思之有序：促進學生思維靈性“生長”

張慧

[摘 要]有序思維是理性思維的基礎(chǔ)和前提，培養(yǎng)學生的有序思維是數(shù)學教學的重要任務之一。基于教學實踐，通過設(shè)計核心問題，激活有序思維;借力數(shù)學操作，促進有序思維;展開數(shù)學探究，助推有序思維;設(shè)計針對練習，發(fā)展有序思維，提出培養(yǎng)學生有序思維的路徑。

[關(guān)鍵詞]有序思維;理性思維;數(shù)學探究

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0083-02

數(shù)學是思維的體操。鄭毓信教授在“走進數(shù)學思維”的報告里提到，幫助學生學會數(shù)學地思維，乃至“通過數(shù)學學會思維”。數(shù)學思維是數(shù)學核心素養(yǎng)重要的組成部分，它指的是學生在思考和解決問題時能夠遵循一定的邏輯順序，按照特定的步驟有條不紊地展開探索。有序思維是理性思維的基礎(chǔ)和前提。培養(yǎng)學生的有序思維，對于提升學生數(shù)學思考力，發(fā)展學生核心素養(yǎng)具有重要意義。受年齡特點和認知水平的限制，在很多情況下，小學生的思路往往是混亂的、無序的，雖然他們喜歡動手操作，卻很少去探究操作背后的方法。那么如何培養(yǎng)小學生的有序思維？

一、設(shè)計核心問題，激活有序思維

亞里士多德曾言：“思維從對問題的驚訝開始?！卑l(fā)展學生的數(shù)學思維，離不開問題的引領(lǐng)。核心問題是課堂的中心問題，其往往能直擊知識的本質(zhì)，切中學習的重點和難點，扣準學生思維的困惑，具有提綱挈領(lǐng)的作用。對此，在課堂中，教師可結(jié)合教學內(nèi)容和學生認知水平，設(shè)計具有針對性以及思考性的核心問題，引導學生進行有序化的數(shù)學思考，由此激活學生的有序思維。

例如，教學“圓的面積”時，學生已經(jīng)學習并探究了平行四邊形、三角形和梯形面積公式的推導過程，這為學生進一步學習圓的面積提供了知識基礎(chǔ)和思維經(jīng)驗?；谶@樣的認識，教師設(shè)計核心問題。

師：根據(jù)以往的學習經(jīng)驗，你認為應該如何推導圓的面積公式？

（學生紛紛提出運用轉(zhuǎn)化的策略解決問題，教師趁勢將核心問題進行分解）

師：為什么要進行轉(zhuǎn)化？

生：因為在推導平行四邊形、三角形和梯形面積公式的時候都運用了轉(zhuǎn)化的思想。

師：將圓轉(zhuǎn)化成什么圖形？如何進行轉(zhuǎn)化？

（學生通過操作和探究得出結(jié)論：采用“先等分，再拼接”的方法把圓轉(zhuǎn)化成長方形，由此實現(xiàn)把未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形）

師：如何根據(jù)圓和長方形之間的關(guān)系，推導出圓的面積公式？

（學生結(jié)合平行四邊形、三角形等平面圖形面積公式的推導經(jīng)驗，得出：把圓轉(zhuǎn)化成長方形，形狀變了，面積沒變。長方形的長等于圓的周長的一半，長方形的寬等于圓的半徑。圓的面積=長方形的面積=長×寬=2πr÷2×r=πr2）

教學中，教師圍繞圓的面積的探究過程設(shè)計了具有較強引領(lǐng)的核心問題，并在此基礎(chǔ)上把核心問題分解為層次分明、邏輯清楚的三個分問題：“為什么要進行轉(zhuǎn)化？”“如何進行轉(zhuǎn)化？”“根據(jù)什么關(guān)系推導出圓的面積公式？”正是這種有序化的數(shù)學問題激活了學生的有序化思考，發(fā)展了學生思維的有序性。

二、借力數(shù)學操作，促進有序思維

史寧中教授認為，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能依靠親身經(jīng)歷。智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用經(jīng)驗，對此，學生要在實際操作中磨煉。課程標準明確指出，獨立思考、動手操作以及合作交流是學生學習數(shù)學的主要方式。小學生以直觀形象思維為主，他們活潑好動，動手操作高度契合了小學生的生理和心理特征，是學生學習知識、形成能力的有效途徑。兒童的思維往往起始于動作，但是邏輯次序的操作基本是低效的。教師要高度關(guān)注學生操作的動態(tài)過程，從學生操作順序和操作行為的規(guī)范性、流暢性等方面給予必要的指導和幫助，尤其重視操作行為的有序性，并以此作為著力點將操作行為進行細分，幫助學生有計劃、有步驟地進行數(shù)學操作，使操作行為符合學生的認知規(guī)律，從而借力外顯的操作行為發(fā)展內(nèi)隱的數(shù)學思維。

例如，有這樣一道題：把5顆黃豆擺在紅色和白色兩個盤子里，一共有幾種擺法？學生拿起教具親自擺一擺，試一試。當學生操作完畢以后，教師引導學生說一說自己的擺法。有學生提出了這樣的擺法：“紅盤1，白盤4;紅盤2，白盤3;紅盤3，白盤2;紅盤4，白盤1。一共有4種擺法?！庇袑W生提出了質(zhì)疑，認為漏掉了兩種情況，應該是：“紅盤0，白盤5;紅盤1，白盤4;紅盤2，白盤3;紅盤3，白盤2;紅盤4，白盤1;紅盤5，白盤0?！币源藶槠鯔C，教師引導學生對這兩種擺法予以分析，學生通過比較發(fā)現(xiàn)，第二種擺法比較有次序，先擺紅盤，再擺白盤，紅盤從0依次加1，直至5，白盤從5依次減1，直至0，這樣擺放既不容易遺漏，也不重復。在此基礎(chǔ)上，有學生又提出了這樣的擺法：“紅盤0，白盤5;白盤0，紅盤5;紅盤1，白盤4;白盤1，紅盤4;紅盤2，白盤3;白盤2，紅盤3?！蓖ㄟ^分析得出，這種擺法也比較有次序，同樣不易遺漏和重復。

