構(gòu)造一個(gè)具有擬凸性和擬齊次性的擬距離?

余安康，李寶德

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言

作為歐氏距離的推廣,擬距離可以應(yīng)用在更廣泛的情況下,例如在各向異性情形下的擬距離仍然具有很多良好的性質(zhì),具體內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)[1]和[2].對(duì)于歐氏空間中凸體所滿(mǎn)足的幾何性質(zhì)（定理1）的一種推廣,我們稱(chēng)用距離定義的球滿(mǎn)足與凸體類(lèi)似的幾何性質(zhì)為該擬距離的擬凸性.這種定義靈活方便,所建立的性質(zhì)也可在更廣泛的情況下使用.此外,擬齊次性是擬距離所定義的球的性質(zhì),該性質(zhì)是對(duì)歐氏空間中球的基本性質(zhì)的一種推廣,也具有一些良好的性質(zhì).例如,歐氏空間中的任意范數(shù)所構(gòu)成的擬距離滿(mǎn)足擬齊次性,并且滿(mǎn)足擬齊次性的擬距離也一定滿(mǎn)足雙倍條件（見(jiàn)公式(4)）.于是一個(gè)自然的問(wèn)題,在歐氏空間中,是否有一些非平凡的擬距離滿(mǎn)足擬凸性和擬齊次性? 本文的目的便是構(gòu)造一個(gè)滿(mǎn)足擬凸性和擬齊次性的非平凡的擬距離.受Stein[3]的啟發(fā),本文證明了由向量場(chǎng)X1:=?/?x1和X2:=所導(dǎo)出的映射滿(mǎn)足上述兩個(gè)性質(zhì)的擬距離.

為方便起見(jiàn),對(duì)全文做如下約定.符號(hào)D ?F 表示D ?CF,其中C 為一個(gè)正的常數(shù).如果D ?F 且F ?D,我們記為D ～F.

1 擬距離，擬凸性和擬齊次性

Rn中的橢球ξ 是指n 維歐氏空間的單位球Bn:={x ∈Rn:|x|<1} 在仿射變換下的像集,即

其中:Mξ是一個(gè)非奇異矩陣,cξ∈Rn是橢球ξ 的中心.對(duì)任意的橢球ξ 和λ ≥1,定義

定義1集合X 上的映射ρ:X×X →[0,∞) 是擬距離,如果對(duì)所有的x,y,z ∈X 滿(mǎn)足如下條件:

(i) ρ(x,y)=0 ?x=y;

(ii) 存在常數(shù)C>0,使得ρ(x,y)≤Cρ(y,x);

(iii) 存在常數(shù)κ ≥1,使得ρ(x,y)≤κ(ρ(x,z)+ρ(y,z)).

顯然,條件(ii) 成立當(dāng)且僅當(dāng)ρ(x,y)～ρ(y,x).另外,設(shè)=[ρ(x,y)+ρ(y,x)]/2,可進(jìn)一步得出

Rn中的凸體指的是一個(gè)內(nèi)部非空的緊凸集.John 已經(jīng)證明了對(duì)于Rn每一個(gè)凸體都包含一個(gè)體積最大的橢球[4].這個(gè)橢球按維數(shù)n 倍膨脹也可以包含原來(lái)的凸體,詳細(xì)內(nèi)容參閱文獻(xiàn)[5]和[6]中的定理3.13.

定理1K ?Rn是一個(gè)凸體.則存在一個(gè)唯一的體積最大的橢球ξ ?Rn使得ξ ?K 且K ?n·ξ.

受定理1 的啟示,我們可以推廣凸體的概念.

定義2設(shè)常數(shù)Q ≥1.稱(chēng)K′?Rn關(guān)于x ∈K′是Q-擬凸的,如果存在一個(gè)以cξ=x 為中心的橢球ξ ?Rn使得

由定理1可知,任意一個(gè)Rn中的凸體是Q-擬凸的,這里Q=n.值得注意的是我們?cè)谏厦娴亩x中沒(méi)有假設(shè)唯一性,這說(shuō)明對(duì)于任意給出的一個(gè)集合K′,可能存在兩個(gè)不同的橢球(即使是最大體積) 滿(mǎn)足(1).

定義3給一個(gè)擬距離ρ:Rn×Rn→[0,∞).稱(chēng)ρ 滿(mǎn)足擬凸性質(zhì),是指存在一個(gè)常數(shù)Q ≥1 使得對(duì)任意的x ∈Rn和r>0,球

定義4稱(chēng)Rn上的擬距離ρ 滿(mǎn)足擬齊次性質(zhì),是指存在兩個(gè)正的常數(shù)a=a(ρ) 和b=b(ρ) 滿(mǎn)足對(duì)任意的x ∈Rn,r>0 和λ ≥1,有

顯然,歐氏空間中的任意范數(shù)所構(gòu)成的擬距離滿(mǎn)足擬齊次性質(zhì),此時(shí),a=b=1.此外,擬齊次性質(zhì)也是一種比雙倍條件[7]更強(qiáng)的條件,由擬齊次性我們可以立即得出

