主向力作用下壓電測力儀內(nèi)部側(cè)向力計算方法

張 軍，邵恒昆，李新陽，于 婧，任宗金

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024)

0 引言

基于石英晶體的壓電傳感器具有剛度高、固有頻率高、線性度好、遲滯小等優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于力測試領(lǐng)域[1]。由4個三向力壓電測力單元和上板、下板結(jié)合組成的四點(diǎn)支撐式壓電測力儀可以實(shí)現(xiàn)六維力的測量，在機(jī)械加工、推力矢量測量等領(lǐng)域被廣泛使用[2]。

壓電測力儀在設(shè)計階段需要對其中各個零件性能進(jìn)行評估，以保證測力儀在所受外載荷下性能的穩(wěn)定。對于壓電測力儀，通常將垂直于上板的力稱為主向力，平行于上板的力稱為側(cè)向力。Y. Tian[3]研究了壓電測力儀受主向力上板彈性變形對測力單元主向力輸出的影響并提出了對應(yīng)的標(biāo)定方法。陳修平[4]基于剛體假設(shè)研究了壓電測力儀在受矢量力時其各個測力單元各方向輸出與輸入力之間的關(guān)系。王康[5]研究了矢量力作用下的多傳感器近似規(guī)則圖形布置的矢量力測試系統(tǒng)的受力狀態(tài)，提出了一種解耦算法。上述研究主要集中在測力單元在測力儀受力時對應(yīng)方向的輸出，對壓電測力儀在某個方向受力時在其他方向產(chǎn)生的影響研究較少。

傳感器在受力后都會產(chǎn)生變形的趨勢，許多傳感器利用這種趨勢實(shí)現(xiàn)力的測量[6-7]，但有些趨勢會帶來附加作用，應(yīng)該予以避免和評估。壓電測力儀在受主向力作用時，由于上板彎曲變形，其各個測力單元會產(chǎn)生側(cè)向力輸出，這一特征關(guān)聯(lián)壓電測力儀的性能，過大的側(cè)向力輸出會影響測力儀的側(cè)向力量程，因此在測力儀設(shè)計階段應(yīng)該進(jìn)行相關(guān)計算。宋鵬[8]基于剛架結(jié)構(gòu)受力分析研究了主向力作用時測力儀中各個測力單元側(cè)向力輸出情況，但是將測力儀簡化為梁結(jié)構(gòu)簡化程度過大，且分析結(jié)果沒有通過實(shí)際驗(yàn)證。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，測力儀上板厚度越厚、測力單元之間距離越小，測力儀在受主向力加載時測力單元的側(cè)向力輸出越小，但很多測力儀設(shè)計都憑借經(jīng)驗(yàn)，沒有準(zhǔn)確的方法用于參考。

本文針對壓電測力儀在受主向力作用時其中各個測力單元側(cè)向力輸出求解方法進(jìn)行研究，從通用性角度出發(fā)，分析了側(cè)向力輸出產(chǎn)生的原因，建立了對應(yīng)的力學(xué)模型，對側(cè)向力進(jìn)行了求解，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比驗(yàn)證分析的準(zhǔn)確性。

1 測力單元側(cè)向力產(chǎn)生原因及影響

1.1 壓電測力儀結(jié)構(gòu)

壓電測力儀結(jié)構(gòu)及部分尺寸見圖1，其中壓電測力單元結(jié)構(gòu)與尺寸見圖2，其主要結(jié)構(gòu)為上板、壓電測力單元、下板三部分，通過螺栓(圖中未表示)進(jìn)行連接，測力單元布置方式為正方形，其中h為上板厚度，L為相鄰測力單元中心間的距離，a、b、c分別為測力單元外形尺寸；測力儀坐標(biāo)系定義及編號如圖1所示；測力單元可以實(shí)現(xiàn)對三向力的測量，其坐標(biāo)系定義與測力儀相同，其中Z向稱為主向，X、Y向稱為側(cè)向。4個壓電測力單元在測力儀受力后會產(chǎn)生3個方向上的輸出，測量時將4個測力單元各個方向上的輸出對應(yīng)相加即可獲得被測三向力的大小。

