黃維邵,吳金波
(華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院,湖北 武漢 430074)
大尺寸精密測量技術(shù)已在船舶、航空和高鐵等眾多工業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1]。大型圓柱殼體尺寸龐大、結(jié)構(gòu)外形復(fù)雜,在其裝配過程中需要通過大尺寸測量系統(tǒng)對殼體任意位置的內(nèi)徑尺寸、板厚、焊縫間隙和板壁差值等數(shù)據(jù)進(jìn)行在線測量,以保證裝配的精度。當(dāng)前,龍門式測量機(jī)和全站儀都是常用于大型殼體測量的設(shè)備[2]。而對于本文研究的裝配平臺,需實(shí)時調(diào)整圓柱殼體形狀,龍門式測量機(jī)由于其自身尺寸結(jié)構(gòu)以及平臺裝配環(huán)境限制,無法滿足在裝配過程中對殼體尺寸在線測量的需求;而全站儀僅能實(shí)現(xiàn)單點(diǎn)測量,無法滿足裝配過程中對殼體焊縫間隙進(jìn)行掃描測量的需求,效率較低。
為滿足大型圓柱殼體裝配平臺在裝配過程中對殼體尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行在線測量的需求,提高測量的效率和精度,本文設(shè)計(jì)了一種適用于該平臺的測量系統(tǒng)。
同時,為了獲取準(zhǔn)確的殼體內(nèi)徑、板厚、焊縫間隙和板壁差值等尺寸數(shù)據(jù),測量系統(tǒng)需滿足以下要求:首先,測量機(jī)構(gòu)末端傳感器的激光發(fā)射點(diǎn)在其基坐標(biāo)系下的空間位置精度需滿足測量需求;其次,測量前需獲得大型圓柱殼體實(shí)際圓心和測量系統(tǒng)基坐標(biāo)系原點(diǎn)間的圓心位置誤差。針對第1個要求,本文對測量機(jī)構(gòu)展開了誤差標(biāo)定工作:
a.由于硬件加工和安裝誤差,測量機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中的幾何參數(shù)往往和理論值有偏差,稱為幾何參數(shù)誤差。
b.為適應(yīng)裝配平臺的測量需求,設(shè)計(jì)的測量機(jī)構(gòu)的尺寸較大,故機(jī)械臂在沿立柱軸向平移以及自身伸縮運(yùn)動過程中,因自重引起的機(jī)構(gòu)柔性變形誤差也不可忽略。
依據(jù)上述2點(diǎn),本文建立了測量機(jī)構(gòu)的誤差標(biāo)定模型,通過激光跟蹤儀測量出機(jī)械臂末端的實(shí)際位置,辨識和計(jì)算出誤差參數(shù),并對誤差進(jìn)行補(bǔ)償,最終提高了測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的定位精度。
隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展,工業(yè)生產(chǎn)制造開始向自動化智能化的方向發(fā)展[3]。圓柱類大型殼體的裝配一直是工業(yè)生產(chǎn)制造過程的難點(diǎn),其對接質(zhì)量和效率直接影響到整體生產(chǎn)成本和周期[4]。因此,對圓柱殼體的裝配進(jìn)行研究,將信息化和自動化制造模式引入其生產(chǎn)制造中,提高制造的精度和效率,已成為行業(yè)的發(fā)展趨勢。
本文所研究的大型圓柱殼體裝配平臺如圖1所示。通過自動化調(diào)整系統(tǒng)在殼體拼裝階段根據(jù)測量機(jī)構(gòu)反饋的數(shù)據(jù)可實(shí)現(xiàn)殼體尺寸的周向調(diào)整、頂推調(diào)整和徑向調(diào)整,實(shí)現(xiàn)對殼體圓度、垂直度以及殼體間對接縱縫的調(diào)節(jié)。
圖1 裝配平臺 圖2 測量系統(tǒng)
