含軟弱結(jié)構(gòu)面巖體蠕變力學(xué)模型

趙晨陽(yáng)，雷明鋒,2，賈朝軍，張逆進(jìn)，彭龍，龔琛杰

（1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2.重載鐵路工程結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410075；3.中鐵十二局集團(tuán)第七工程有限公司，湖南長(zhǎng)沙，410029；4.中交三航局第三工程有限公司，江蘇南京，210011）

巖土體流變是影響隧道長(zhǎng)期穩(wěn)定的重要因素之一[1-3]，主要包括蠕變、松弛、長(zhǎng)期強(qiáng)度和彈性后效，其中蠕變是主要研究?jī)?nèi)容[4]。隧道與地下工程的實(shí)踐與研究均表明，開(kāi)挖區(qū)域圍巖的破壞可能在開(kāi)挖后幾天甚至幾年發(fā)生。為探究巖石蠕變特性，科技工作者從巖石蠕變力學(xué)試驗(yàn)出發(fā)，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到經(jīng)驗(yàn)公式，建立巖石的應(yīng)力、應(yīng)變與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。該方法雖然反映了某種巖石在設(shè)定條件下的蠕變特征，但并未反映其內(nèi)在機(jī)理。為此，將元件模型引入巖石蠕變特性研究領(lǐng)域，并用于分析巖石的長(zhǎng)期穩(wěn)定性。為解決元件組合模型不能反映巖石流變的非線性問(wèn)題，學(xué)者們對(duì)元件模型進(jìn)行了改進(jìn)，或采用內(nèi)時(shí)理論[5]、損傷力學(xué)[4]、斷裂力學(xué)[6]等新理論建立巖石蠕變本構(gòu)模型，如：徐衛(wèi)亞等[7-8]在進(jìn)行綠片巖三軸流變力學(xué)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將非線性黏性元件與黏彈性元件串聯(lián)起來(lái)，建立了河海模型；韋立德等[9]從巖石蠕變機(jī)理出發(fā)，建立了由非線性元件組成的一維黏彈塑性模型來(lái)反映巖石流變?nèi)^(guò)程；周家文等[10]通過(guò)構(gòu)造非線性函數(shù)并引入廣義Bingham 模型，建立了非線性蠕變模型；張貴科等[11]建立了一個(gè)與應(yīng)力狀態(tài)和時(shí)間相關(guān)的非線性黏性體，并將該非線性黏性體與傳統(tǒng)Maxwell模型相結(jié)合，建立了五元件黏彈塑性模型；楊春和等[12]結(jié)合鹽巖流變?cè)囼?yàn)，采用巖石損傷力學(xué)理論研究了鹽巖流變損傷特征，并建立了非線性流變本構(gòu)模型；賈善坡等[13]通過(guò)構(gòu)造基于摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則的蠕變勢(shì)，建立了泥巖非線性蠕變損傷本構(gòu)模型及其損傷演化方程；ZHU 等[14]基于細(xì)觀力學(xué)推導(dǎo)Eshelby 等效加載問(wèn)題的均勻化理論，在熱力學(xué)框架下得到了準(zhǔn)脆性巖石各向異性的彈塑性損傷本構(gòu)模型。

綜合上述分析可知，巖石蠕變模型已取得一些研究成果，但適用于軟弱結(jié)構(gòu)面巖體的非線性蠕變?cè)緲?gòu)模型理論的研究仍處于初級(jí)階段，有待深入研究。隨著川藏鐵路、跨江（海）隧道等重大工程的建設(shè)，為避免圍巖流變對(duì)隧道施工及運(yùn)營(yíng)產(chǎn)生較大影響，對(duì)含軟弱結(jié)構(gòu)面巖體的蠕變力學(xué)特性理論研究就顯得十分迫切和重要[15-17]。為此，本文基于Kachanov-Rabotnov 理論建立考慮蠕變抗剪強(qiáng)度的非線性黏塑性元件，進(jìn)而結(jié)合Burgers 模型建立考慮軟弱結(jié)構(gòu)面的巖石流變力學(xué)模型，并通過(guò)相關(guān)試驗(yàn)驗(yàn)證模型的合理性，該成果可為隧道長(zhǎng)期穩(wěn)定分析提供理論依據(jù)。

1 加速蠕變模型

1.1 蠕變變形特征

在長(zhǎng)期荷載作用下，含軟弱結(jié)構(gòu)面巖體的變形具有明顯的時(shí)效性。在恒定應(yīng)力作用下，巖石蠕變的理論曲線如圖1中曲線a所示。