圖1 四點(diǎn)支撐壓電測力儀模型

圖2 壓電測力單元模型

1.2 壓電測力單元側(cè)向力產(chǎn)生原因

壓電測力儀在其上板中心點(diǎn)處受主向力F作用時，其上板會產(chǎn)生彎曲變形，測力單元與上板接觸方式為面接觸，上板會對測力單元產(chǎn)生力矩M作用，使測力單元出現(xiàn)向“外側(cè)”轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象，如圖3所示。

圖3 測力單元側(cè)向力產(chǎn)生原因

測力單元由于受到約束不會發(fā)生移動，其通過向測力儀外側(cè)的摩擦力Ff抵抗力矩，其摩擦力的大小即為測力單元側(cè)向力輸出，計算方法如式(1)所示：

Ff=M/c

(1)

式中：M為測力單元所受力矩；c為測力單元高度。

圖3為二維模型，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，每個測力單元會受到X、Y兩個方向的力矩，會產(chǎn)生X、Y兩個方向的輸出。

以彎矩為原因的力學(xué)模型相比其他力學(xué)模型，其在側(cè)向力產(chǎn)生原因上的解釋更為通用，不受模型尺寸限制，不會由于模型簡化帶來誤差。

1.3 測力單元側(cè)向力輸出對測力儀性能的影響

如圖4所示，測力儀在只受主向力作用FZ時，各個測力單元在X、Y方向上會產(chǎn)生輸出，但是圖中4個測力單元所受側(cè)向力FX1～FX4以及FY1～FY4之和為0，即在只有主向力作用的情況下，雖然各個測力單元會產(chǎn)生側(cè)向力輸出，但測力儀整體側(cè)向力輸出為0。

圖4 壓電測力儀受力下測力單元側(cè)向力輸出

雖然在主向力作用下，各個測力單元的側(cè)向力輸出測力并不會影響壓電測力儀的測量精度，但是會限制測力儀的量程。以X方向的側(cè)向力FX測量為例，假設(shè)每個測力單元X向力量程為Fmax，根據(jù)力分配原理[4]，則測力儀可測量的最大X向力為4Fmax，由于測力儀只受主向力時每個測力單元會產(chǎn)生側(cè)向力輸出，以1號測力單元為例，其在圖3所示X方向的量程減少至Fmax-FX1，測力儀量程減少至4(Fmax-FX1) ?？梢姡裘總€測力單元側(cè)向力輸出過大則會限制每個測力單元的側(cè)向力測量范圍，進(jìn)而影響測力儀的量程。因此有必要在測力儀設(shè)計前對測力單元側(cè)向力進(jìn)行計算來保證測力儀的性能。

2 測力單元側(cè)向力求解方法

2.1 壓電測力儀力學(xué)模型的建立

根據(jù)式(1)可知，壓電測力單元側(cè)向力的大小與作用在其上表面的力矩大小有關(guān)，求得力矩即可求出側(cè)向力大小。

壓電測力儀上板安裝在4個壓電測力單元上，測力單元上表面為正方形，中間具有一個不受力的圓形區(qū)域，具有雙向拉壓剛度且剛度相同[9]。因此將測力儀力學(xué)模型等效為面域內(nèi)多局部彈性支撐模型，如圖5所示。對于該力學(xué)模型，上板在受到力F的作用時，每個支撐區(qū)域會產(chǎn)生Z向的撓度，由于力F加載在上板中心位置處，每個支撐區(qū)域的撓度變化是不均勻的，這種不均勻的力會產(chǎn)生力矩作用，即為所要求解的M。

圖5 壓電測力儀上板力學(xué)模型

以X方向力矩為例，其計算方法如式(2)所示。

(2)

式中：A為一個彈性支撐區(qū)域；w(x,y)為上板受支撐處的撓度；k(x,y)為區(qū)域支撐剛度；y為支撐區(qū)域中的微元區(qū)域與每個區(qū)域中心點(diǎn)的距離。

2.2 力學(xué)模型求解方法

圖4所示力學(xué)模型，屬于彈性力學(xué)中板殼力學(xué)領(lǐng)域問題，該問題的求解較復(fù)雜[10-12]，截至目前，這類問題仍未得出解析解，對于這類問題，通過Abaqus等有限元分析軟件可以進(jìn)行求解且可獲得令人滿意的精度。但是有限元分析軟件的求解的結(jié)果為離散解，即其求解出的區(qū)域內(nèi)的撓度并非連續(xù)而是離散的點(diǎn)，此時式(2)的求解公式變?yōu)槭?3)：