測量系統(tǒng)工作時,通過圖2中的升降電機(jī)驅(qū)動絲桿,控制機(jī)械臂的升降運(yùn)動,完成殼體高度方向上的掃描測量。圖3中旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動齒輪組控制機(jī)械臂在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),完成殼體的環(huán)向掃描。測量機(jī)構(gòu)的伸縮機(jī)械臂由固定的基礎(chǔ)導(dǎo)軌和可移動的一級導(dǎo)軌、二級導(dǎo)軌組成,如圖4所示。機(jī)械臂伸出時,電機(jī)驅(qū)動絲桿推動一級導(dǎo)軌向外滑動,使1號滑輪和1號同步帶動作,拉動二級導(dǎo)軌同步伸出;反之,機(jī)械臂縮回時,絲桿帶動一級導(dǎo)軌縮回,2號滑輪和2號同步帶動作,拉動二級導(dǎo)軌同步縮回。因此,測量機(jī)構(gòu)可被認(rèn)為是具有旋轉(zhuǎn)、升降和伸縮功能的三自由度機(jī)器人。測量機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度通過安裝在大齒輪上的編碼器測得;升降高度由伺服電機(jī)編碼器得到;而機(jī)械臂的伸長量則通過安裝在導(dǎo)軌上的磁柵尺測得。測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的位置為點(diǎn)激光位移傳感器激光發(fā)射點(diǎn)的位置。
圖3 旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)
圖4 伸縮機(jī)械臂側(cè)視圖
機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)誤差標(biāo)定分為建模、誤差測量、參數(shù)辨識和誤差補(bǔ)償4個步驟[5]。
首先建立測量機(jī)構(gòu)的名義運(yùn)動學(xué)模型,如圖5所示。
圖5 D-H坐標(biāo)系
本文以測量機(jī)構(gòu)底座絲桿中心為原點(diǎn)建立基座參考坐標(biāo)系{O0x0y0z0},以旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中心為原點(diǎn)建立升降機(jī)構(gòu)和旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系{O1x1y1z1}和{O2x2y2z2},以伸縮機(jī)械臂末端點(diǎn)激光位移傳感器的激光發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)建立機(jī)構(gòu)末端坐標(biāo)系{O3x3y3z3}。由圖5可知,θ2為x1軸到x2軸繞z1軸旋轉(zhuǎn)的角度,逆時針轉(zhuǎn)動為正,故本文中旋轉(zhuǎn)角度θ2為負(fù)值。旋轉(zhuǎn)角度0°位置和-90°位置,如圖5所示。
本文采用修正D-H模型進(jìn)行建模[6],修正D-H參數(shù)如表1所示,d1為機(jī)械臂高度;θ2為機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)角度;d3為機(jī)械臂的總長度。
在確定測量機(jī)構(gòu)的修正D-H參數(shù)后,即可通過式(1)得到相鄰連桿坐標(biāo)系間的齊次變換矩陣為
(1)
其中,px=aicosθi,py=aisinθi,pz=di,nx=cosθicosβi-sinθisinαisinβi,ny=sinθicosβi+cosθisinαisinβi,nz=-cosαisinβi,ox=-cosαisinθi,oy=cosαicosθi,oz=sinαi,ax=cosθisinβi+sinαisinθicosβi,ay=sinθisinβi-sinαicosθicosβi,az=cosαicosβi。
(3)
(4)
機(jī)構(gòu)末端相對于基座參考坐標(biāo)系的位姿變換矩陣可由3個相鄰連桿坐標(biāo)系依次相乘得到[7],即測量機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型為
(6)
(7)
從上述運(yùn)動學(xué)模型可知,機(jī)構(gòu)末端位置為機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)參數(shù)的多元函數(shù)。假設(shè)幾何參數(shù)誤差足夠小,則對機(jī)構(gòu)末端的位置進(jìn)行全微分,可近似得到機(jī)構(gòu)末端的幾何參數(shù)誤差模型為
Δpδ=JδΔq
(8)
Δpδ為幾何參數(shù)誤差引起的末端位置誤差;Jδ為誤差系數(shù)矩陣;Δq為幾何參數(shù)誤差矩陣。
進(jìn)行冗余性分析后[8],即可得到幾何參數(shù)誤差模型為
(9)
(10)
