學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用與創(chuàng)新。

一、激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣

數(shù)學(xué)模型離不開賴以建構(gòu)的現(xiàn)實(shí)原型。一般來說，數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)原型有學(xué)生的生活原型、經(jīng)驗(yàn)原型等，如哥尼斯堡的七橋問題就是一筆畫的生活原型。教師可以通過創(chuàng)設(shè)情境，喚醒、激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的積極性，讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在需要。蘊(yùn)含數(shù)學(xué)模型的原型情境能深化學(xué)生的感知。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對生活原型進(jìn)行簡化、提煉、抽象，進(jìn)而形成能反映生活原型的數(shù)學(xué)模型雛形。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)更能有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識。

現(xiàn)實(shí)原型能讓學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)建模的興趣、需求。如教學(xué)“一一間隔排列”這部分內(nèi)容時，筆者就為學(xué)生提供了豐富的現(xiàn)實(shí)原型，包括夾子手帕、木樁籬笆、兔子蘑菇等。通過感知，學(xué)生能直觀觀察到物體的間隔排列現(xiàn)象，并將其簡化、提煉、概括成這樣的規(guī)律，即“兩端物體相同，兩端物體的數(shù)量比中間物體的數(shù)量多一個”“兩端物體不同，兩種物體的數(shù)量相等”。在深入感知、觀察的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)學(xué)具，如小棒圓片、三角形圓片等，表征生活原型，操作生活原型，引導(dǎo)學(xué)生動手操作。通過“做中學(xué)”引導(dǎo)學(xué)生將外顯的動作、映象，內(nèi)化為自我的認(rèn)知表象，建立穩(wěn)固的表象支撐。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號來抽象、概括，進(jìn)而建構(gòu)“一一間隔排列”的數(shù)學(xué)模型。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的符號化歷程，完成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一次轉(zhuǎn)化，即將生活原型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。這個過程，也就是荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說的“橫向數(shù)學(xué)化”。從生活原型到數(shù)學(xué)模型，筆者充分拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)知、符號的概括水平。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們隨處可以看到生活原型的影子。從某種意義上說，小學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)生生活原型的投射。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從生活原型到數(shù)學(xué)模型的抽象概括，有助于學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的價值，這能讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)在生活中無處不在。只有不斷豐富生活原型，才能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型。

二、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過程

小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，需要教師采用適當(dāng)?shù)牟呗?，尤其是“縱向數(shù)學(xué)化”策略（在數(shù)學(xué)世界中的模塑），引導(dǎo)學(xué)生思考、探究問題的本質(zhì)。在這個過程中，教師要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模方法，展示學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程。瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，一切真知都應(yīng)由學(xué)生自己獲得，或者由學(xué)生自己重新發(fā)明。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生積極猜想，經(jīng)歷“猜測、驗(yàn)證”的探究過程。

比如，在教學(xué)“圖形的放大與縮小”時，筆者首先運(yùn)用多媒體課件向?qū)W生展示了班級某個學(xué)生的全家福，然后相繼出示了四張放大版的全家福照片，其中有三張放大版的全家福分別只放大了長和寬，以及長寬放大的倍數(shù)不同。這樣的感知活動，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣，調(diào)動了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想的積極性。有的學(xué)生認(rèn)為，圖形的放大或者縮小會改變圖形的形狀；有的學(xué)生則說，圖形的放大或縮小不需要用鼠標(biāo)拖住長邊或者短邊，而應(yīng)當(dāng)拖住長方形的四個頂點(diǎn)；還有的學(xué)生說，圖形放大或縮小的倍數(shù)應(yīng)當(dāng)是每一個部位放大縮小的倍數(shù)。在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫圖、測量，讓學(xué)生真正認(rèn)識到，在圖形放大或縮小的過程中，每條邊放大或縮小的倍數(shù)是相同的。在這個過程中，學(xué)生在大腦中逐步建構(gòu)起圖形放大或縮小的數(shù)學(xué)模型。這樣的教學(xué)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)字比例尺等知識，奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，教師要引導(dǎo)學(xué)生多思考、多分析、多探究。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)往往要經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象化、思想化的提煉。數(shù)學(xué)建模的過程就是將生活實(shí)踐中的原型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的過程。但是，數(shù)學(xué)模型不等于生活原型，它常常需要經(jīng)歷一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程。在這個過程中，人們往往舍棄了次要、非本質(zhì)的因素，而抓住了本質(zhì)、關(guān)鍵的要素。

三、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于生活實(shí)踐中。教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型賦予意義，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行積極應(yīng)用。意義賦予的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)建構(gòu)過程中的二次轉(zhuǎn)化，即對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋和應(yīng)用，從而彰顯數(shù)學(xué)模型的效能。一般來說，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程是一個從感性到理性，然后回歸生活的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程。通過這樣的一個過程，學(xué)生能真切感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的意義和價值。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，用數(shù)學(xué)模型來解釋、指導(dǎo)實(shí)際問題的解決，是讓學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)與外部世界關(guān)聯(lián)的重要路徑。數(shù)學(xué)模型的意義賦予，有助于培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力、敏銳的洞察力。比如，在教學(xué)“認(rèn)識方程”時，筆者通過學(xué)生生活中的原型——秋千、天平等，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)等式模型、方程模型之后，提出了一系列的實(shí)際問題。在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程模型解決實(shí)際問題的過程中，筆者重點(diǎn)讓學(xué)生從實(shí)際問題中提煉關(guān)鍵句，從關(guān)鍵句中提煉數(shù)量之間的相等關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生列方程。應(yīng)該說，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用是講究技巧的，如“怎樣有效地設(shè)定未知數(shù)”“怎樣有效地找出問題中的等量關(guān)系”。方程模型的應(yīng)用能逐步引導(dǎo)學(xué)生將未知量和已知量看成具有同等地位、同等作用的量，將未知量和已知量一起思考。教師通過方程模型的應(yīng)用，逐步引導(dǎo)學(xué)生從傳統(tǒng)的算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡。應(yīng)用方程模型既豐富了方程的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、關(guān)系內(nèi)涵，又凸顯了數(shù)學(xué)模型的抽象性和普適性。方程模型的應(yīng)用為學(xué)生以后的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)模型的解釋、應(yīng)用，是引導(dǎo)學(xué)生體會、感悟數(shù)學(xué)模型思想的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型來自于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)生活，又服務(wù)于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)生活。數(shù)學(xué)模型的價值集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型不是解決“某一個”數(shù)學(xué)問題，而是解決“某一類”數(shù)學(xué)問題。適度拓展、延伸數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，不僅能讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型的意義和價值，彰顯數(shù)學(xué)模型的魅力，還有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。