2 一個(gè)滿(mǎn)足擬凸性質(zhì)和擬齊次性質(zhì)的擬距離的例子

構(gòu)造這個(gè)例子的動(dòng)機(jī)來(lái)自于Stein.設(shè)k 是一個(gè)非負(fù)整數(shù),并且對(duì)任意的x ∈R2和δ>0,定義

則球族{Bk(x,δ):x ∈R2,δ ∈(0,∞)} 是一個(gè)相關(guān)向量場(chǎng)X1:=?/?x1和X2:=自然導(dǎo)出的球族.這種球Bk(x,δ) 也可以被定義為

其中

定理2設(shè)k 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)并且定義ρk如(6) 所示.則ρk是一個(gè)滿(mǎn)足定義1的擬距離且滿(mǎn)足擬凸性質(zhì)和擬齊次性質(zhì).

證明若假設(shè)ρk是一個(gè)擬距離,則不難驗(yàn)證它是滿(mǎn)足擬凸性質(zhì)和擬齊次性質(zhì).事實(shí)上,由于所有的球都具有(5) 中的形式,則無(wú)論是|x1|≥δ 或|x1|<δ,這些球?qū)嶋H上是長(zhǎng)方體,一種特殊的凸體.由定理1可知,ρk滿(mǎn)足擬凸性質(zhì)并且Q=n.此外,對(duì)任意的λ ≥1,δ>0 和x ∈R2有

當(dāng)我們?nèi)《x4 中的a=1 和b=1 時(shí),也就證明了擬距離ρk滿(mǎn)足擬齊次性質(zhì).

接下來(lái),我們只需要證明ρk是一個(gè)擬距離.由ρk的定義,我們知道ρk(x,y)=0 ?x=y 是顯然成立的,下面我們分兩步來(lái)驗(yàn)證ρk滿(mǎn)足擬距離剩下的兩個(gè)條件.

第一步:證明ρk(x,y)～ρk(y,x).我們僅證明下面三種典型情形,其它情形是相似的.

情形(1).對(duì)任意x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2且x1,y1/=0,如果

則有

現(xiàn)在證明存在常數(shù)C>0 使得ρk(y,x)≤Cρk(x,y),即|y1|≤C|x1|.我們使用反證法.如若不然,對(duì)任意的正整數(shù)n ≥3,存在兩組向量和簡(jiǎn)記為(x1,x2) 和(y1,y2),滿(mǎn)足(7) 和|y1|>n|x1|.因此,有

以及

此外,由|y1|>n|x1| 和n ≥3 可得

由此式,|x1|≤|y1| 和(8) 得到

情形(2).對(duì)任意x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2且x1,y1/=0,如果

則有

接著證明存在一個(gè)常數(shù)C>0 使得ρk(y,x)≤Cρk(x,y).使用反證法,如若不然,對(duì)任意正整數(shù)n 滿(mǎn)足n1/k>2,存在兩組向量和簡(jiǎn)記為(x1,x2) 和(y1,y2),滿(mǎn)足(9) 和

進(jìn)一步由

知

由此式和(9) 可知

通過(guò)式(9) 和(10) 得出

因此有|y1|>并且

由此式和(11) 得出|x1|<|x1|,矛盾!

情形(3).對(duì)任意x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2且x1,y1/=0,如果

則有

同樣地,我們接下來(lái)證明存在一個(gè)常數(shù)C>0 使得ρk(x,y)≤Cρk(y,x).使用反證法,若對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)n 滿(mǎn)足n1/k>2,存在兩組向量和簡(jiǎn)記為(x1,x2) 和(y1,y2),滿(mǎn)足(12) 和

通過(guò)式(12) 和(13),有

因此,

由|x2?y2|1/(k+1)≤|x2?y2|/|y1|k知

再結(jié)合n|x2?y2|k/(k+1)<|x1|k,可得出

因此,由式(14),(15) 和n1/k>2 可得

即|y1|>|y1|,矛盾!

第二步:證明ρk 滿(mǎn)足擬三角不等式.我們只在下面兩個(gè)典型的情況下證明,其它的情況是相似的.

情形(1).對(duì)任意x,y,z ∈R2且x1,y1,z1/=0,如果滿(mǎn)足

則對(duì)于式(18),使用第一步中情形(1)的估計(jì),存在一個(gè)常數(shù)C ≥1 使得|y1|≤C|z1|.通過(guò)此式,(16),(17) 和(18)可得

擬三角不等式得證.

情形(2).對(duì)任意x,y,z ∈R2且x1,y1,z1/=0,如果滿(mǎn)足

則對(duì)于式(19),使用第一步中情形(3)的估計(jì),得到

通過(guò)此式,式(20),|z1|≤|x1| 和 式(21),存在一個(gè)常數(shù)C ≥1 使得

擬三角不等式得證,我們也完成了定理2 的證明.