相似三角形面積比的兩個應(yīng)用

于宗英

相似三角形在中考中占有重要的地位，其性質(zhì)與判定在解題中有著廣泛的應(yīng)用.其中，“相似三角形的面積比等于相似比的平方”在計算圖形的面積、求線段的大小等問題中往往有事半功倍的效果，下面舉例介紹.

一、求反比例函數(shù)的系數(shù)k

例1（2020·貴州·遵義）如圖1，△ABO的頂點A在函數(shù)[y=kx]（[x>0]）的圖象上，∠ABO = 90°，過AO邊的三等分點M，N分別作x軸的平行線交AB于點P，Q. 若四邊形MNQP的面積為3，則k等于（ ）.

A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

分析：易證[△ANQ∽△AMP∽△AOB]，由相似三角形的面積比等于相似比的平方可求出[△ANQ]的面積，進而可求出[△AOB]的面積，則[k]的值也可求出.

解：∵[NQ][?][MP][?][OB]，∴△[ANQ∽△AMP∽△AOB]，

∵[M]，[N]是[OA]的三等分點，[∴][ANAM=12]，[ANAO=13]，[∴][S△ANQS△AMP=14]，

∵四邊形[MNQP]的面積為3，[∴][S△ANQ3+S△ANQ=14]，∴[S△ANQ=1]，

[∵][1S△AOB=ANAO2=19]，[∴S△AOB=9]，[∴k=2S△AOB=18]，

故選D.

點評：根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”，求出S△ANQ = 1是解題的關(guān)鍵.

二、證明線段相等

例2 如圖2，在[△ABC]中，點[D]為邊[BC]上一點，且[AD=AB]，[AE⊥BC]，垂足為點[E]. 過點[D]作[DF][?][AB]，交邊[AC]于點[F]，連接[EF]，[EF2=12BD·EC].

（1）求證：[△EDF∽△EFC];

（2）若[S△EDFS△ADC=14]，求證：[AB=BD].

分析：（1）利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明;

（2）由[△EDF∽△ADC]，推出[S△EDFS△ADC=EDAD2=14]，推出[ED=12AD]，由此即可解決問題.

解：（1）證明：∵[AB=AD]，[AE⊥BC]，∴[BE=ED=12DB]，

∵[EF2=12BD·EC]，∴[EF2=ED·EC]，即[EFEC=EDEF]，

又∵[∠FED=∠CEF]，∴[△EDF∽△EFC].

（2）[∵AB=AD]，∴[∠B=∠ADB]，

又[∵DF][?][AB]，∴[∠FDC=∠B]，

∴[∠ADB=∠FDC]，

∴[∠ADB+∠ADF=∠FDC+∠ADF]，即[∠EDF=∠ADC]，

∵[△EDF∽△EFC]，[∴∠EFD=∠C]，

∴[△EDF∽△ADC]，[∴][S△EDFS△ADC=EDAD2=14]，

[∴][EDAD=12]，即[ED=12AD]，

又∵[ED=BE=12BD]，[∴BD=AD]，

[∴][AB=BD].

點評：解決第（2）問的關(guān)鍵是由相似三角形的面積比等于相似比的平方，得到ED = [12]AD，進而通過等量代換得到AB = BD.

能力提升

如圖3①，[△A1B1C1]中，[P1]，[Q1]分別是[A1B1]，[A1C1]上的點，[P1Q1?B1C1]，且平分△[A1B1C1]的面積;如圖3②，[P1Q1][?][P2Q2][?][B2C2]，且將△[A2B2C2]的面積三等分;如圖3③，[P1Q1][?][P2Q2][?][P3Q3][?][B3C3]，且將△[A3B3C3]的面積四等分，[…][…]如此繼續(xù)下去，在△[A9B9C9]中，[A9P1B9P9]的值為（ ）.

[A1][P1][Q1][C1][B1] [P1][A2][P2][B2][Q1][Q2][C2] [P1][Q1][P2][Q2][P3][Q3][B3][C3][A3]? ? ? […]

① ? ? ? ? ? ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③

圖3

A. [3+22] B. [3-22] C. [10+3] D. [10-3]

答案：C