圖1中，OM段對(duì)應(yīng)加載瞬間產(chǎn)生的彈性應(yīng)變；MN段對(duì)應(yīng)應(yīng)變速率隨時(shí)間增長(zhǎng)而逐漸遞減的初期蠕變階段，亦稱衰減蠕變階段；NP段對(duì)應(yīng)應(yīng)變速率隨時(shí)間增長(zhǎng)呈穩(wěn)定狀態(tài)的第二期穩(wěn)態(tài)蠕變階段，亦稱等速蠕變階段，此階段的歷時(shí)主要取決于應(yīng)力水平和加載速率；PQ段對(duì)應(yīng)試件達(dá)到破壞前應(yīng)變速率呈加速增長(zhǎng)的第三期蠕變階段，稱為加速蠕變階段。

巖體蠕變曲線的形狀因巖體屬性、應(yīng)力狀態(tài)以及環(huán)境條件產(chǎn)生差異。

1）當(dāng)應(yīng)力水平低于某一限值時(shí)，巖體幾乎不產(chǎn)生蠕變，如圖1中曲線b所示。

2）當(dāng)應(yīng)力水平較高且接近巖石的強(qiáng)度時(shí)，蠕變3個(gè)區(qū)段的區(qū)分度可能不明顯，表現(xiàn)為變形急劇發(fā)展直至試樣破壞，如圖1中曲線c所示。

圖1 恒定應(yīng)力作用下的蠕變曲線Fig.1 Creep curves under constant stress

3）當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)，可能只產(chǎn)生衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變，即曲線a 上的MN和NP這2 個(gè)蠕變階段。

1.2 加速蠕變的描述

為克服既有元件組合模型（如Burgers 模型和Nishihara模型）無(wú)法充分描述加速蠕變特征的不足，本文提出一種新的蠕變本構(gòu)模型。根據(jù)不連續(xù)點(diǎn)在加速蠕變階段之前沒(méi)有明顯的非線性蠕變變形，假設(shè)巖石在加速蠕變階段前未受到破壞，即在加速蠕變階段前的損傷變量D為0，試樣破壞時(shí)的損傷變量D為1.0。

RABOTNOV[18]提出的Kachanov-Rabotnov理論可用于描述損傷的演變：

蠕變本構(gòu)方程為

式中：σ為應(yīng)力；為蠕變變形（εc）對(duì)時(shí)間的微分；m，n，p，q，A和B均為材料常數(shù)。

根據(jù)式（2），無(wú)損傷的含軟弱結(jié)構(gòu)面巖石試樣的蠕變應(yīng)變可寫為

式（3）表明，不同剪應(yīng)力水平下的穩(wěn)態(tài)蠕變速率可以采用冪函數(shù)表示。

在恒定應(yīng)力下，加速蠕變階段損傷D可以通過(guò)對(duì)方程（1）進(jìn)行積分確定。假定t=0時(shí)刻邊界條件D=0，可得

需注意的是，初始時(shí)間是加速蠕變的開(kāi)始時(shí)間。

進(jìn)一步假定試樣蠕變破壞的時(shí)間t=tR，此時(shí)，試樣損傷值D=1.0，將此邊界條件代入式（4）得

將式（5）代入式（4），得到損傷變量D：

由式（6）可知，損傷變量D隨時(shí)間變化，并將其代入式（2）并積分，可得蠕變隨時(shí)間的變化。假定t=0時(shí)刻εc=0，可得

式中：λ=(1+p)/(1+p-q)，其為1個(gè)大于1.0的常數(shù)，與材料性質(zhì)有關(guān)。

由式（7）可知，將t=tR代入，可得試樣破裂時(shí)的蠕變應(yīng)變：

式（8）表示的蠕變應(yīng)變?nèi)鐖D2所示。從圖2可以看出：若試樣未發(fā)生加速蠕變變形，則蠕變變形為穩(wěn)態(tài)蠕變速率與時(shí)間的積，而若試樣發(fā)生加速蠕變，則蠕變變形需要乘以材料常數(shù)λ。

圖2 蠕變應(yīng)變隨時(shí)間變化的示意圖Fig.2 Schematic diagram of creep strain change with time

1.3 參數(shù)敏感性分析

為分析剪應(yīng)變與材料常數(shù)λ的關(guān)系，對(duì)λ的參數(shù)敏感性進(jìn)行分析。設(shè)定式（8）中=1×10-4h-1，tR=0.7 h，得到不同λ條件下的蠕變-時(shí)間曲線如圖3所示。從圖3可以看出：λ越大，剪應(yīng)力和剪切速率越大；當(dāng)λ為1.0 時(shí)，蠕變應(yīng)變?cè)谡麄€(gè)過(guò)程中呈線性增大。