Δq′=[Δθ1Δa1Δα1Δβ1Δα2Δd3]T
(11)
Jδθ1=[-d30 0]T
(12)
Jδa1=[cosθ20 -sinθ2]T
(13)
Jδα1=[0 -d3cosθ20]T
(14)
Jδβ1=[0 -d3sinθ20]T
(15)
Jδα2=[0 -d30]T
(16)
Jδd3=[0 0 1]T
(17)
圖6 測量機(jī)構(gòu)柔性示意圖
(18)
m1、m2和m3分別為基礎(chǔ)導(dǎo)軌、一級導(dǎo)軌和二級導(dǎo)軌的質(zhì)量;L1、L2和L3分別為基礎(chǔ)導(dǎo)軌、一級導(dǎo)軌和二級導(dǎo)軌長度,如圖4所示。
設(shè)立柱柔度為C1,則角Δγ1與彎矩τ之間的關(guān)系為
Δγ1=C1τ
(19)
機(jī)械臂升降運(yùn)動時,立柱有效長度的改變導(dǎo)致其柔度的變化。同時,如圖5所示,立柱由4根導(dǎo)向桿組成,機(jī)械臂繞立柱旋轉(zhuǎn)過程中4根導(dǎo)向桿的受力方向改變,也會導(dǎo)致其整體柔度C1的變化。故升降和旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂,都會導(dǎo)致角Δγ1的改變。因此,其柔度是關(guān)于機(jī)械臂高度d1和旋轉(zhuǎn)角度θ2的函數(shù),即
C1=f1(d1,θ2)
(20)
而由材料力學(xué)的相關(guān)知識可知,當(dāng)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)角度固定時,立柱柔度可寫為與立柱高度相關(guān)的線性函數(shù)[9],即
C1=k1d1
(21)
k1為與立柱材料和橫截面尺寸相關(guān)的固定參數(shù)。所以,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度θ2固定時,角Δγ1與彎矩τ之間的關(guān)系為
Δγ1=k1·(d1τ)
(22)
(23)
由于幾何參數(shù)誤差、立柱和機(jī)械臂彎曲導(dǎo)致的末端位置誤差滿足線性疊加關(guān)系[10-11],則根據(jù)幾何關(guān)系可以得出彎曲偏移角Δγ1和Δγ3帶來的末端位置誤差為
(24)
(25)
cΔγ1為cosΔγ1;sΔγ1為sinΔγ1;sΔγ3為sinΔγ3;cθ2為cosθ2;sθ2為sinθ2。由于偏移角很小,所以cosΔγ1≈1,sinΔγ1≈Δγ1,cosΔγ3≈1,sinΔγ3≈Δγ3,故可將式(25)線性化處理為
(26)
因此,測量機(jī)構(gòu)統(tǒng)一的誤差標(biāo)定模型為
Δp=JΔx
(27)
(28)
JC1=[-d1sinθ2d1cosθ2-d3]T
(29)
JC3=[0 0 -d3]T
(30)
本文采用激光跟蹤儀對測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的實(shí)際位置進(jìn)行測量,測得的位置坐標(biāo)pa=[paxpaypaz]T,并結(jié)合式(7)的名義運(yùn)動學(xué)模型,得到測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的位置誤差。
將式(10)~式(17)代入式(9),系統(tǒng)幾何參數(shù)誤差模型為
(31)
基于式(31)可知,當(dāng)機(jī)械臂轉(zhuǎn)角θ2和長度d3固定時,改變高度d1,幾何參數(shù)誤差造成的末端位置誤差并不會發(fā)生變化。而由式(26)可知,當(dāng)機(jī)械臂長度d3不變時,改變高度d1,機(jī)械臂彎曲角Δγ3產(chǎn)生的末端位置誤差也保持不變。因此,結(jié)合統(tǒng)一誤差標(biāo)定模型(27)和式(22)所示的立柱彎曲角Δγ1可知,當(dāng)機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ2和長度d3固定時,升高或降低機(jī)械臂引起的末端位置誤差的變化是由立柱彎曲角Δγ1的改變導(dǎo)致的。
基于上述結(jié)論,使用控制變量法,即可通過如下步驟對測量系統(tǒng)的立柱柔度參數(shù)、幾何參數(shù)誤差和機(jī)械臂彎曲偏移角進(jìn)行辨識和計(jì)算。