教學中，教師引導學生通過分一分、擺一擺的數(shù)學活動，使學生通過對比和分析，感悟有序思考的必要性。按照從小到大或者從大到小有序地分、有序地擺，凸顯了操作過程中的有序性和邏輯性，也體現(xiàn)了學生思維的有序性。

三、展開數(shù)學探究，助推有序思維

蘇霍姆林斯基曾言，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者，而在兒童的內(nèi)心世界中，這種需要尤為強烈。學生是天生的探究者，學習本來就是一個主動探究的過程，教師可創(chuàng)設(shè)探究情境，拓展探究空間，推行探究性教學，使學生在探究中獲得真知，發(fā)展數(shù)學思維。然而，需要注意的是，學生的探究過程應該是一個有序的過程，學生對于先做什么、后做什么應該有明確的規(guī)劃，只有這樣的探究，才能真正起到發(fā)展學生有序思維的作用。在探究過程中，教師應讓學生的思維經(jīng)歷一個“爬坡”的過程，由最初的困惑，通過點撥逐漸走向頓悟， 最后品味成功。

例如，教學“長方形的面積”時，教師引導學生采用“平鋪法”推導長方形面積公式。首先，教師展示一個長為4厘米，寬為3厘米的長方形，指導學生用面積為1平方厘米的小正方形鋪滿這個長方形，學生發(fā)現(xiàn)每行可以鋪4個，一共鋪了3行，即一共鋪的小正方形個數(shù)為“每行的個數(shù)×行數(shù)”，即4×3=12（個）小正方形，所以長方形的面積是4×3=12（平方厘米）。然后，教師引導學生建立“長與每行的個數(shù)”和“寬與行數(shù)”之間的對應關(guān)系，學生最終得出長方形的面積=長×寬。在此基礎(chǔ)上，有的學生提出，只鋪一行一列就可以知道小正方形的個數(shù)是“每行的個數(shù)×行數(shù)”，即長方形的面積是4×3=12（平方厘米），用“半鋪法”推導出長方形的面積公式。

教學中，學生對長方形面積公式的探究活動應是嚴謹、有序的，其基本上可分為以下幾個環(huán)節(jié)：先平鋪，再根據(jù)“每行的個數(shù)”和“行數(shù)”確定小正方形的數(shù)量，然后建立起“長與每行的個數(shù)”和“寬與行數(shù)”之間的對應關(guān)系，最后推導出長方形的面積公式。有序探究必然催生有序思維，學生在有序探究中不但了解了長方形面積公式中長、寬各部分的由來，還培養(yǎng)了學生有序思考的能力。

四、設(shè)計針對練習，發(fā)展有序思維

數(shù)學習題好比磨刀石，使學生的思維越磨越鋒利。數(shù)學習題是課堂教學的延伸，也是助力學生鞏固知識、形成技能不可或缺的必要環(huán)節(jié)。在教學中，教師設(shè)計有針對性的練習，凸顯練習的次序性和層次性，能夠最大限度地發(fā)揮習題的功效，鞏固課堂教學效果，培養(yǎng)有序思維，使學生能在解決問題的過程中學會有序地思考，有序地表達，最終達到在數(shù)學練習中發(fā)展有序思維的目的。

師：用2、5、8三個數(shù)字可以組成哪幾個不同的三位數(shù)？

生1：可以組成258、825、528……

生2：太亂了，很容易重復，也容易漏掉。

師：怎樣才能讓答案更有序呢？（學生討論）

生3：我是這樣想的，先確定百位上的數(shù)，然后再確定十位上的數(shù)，最后確定個位上的數(shù)。比如，百位上是2，那么十位上就有可能是5或8，如果十位上是5，那么個位上就是8;反之，如果十位上是8，那么個位上就是5，即當百位上的數(shù)是2時，可以組成258和285兩個數(shù)。同理，當百位上的數(shù)是5時，可以組成528和582兩個數(shù);當百位上的數(shù)是8時，可以組成825和852兩個數(shù)。因此一共可以組成6個數(shù)：258、285、528、582、825、852。

教學中，學生從一開始的無序回答轉(zhuǎn)為有序思考，在從“無序”到“有序”的轉(zhuǎn)化中，學生體驗到了有序思維的價值，這對于發(fā)展學生的有序思維，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)起到了重要的推動作用。

郭思樂教授指出，思維是數(shù)學教學的潛在目的，這首先是由于數(shù)學的高度抽象、遵從邏輯規(guī)則和不斷創(chuàng)造新的精神產(chǎn)品的特征，數(shù)學學習獲得的邏輯思維能力對人的發(fā)展影響最大。有序思維是數(shù)學思維品質(zhì)的重要組成部分，然而，培養(yǎng)學生的有序思維并非朝夕之功，需要教師在教學中長期不斷地堅持。教師要敏銳地挖掘激活學生有序思維的素材，做到數(shù)學知識的序、學生思維的序和學習活動的序三者的有機統(tǒng)一，促使學生的思維從無序走向有序。

（責編 覃小慧）