基于“構(gòu)造法”的高中數(shù)學(xué)解題思路分析

何晨良

(江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué) 214041)

數(shù)學(xué)研究中，存在非構(gòu)造性數(shù)學(xué)和構(gòu)造性數(shù)學(xué)，主要討論存在和構(gòu)造的問(wèn)題.利用構(gòu)造法能簡(jiǎn)化許多題目的解題步驟，教師幫助學(xué)生掌握解題基本方法和巧妙思路，設(shè)置有探究性、開(kāi)放性、情境性、應(yīng)用性的數(shù)學(xué)題，切實(shí)提升學(xué)生的解題能力.

一、把握本質(zhì)，解決變式題目

所謂變式題目，指的是從一個(gè)題目出發(fā)，經(jīng)過(guò)改造和轉(zhuǎn)變產(chǎn)生不同的題目.學(xué)生在解題中會(huì)碰到較多變式題目，只有有效分析變式問(wèn)題的形式、內(nèi)容和結(jié)論，分析問(wèn)題的本質(zhì)屬性，才能有效解決問(wèn)題.學(xué)生在解決變式問(wèn)題的過(guò)程中，也能逐漸突破題目形式的干擾.對(duì)于變式問(wèn)題，應(yīng)認(rèn)清本質(zhì)、靈活分析.

例1如果把所有正整數(shù)排成一個(gè)三角形陣列，那么如圖1，第n行從左向右查，第三個(gè)數(shù)字是____(n≥3).

分析根據(jù)圖式發(fā)現(xiàn)，第一行有1個(gè)數(shù)字，第二行有2個(gè)數(shù)字，第n-1行一共有n-1個(gè)數(shù)字，所以第n-1行最末尾的數(shù)字正好是等差數(shù)列中的第n-1項(xiàng).

例2 在如圖2中的楊輝三角里面，l斜線的上方有一個(gè)鋸齒形數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是：1，3，3，4，6，5，…，如果第n項(xiàng)是an，那么a19的數(shù)值是多少？

例3有一個(gè)n行n列的矩陣A，是n2(n∈N*，同時(shí)n≥4)個(gè)正數(shù)組成的，這個(gè)矩陣A如下：

a11a12…a1n

a21a22…a2n

… … … …

an1an2…ann

分析這個(gè)變式題目是在前面題目基礎(chǔ)上引入了矩陣，而且包含等比數(shù)列和等差數(shù)列.此題看似結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，而且內(nèi)容比較長(zhǎng)，但是如果能捋順?biāo)悸?、仔?xì)分析，可以有效解決問(wèn)題.

二、一題多解，多角度分析問(wèn)題

一些高中數(shù)學(xué)問(wèn)題有多種解法，可以從不同側(cè)面看待問(wèn)題和分析問(wèn)題，通過(guò)發(fā)掘題目中已知和未知的關(guān)系，嘗試使用不同方法和思路解題是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和拓展解題思路的重要途徑.

分析1 斜率公式的構(gòu)造.

因?yàn)?<α<β，所以在第一象限中，P(α,β)必然在y=x這條直線的下方.

圖3

使用構(gòu)造圖形的方式，分析具體問(wèn)題，采用圖形輔助對(duì)象解決問(wèn)題.

分析2輔助函數(shù)的構(gòu)造.

對(duì)比題干中兩邊的不等式，可以發(fā)現(xiàn)左邊比右邊只是多出一個(gè)γ，所以采用構(gòu)造輔助函數(shù)的方式解決問(wèn)題：

分析3 現(xiàn)實(shí)模型的構(gòu)造.

三、構(gòu)造復(fù)數(shù)，巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

構(gòu)造復(fù)數(shù)是常用的方法，學(xué)生通過(guò)推斷、猜測(cè)、比較和分析探索構(gòu)造思路，進(jìn)而巧妙解決問(wèn)題.

例5 已知sina+sinb=y，cosa+cosb=x，同時(shí)x2+y2≠0，求解tan(a+b)是多少？

分析這個(gè)題目可以使用sin2b+cos2b=1，sin2a+cos2a=1來(lái)求解，但是具體求解過(guò)程比較復(fù)雜，利用構(gòu)造復(fù)數(shù)的方法能簡(jiǎn)化問(wèn)題.首先觀察題目中的已知條件，而后聯(lián)想到函數(shù)相關(guān)的知識(shí)，用構(gòu)造復(fù)數(shù)方式巧妙解決問(wèn)題.復(fù)數(shù)有三角、幾何、代數(shù)等表達(dá)方式，和高中數(shù)學(xué)的知識(shí)緊密聯(lián)系，使用復(fù)數(shù)模型的運(yùn)算法則和性質(zhì)解題.

設(shè)z2=isinb+cosb，z1=isina+cosa，那么|z2|=|z1|=1.

同時(shí)，z2+z1=i(sina+sinb)+(cosa+cosb)=yi+x.

同時(shí)，z1z2=isin(a+b)+cos(a+b).

因?yàn)閨z2|=|z1|=1,

因?yàn)閍2+b2≠0，所以a,b不都是零.

乍一看這個(gè)題目，一些學(xué)生可能被唬住，但是構(gòu)造復(fù)數(shù)能完美解決問(wèn)題，復(fù)數(shù)有三角、幾何、代數(shù)等多種形式，有著明確的運(yùn)算法則和性質(zhì).對(duì)于一些難以解決的代數(shù)問(wèn)題，使用構(gòu)造復(fù)數(shù)的方式，能創(chuàng)造性解決問(wèn)題，解題過(guò)程比較簡(jiǎn)單.

使用構(gòu)造法能簡(jiǎn)化許多題目，但是需要注意，這種方法不是萬(wàn)能的.在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，如果刻意尋求和模仿，只會(huì)讓解題過(guò)程更加繁瑣.要明確構(gòu)造法的局限性，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，采用合理解題步驟.在解題訓(xùn)練中，可以兼用常規(guī)方法和構(gòu)造法.構(gòu)造法雖然使解題步驟更少、更簡(jiǎn)單，但是挑戰(zhàn)性更強(qiáng)，可以節(jié)約較多時(shí)間，讓快速解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題成為可能.