首先,劃分機(jī)械臂的工作空間。將工作范圍在0~-90.00°的機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ2分為θ21、θ22、θ23、θ24、θ25和θ26,共6組;將工作范圍在467~1 867 mm的機(jī)械臂高度d1分為d11、d12、d13、d14、d15、d16、d17和d18,共8組;將工作范圍在3 275.00~3 875.00 mm的機(jī)械臂長度d3分為d31、d32、d33和d34,共4組。固定機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ2和長度d3分別為θ21和d34,測得8組機(jī)械臂高度所對應(yīng)的末端位置誤差,根據(jù)式(27)建立8組誤差方程,即
(32)
Δpz141、Δpz142、Δpz143、Δpz144、Δpz145、Δpz146、Δpz147和Δpz148是高度為d11、d12、d13、d14、d15、d16、d17和d18時對應(yīng)的Z方向的末端位置誤差;Δpδz14為旋轉(zhuǎn)角度θ21和長度d34下由幾何參數(shù)誤差引起的Z方向的末端位置誤差;k11為轉(zhuǎn)角θ21對應(yīng)的立柱柔度參數(shù);τ4和Δγ34分別為長度d34時的彎矩和機(jī)械臂彎曲角。建立誤差方程后,對式(32)兩兩作差,消去幾何參數(shù)誤差和彎曲角Δγ34導(dǎo)致的末端誤差,則可計(jì)算出旋轉(zhuǎn)角度為θ21時的立柱柔度參數(shù)k11,即
(33)
而后旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂至θ22、θ23、θ24、θ25和θ26,重復(fù)上述操作,即可計(jì)算出6組旋轉(zhuǎn)角度對應(yīng)的立柱柔度參數(shù)k11、k12、k13、k14、k15和k16。通過三次樣條插值法[12],即可確定整個0~-90.00°工作空間內(nèi)的立柱柔度參數(shù)k1。至此,完成柔度參數(shù)k1的計(jì)算共使用了6組旋轉(zhuǎn)角度和8組高度下對應(yīng)的48組數(shù)據(jù)。
在得到立柱柔度參數(shù)k1后,結(jié)合式(27),則幾何參數(shù)誤差和機(jī)械臂彎曲導(dǎo)致的末端位置誤差Δp′為
Δp′=Δp-JC1k1d1τ
(34)
基于上述48組數(shù)據(jù),采用迭代最小二乘法[13],即可對幾何參數(shù)誤差和機(jī)械臂長度為d34時的機(jī)械臂彎曲偏移角Δγ34進(jìn)行辨識,辨識算法為:
(35)
(36)
(37)
最后,在得到立柱柔度參數(shù)k1和幾何參數(shù)誤差后,固定機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度和高度分別為θ25和d18,依次伸長機(jī)械臂至d31、d32和d33,即可得到3組伸長量的機(jī)械臂彎曲偏移角Δγ3s,s=1,2,3,即
(38)
Δpz5s8是機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度、高度和長度分別為θ25、d18和d3s時Z方向的末端位置誤差;Δpδz5s為旋轉(zhuǎn)角度θ25和長度d3s下由幾何參數(shù)誤差引起的Z方向的末端位置誤差;τ是長度為d3s時的彎矩。同理,經(jīng)三次樣條插值即可得到機(jī)械臂不同伸長狀態(tài)下由自身柔度導(dǎo)致的偏移角Δγ3。綜上所述,完成測量機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)誤差及柔性誤差的標(biāo)定工作,共需測得51組數(shù)據(jù)。
(39)
為證明上述誤差標(biāo)定算法的有效性,選取Leica高精度激光追蹤儀ATS600為第3方測量儀器,以其測量數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定和驗(yàn)證。由于激光追蹤儀默認(rèn)的工作坐標(biāo)系是以其激光出射點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系,因此,試驗(yàn)開始之前要將測量機(jī)構(gòu)基坐標(biāo)系設(shè)置為激光跟蹤儀的工作坐標(biāo)系。激光跟蹤儀獲取測量機(jī)構(gòu)基坐標(biāo)系軸線數(shù)據(jù)后,使用附帶的Spatial Analyzer軟件即可擬合出測量機(jī)構(gòu)的基坐標(biāo)系,并將其作為工作坐標(biāo)系[14]。