圖3 參數(shù)λ對(duì)蠕變應(yīng)變的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of the parameter λ to creep strain

式（7）描述了加速蠕變階段的非線性蠕變規(guī)律?？紤]到在多級(jí)剪切蠕變?cè)囼?yàn)中，加速蠕變階段僅在最終剪切應(yīng)力水平下發(fā)生，并且與該階段的穩(wěn)態(tài)應(yīng)變率有關(guān)，故式（7）可變化為

式中：ts為含軟弱結(jié)構(gòu)面巖體進(jìn)入加速蠕變階段的時(shí)間；η為黏度系數(shù)；·為麥考利符號(hào)，x=(x-|x|)/2。

根據(jù)式（9），可得到非線性加速蠕變?cè)?jiàn)圖4。當(dāng)剪切應(yīng)力小于閾值τs時(shí)，非線性加速蠕變?cè)还ぷ?；?dāng)應(yīng)力大于閾值τs時(shí)，蠕變應(yīng)變將隨時(shí)間呈非線性增加。

圖4 非線性加速蠕變?cè)疽鈭DFig.4 Schematic diagram of nonlinear accelerated creep element

2 蠕變模型

2.1 Burgers蠕變特征

Burgers 蠕變模型是一個(gè)線性黏彈塑性流變模型，可以較好地描述巖石的瞬時(shí)彈性變形、初期流變變形與穩(wěn)態(tài)流變變形，同時(shí)能反映巖石的松弛現(xiàn)象。Burgers 流變模型可認(rèn)為是Maxwell 模型與Kelvin 模型的組合體，一維應(yīng)力狀態(tài)下的流變模型如圖5所示。

圖5 Burgers蠕變模型Fig.5 Burgers creep model

在外荷載長(zhǎng)期作用下，當(dāng)切應(yīng)力為τn時(shí)，Burgers流變模型相應(yīng)的狀態(tài)方程為

式中：τ1和τ2為切應(yīng)力；G1和G2分別為Maxwell模型和Kelvin 模型的體積模量；ε11，ε12和ε2分別為Maxwell模型中彈性虎克元件、黏性牛頓元件和Kelvin 模型的應(yīng)變；和為應(yīng)變率；η1為Maxwell 模型黏度系數(shù)；η2為Kelvin 模型黏度系數(shù)。

根據(jù)式（10），消去方程中的下標(biāo)可得系統(tǒng)總應(yīng)力、應(yīng)變本構(gòu)方程為

在t=0 時(shí)，施加恒定應(yīng)力τn，將τn代入式（10），同時(shí)考慮下列初始條件：

式中：i=1，2。對(duì)式（10）進(jìn)行拉普拉斯變換及其逆變換，可得蠕變方程：

將式（13）兩邊分別對(duì)時(shí)間t求一階、二階導(dǎo)數(shù)可得：

由式（14）和式（15）可知＞0，而¨＜0。施加恒定應(yīng)力τn后，模型產(chǎn)生瞬時(shí)彈性變形及蠕變變形，且隨著時(shí)間增加，蠕變速率逐漸減小，最終達(dá)到穩(wěn)定。

2.2 非線性6元件蠕變本構(gòu)模型

為全面描述含軟弱結(jié)構(gòu)面巖體的蠕變特性，將非線性元件和Burgers 蠕變模型串聯(lián)在一起，可得1個(gè)六元件非線性黏彈性塑性不連續(xù)模型，如圖6所示。

圖6 改進(jìn)的6元件非線性黏彈塑性蠕變模型Fig.6 Improved nonlinear visco-elasto-plastic creep model for 6 elements

與Burgers 模型相比，其適用于非線性元件的加速蠕變特性。該模型的本構(gòu)方程為

式中：η3為加速蠕變規(guī)律非線性模型黏度系數(shù)。

3 蠕變模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出非線性黏彈性塑性蠕變模型的合理性，制取軟弱結(jié)構(gòu)面試樣，在不同應(yīng)力等級(jí)下開(kāi)展多級(jí)蠕變?cè)囼?yàn)。