(3)

式中：i=1，2，3，…，n為面域內(nèi)的點(diǎn)的序號；w(i)為彈簧變形量；k(i)為彈簧支撐剛度；y為每個支撐點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離。

有限元分析軟件大多采用網(wǎng)格計算，以Abaqus軟件為例，對于局部彈性支撐有2種處理方式：一是直接定義整個支撐區(qū)域的剛度，這種方法在前期設(shè)置邊界條件階段易于操作，但是在網(wǎng)格尺寸較小時，后期處理提取結(jié)果時需要提取大量網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，且如果網(wǎng)格是三節(jié)點(diǎn)單元等不規(guī)則單元時每個節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)也不易確定；另一種方法是通過施加彈簧支撐，將面域內(nèi)的支撐簡化為多個雙向彈簧支撐，這樣雖然與真實(shí)全面域支撐存在一定差異，但是所設(shè)置的彈簧支撐點(diǎn)可人為選取，利于后續(xù)處理，且當(dāng)設(shè)置的支撐點(diǎn)位置、數(shù)量合理時結(jié)果也比較準(zhǔn)確。因此本文主要采用后者進(jìn)行分析。

2.3 力學(xué)模型具體參數(shù)與邊界條件

根據(jù)測試需求，本文對一種壓電測力儀受主向力作用時的測力單元側(cè)向力輸出進(jìn)行分析，其各個尺寸參數(shù)數(shù)值如下：L=250 mm，h=25 mm，a=b=55 mm，c=60 mm，F(xiàn)=30 kN。本文所使用的壓電測力單元主向剛度經(jīng)測量為352 740 N/mm[13]。

基于上述尺寸，在Abaqus中所建立的多點(diǎn)支力學(xué)模型如圖6所示。

圖6 多點(diǎn)支壓電測力儀力學(xué)模型

模型主要由上板、下板和由測力單元等效的彈簧組成，其中上板下板為通過平面建模的板模型，上板、下板上所畫線條為定位支點(diǎn)用，無實(shí)際意義。根據(jù)所使用的壓電測力單元實(shí)際尺寸與結(jié)構(gòu)，本模型將每個測力單元上表面對上板的支撐等效為8根彈簧對上板的支撐，8根彈簧的布置位置詳細(xì)尺寸如圖7所示。

圖7 8根彈簧布置位置

8根彈簧連接方式為并聯(lián)，因此每根彈簧剛度為所測量的壓電測力單元剛度的1/8，即44 092.5 N/mm。

模型中，上板厚度設(shè)置為25 mm，上板材料彈性模量設(shè)置為200 GPa，泊松比設(shè)置為0.3；模型網(wǎng)格尺寸設(shè)置為0.1 mm；由于本次所使用的板厚度與長寬的比值小于0.1，屬于薄板，故網(wǎng)格類型選擇S4R殼單元；下板約束六自由度，在上板中心垂直于上板方向施加30 kN載荷。

2.4 力學(xué)模型求解結(jié)果

使用普通計算機(jī)對整個模型求解，求解所需時間小于1 min，求解結(jié)果如圖8所示。

圖8 測力儀力學(xué)模型求解結(jié)果

提取每個彈簧的伸縮量計算其對上板的支反力，根據(jù)支反力計算力矩，由于整個模型結(jié)構(gòu)對稱，故只需提取一個測力單元位置處的8根彈簧結(jié)果即可，每個位置彈簧變形量及其對板的支反力如表1所示。

表1 菱形布置正交標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果

彈簧變形為正表示受拉，變形為負(fù)表示受壓，根據(jù)式(3)計算，8根彈簧在X和Y方向所產(chǎn)生的力矩M均為12 599 N·mm，根據(jù)式(1)可知，每個測力單元在受主向30 kN力時所產(chǎn)生的X、Y側(cè)向力輸出均為2 283.6 N。

3 壓電測力儀加載實(shí)驗(yàn)

使用2.3節(jié)所述參數(shù)的壓電測力儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測試系統(tǒng)組成、壓電測力儀坐標(biāo)系定義、測力單元位置編號如圖9所示。

圖9 壓電測力儀

測試系統(tǒng)由壓電測力儀、液壓加載裝置(液壓缸與標(biāo)準(zhǔn)力傳感器)、電荷放大器(YE5850B)、數(shù)據(jù)采集卡(DT9804)和計算機(jī)處理軟件(DEwesoft6)構(gòu)成，如圖10所示。