實(shí)驗(yàn)時機(jī)械臂參數(shù)如表2和表3所示。
表2 機(jī)械臂導(dǎo)軌長度
表3 機(jī)械臂質(zhì)量
根據(jù)2.4節(jié)中的誤差標(biāo)定方法,并結(jié)合測量機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場的工作區(qū)間大小、現(xiàn)場試驗(yàn)條件和靶標(biāo)位置,選取的51組測量點(diǎn)如圖7所示。其中,機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ21、θ22、θ23、θ24、θ25和θ26分別為-4.24°、-5.24°、-34.10°、-35.10°、-63.90°和-64.90°;機(jī)械臂高度d11、d12、d13、d14、d15、d16、d17和d18分別為467 mm、667 mm、867 mm、1 067 mm、1 267 mm、1 467 mm、1 667 mm和1 867 mm;機(jī)械臂長度d31、d32、d33和d34分別為3 275.00 mm、3 475.00 mm、3 675.00 mm和3 875.00 mm。立柱柔度參數(shù)k1的計(jì)算結(jié)果如表4所示。
圖7 測量點(diǎn)位置
表4 立柱柔度參數(shù)計(jì)算結(jié)果
由于θ21和θ22、θ23和θ24、θ25和θ26的角度值較為接近,為方便計(jì)算,選取θ21、θ24和θ263個點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值,可得到不同工作空間內(nèi)的立柱柔度參數(shù)k1取值情況如下所述:
當(dāng)θ2∈(-90.00°,-64.90°)時,取值為
k1=(0.234 5-0.001 600(θ2+90.00))×10-12
(40)
當(dāng)θ2∈(-64.90°,-35.10°)時,取值為
k1=(0.194 5-0.001 800(θ2+64.90))×10-12
(41)
當(dāng)θ2∈(-35.10°,0)時,取值為
k1=(0.175 2+0.001 100(θ2+35.10)-
0.000 100 0(θ2+35.10)2×10-12
(42)
在計(jì)算出不同旋轉(zhuǎn)角度的k1后,即可通過式(34)~式(37)對幾何參數(shù)誤差和偏移角Δγ34進(jìn)行辨識,結(jié)果分別如表5和表6所示。
表5 幾何參數(shù)誤差辨識結(jié)果
在確定整個工作空間內(nèi)的vk1和幾何參數(shù)誤差后,通過式(38)計(jì)算出機(jī)械臂長度分別為d31、d32和d33時對應(yīng)的機(jī)械臂偏移角,計(jì)算結(jié)果如表6所示。
表6 機(jī)械臂彎曲角Δγ3
同理,經(jīng)三次樣條插值,得到機(jī)械臂伸長量區(qū)間內(nèi)偏移角Δγ3的取值情況如下所述:
(43)
(44)
(45)
得到測量系統(tǒng)的幾何參數(shù)誤差Δq′、立柱柔度參數(shù)k1和機(jī)械臂彎曲偏移角度Δγ3后,即可通過式(39)對上述誤差進(jìn)行補(bǔ)償。為了驗(yàn)證誤差補(bǔ)償?shù)男Ч?,以?46)為誤差指標(biāo)重新在工作區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選取5個測量點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證,可得測量機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償前后對比如圖8所示。
圖8 補(bǔ)償前后誤差對比
(46)
由圖8可知,補(bǔ)償后測量系統(tǒng)末端測量點(diǎn)的定位精度提高至2 mm以內(nèi),證明了誤差標(biāo)定算法的有效性。
本文設(shè)計(jì)了一種適用于大型殼體的尺寸測量系統(tǒng),分析了系統(tǒng)的誤差來源。為保證測量系統(tǒng)末端測量點(diǎn)的定位精度,綜合考慮了幾何參數(shù)誤差和柔性誤差的影響,提出了誤差標(biāo)定方法,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了標(biāo)定算法的有效性。