剪切蠕變?cè)囼?yàn)在CSS-3940YJ 型巖石伺服控制雙軸流變?cè)囼?yàn)機(jī)上進(jìn)行。多級(jí)剪切蠕變?cè)囼?yàn)流程與文獻(xiàn)[19]中斷層F17的試驗(yàn)流程相同。本次模型驗(yàn)證共完成3個(gè)試樣的試驗(yàn)，在3個(gè)試樣上分別施加0.2，0.6 和1.0 MPa 的正應(yīng)力σn。具體的試驗(yàn)步驟如下：1）施加正應(yīng)力至設(shè)定值；2）以位移控制模式（0.2 mm/min）施加剪切應(yīng)力，每種應(yīng)力水平維持約48 h 或72 h；3）待試樣在該級(jí)正應(yīng)力下達(dá)到穩(wěn)態(tài)蠕變階段后繼續(xù)施加下一級(jí)剪應(yīng)力；4）若剪切位移以大于閾值的速率增加或樣品失敗，則停止記錄數(shù)據(jù)，并且結(jié)束測(cè)試。

試驗(yàn)所得到的剪切位移隨時(shí)間變化曲線如圖7和圖8所示。分析圖7和圖8可見(jiàn)：

圖7 不同正應(yīng)力下剪切蠕變曲線Fig.7 Shear creep curves under different normal stresses

圖8 最后一級(jí)剪應(yīng)力下的蠕變和蠕變速率曲線Fig.8 Creep and creep rate curves under the last shear stress

1）在施加每級(jí)荷載時(shí)都會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)彈性應(yīng)變，隨后經(jīng)歷衰減蠕變階段，蠕變速率隨時(shí)間逐漸降低。

2）當(dāng)剪切應(yīng)力水平較低時(shí)，剪切蠕變速率減小至恒定值，意味著剪切變形呈線性增加，即試件處于穩(wěn)態(tài)蠕變階段。

3）當(dāng)剪應(yīng)力加載到最后一級(jí)時(shí)，經(jīng)過(guò)穩(wěn)態(tài)蠕變后的試樣蠕變速率迅速增加，蠕變變形也急劇增加并最終導(dǎo)致試樣破壞。

運(yùn)用建立的模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合后各參數(shù)如表1所示。表中，R2為可決系數(shù)。分析表1可知：

表1 蠕變模型擬合參數(shù)的結(jié)果Table 1 Results of creep model fitting parameters

1）在恒定法向應(yīng)力下，體積模量初始階段的G1遠(yuǎn)比其他剪應(yīng)力時(shí)的高，并隨剪應(yīng)力增加而減小。

2）忽略初始值時(shí)，G1和剪切應(yīng)力間的關(guān)系可用線性方程式描述（圖9）。法向應(yīng)力分別為0.2，0.6，1.0 MPa的3個(gè)樣品的體積模量G1的平均值分別為0.43，0.36和0.39 GPa。

圖9 擬合體積模量G1與剪切應(yīng)力之間的關(guān)系Fig.9 Relationship between fitted volume modulus and shear stress level

3）通常，黏度系數(shù)η1隨剪切應(yīng)力增加而增加，這與穩(wěn)態(tài)蠕變結(jié)果相吻合。

4）G1/η2反映了從初始蠕變階段到穩(wěn)態(tài)蠕變階段的持續(xù)時(shí)間，其隨著剪切應(yīng)力的增加而趨于減小。

最終階段的擬合曲線如圖10所示。從圖10可見(jiàn)所提出的模型能夠描述軟弱結(jié)構(gòu)面的加速蠕變階段的變形特性。

圖10 剪切蠕變模型的擬合效果Fig.10 Fitting effect of shear creep model

4 結(jié)論

1）基于Kachanov-Rabotnov 蠕變損傷理論開(kāi)發(fā)了非線性元件，并將該非線性元件和Burgers 蠕變模型串聯(lián)起來(lái)形成六單元非線性黏彈性塑性蠕變模型，可以實(shí)現(xiàn)含軟弱結(jié)構(gòu)面巖體的加速蠕變階段模擬。

2）試樣在衰減蠕變階段的蠕變速率隨時(shí)間逐漸降低。當(dāng)剪切應(yīng)力水平較低時(shí)，剪切蠕變速率減小至恒定值，處于穩(wěn)態(tài)蠕變階段。隨著剪應(yīng)力增加，經(jīng)過(guò)穩(wěn)態(tài)蠕變后的試樣蠕變速率迅速增加，蠕變變形亦急劇增加并最終導(dǎo)致試樣破壞。

3）所提出的模型能夠描述不連續(xù)性的時(shí)間相關(guān)特性，可以對(duì)試樣軟弱結(jié)構(gòu)面剪切蠕變特性進(jìn)行較全面描述。