圖10 壓電測試系統(tǒng)組成

由于每個壓電測力單元具有三向力輸出，故使用的壓電測力儀共有12路輸出，但是其中8個側(cè)向力輸出為實(shí)驗(yàn)主要研究的輸出。使用加載裝置對測力儀在主向施加30 kN的力，記錄每次加載到30 kN時每個測力單元在X、Y方向上的輸出，重復(fù)3次實(shí)驗(yàn)，并對3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果取平均值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2和表3所示。

表2 各測力單元X向數(shù)據(jù) N

表3 各測力單元Y向數(shù)據(jù) N

表2中，1號至4號測力單元X向輸出分別為2 213.2 N，-2 541.1 N，-2 114.7 N，2 388.4 N，其和為-54.2 N，其絕對值之和的平均值為2 314.3 N。

表3中，1號至4號測力單元Y向輸出分別為1 726.4 N，2 037.5 N，-1 585.4 N，-1 949.5 N，其和為229.0 N，其絕對值之和的平均值為1 824.7 N。

測力儀受主向力時，理論上4個測力單元的側(cè)向力輸出和應(yīng)等于0，但從表中看出，側(cè)向力合力接近于0但不嚴(yán)格等于0，稱為測力儀的相間干擾[4]，測力儀的相間干擾可能由測力儀自身裝配誤差、測力儀安裝誤差等原因?qū)е拢嚅g干擾過大會影響測力儀測量的準(zhǔn)確性，對于本次實(shí)驗(yàn)所使用的測力儀，其主向力施加30 kN時最大側(cè)向力輸出僅為229 N，說明測力儀相間干擾很小，具有良好的性能。

通過對表2和表3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可以看出，測力儀性能穩(wěn)定，3次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間差異很小，各個測力單元X向輸出普遍大于Y向輸出，理論上每個測力單元的側(cè)向力輸出都應(yīng)該相同，分析差異產(chǎn)生原因可能是實(shí)際加工、安裝過程中帶來的誤差以及壓電測力單元自身差異所導(dǎo)致的。

實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計算數(shù)據(jù)總體上相差較小，在X方向上，理論計算值與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的相對誤差為1.3%，誤差小，較準(zhǔn)確；在Y方向上，理論計算值與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的相對誤差為25.1%，從預(yù)測的可靠性和安全性角度出發(fā)，預(yù)測力值應(yīng)該與實(shí)際實(shí)驗(yàn)中較大的輸出值比較，同時考慮測力儀本身存在差異，可以證明本文所提出的計算方法的有效性。

本文在計算時，將測力單元對上板的面支撐等效成8個相同彈簧支撐，獲得了與實(shí)際較接近的計算結(jié)果。在對不同參數(shù)的測力儀進(jìn)行分析時，也可以根據(jù)實(shí)際情況對彈簧數(shù)量、布置方式以及每根彈簧彈性模量具體數(shù)值等做進(jìn)一步調(diào)整。

4 結(jié)論

本文針對壓電測力儀受主向力時每個測力單元的側(cè)向力輸出預(yù)測問題進(jìn)行研究，給出了一種較通用的測力單元側(cè)向力產(chǎn)生原因解釋，通過Abaqus軟件對該模型受主向力時對測力單元所施加的力矩進(jìn)行求解，同時結(jié)合實(shí)際測力儀加載實(shí)驗(yàn)對該計算方法有效性進(jìn)行驗(yàn)證，證明了該方法的有效性。

本方法所用的模型精度較高，且即使在普通計算機(jī)上運(yùn)行計算速度也較快，整個模型從建立方法到處理過程比較簡單，若結(jié)合Abaqus二次開發(fā)功能可進(jìn)一步提高效率，相比其他方法具有很大優(yōu)勢。

壓電測力儀受主向力時壓電測力單元的側(cè)向力輸出是其固有性質(zhì)，在面向不同測試需求設(shè)計壓電測力儀時，需要根據(jù)實(shí)際工況選擇合適的測力儀參數(shù)，一般情況下，可以通過增加板厚和減小跨距來達(dá)到降低側(cè)向力輸出；在測力單元方面，可以對測力單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)以提高其側(cè)向力量程，或者根據(jù)實(shí)際需要選擇更大量程的測力單元。