寡頭博弈模型中的時(shí)間記憶性質(zhì)與預(yù)期對(duì)模型穩(wěn)定性的影響

趙佳麗， 梁晏銘

(西安財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 西安 710100)

2021年中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議、中央財(cái)經(jīng)委員會(huì)第九次會(huì)議強(qiáng)化反壟斷工作作出決策部署，將反壟斷工作重要性提升到前所未有的高度?！笆奈濉币?guī)劃建議明確提出健全公平競(jìng)爭(zhēng)審查機(jī)制，加強(qiáng)反壟斷和反不正當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)執(zhí)法司法，提升市場(chǎng)綜合監(jiān)管能力。強(qiáng)化反壟斷，是黨和國(guó)家作出的重大決策部署，加快構(gòu)建更加安全、更加公平、更具活力、有效競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)體系?；诖?，研究壟斷問題對(duì)于國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要現(xiàn)實(shí)意義。

寡頭壟斷市場(chǎng)是現(xiàn)實(shí)中較為普遍存在的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)，事實(shí)上，經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中存在很多寡頭壟斷現(xiàn)象，尤其是在那些需要在大規(guī)模的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益的產(chǎn)品市場(chǎng)出現(xiàn)這種市場(chǎng)結(jié)構(gòu)。這些企業(yè)為了利潤(rùn)最大化，不斷地競(jìng)爭(zhēng)，制定出最有利于自己的策略。而博弈論就是研究這種具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，各博弈方為了各自的目標(biāo)和利益最大化，在研究?jī)?yōu)化策略時(shí)，要盡可能考慮對(duì)方可能采取的策略，以調(diào)整自身的策略。這種博弈行為在寡頭壟斷市場(chǎng)中表現(xiàn)得更為明顯。

寡頭壟斷市場(chǎng)格局的普遍性使得對(duì)寡頭壟斷行為和市場(chǎng)博弈的研究更有實(shí)際意義，因此吸引了大量學(xué)者進(jìn)行研究。對(duì)寡頭模型的研究主要從產(chǎn)量和價(jià)格兩種策略角度進(jìn)行，學(xué)者們以此為基礎(chǔ)，對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)中寡頭企業(yè)的行為進(jìn)行研究，如壟斷企業(yè)的數(shù)據(jù)信息博弈、糧食交易中的價(jià)格博弈等。

企業(yè)的發(fā)展與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展息息相關(guān)，一榮俱榮。因此企業(yè)的發(fā)展要適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展進(jìn)程，要善于利用社會(huì)條件發(fā)展自己，同時(shí)做出利于經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)發(fā)展的決策，推動(dòng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展。寡頭壟斷現(xiàn)象較為普遍，像電力價(jià)格壟斷、油價(jià)壟斷，以及銀行壟斷、保險(xiǎn)公司壟斷，BAT這種大公司的對(duì)市場(chǎng)的壟斷，對(duì)大數(shù)據(jù)信息的壟斷，等等，這些壟斷現(xiàn)象對(duì)國(guó)家安全健康發(fā)展有很大的影響，因此研究寡頭壟斷下的市場(chǎng)穩(wěn)定性具有至關(guān)重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 研究綜述

產(chǎn)量模型最早是由法國(guó)學(xué)者Cournot提出的，是最早的寡頭模型，該模型是以調(diào)節(jié)產(chǎn)量為主的模型，因此叫產(chǎn)量模型，也叫古諾模型。價(jià)格模型是在產(chǎn)量模型的基礎(chǔ)上建立的，它是以調(diào)節(jié)價(jià)格為主的模型。關(guān)于產(chǎn)量模型和價(jià)格模型的穩(wěn)定點(diǎn)存在性和穩(wěn)定性判斷研究主要是基于納什均衡的穩(wěn)定性判別研究。

1950年，Nash在EquilibriumPointinN-personGames和Non-cooperativeGames兩篇論文中，首次提出“納什均衡(Nash equilibrium)”，證明了均衡解[1]的存在性，揭示了博弈論與經(jīng)濟(jì)均衡的內(nèi)在聯(lián)系,從此把它應(yīng)用到產(chǎn)量模型。

產(chǎn)量模型作為納什均衡應(yīng)用的最早版本，在產(chǎn)量博弈中應(yīng)用廣泛，對(duì)于產(chǎn)量模型的穩(wěn)定性研究，比如Okuguchi[2]進(jìn)行的雙寡頭壟斷研究，Huck等[3]通過實(shí)驗(yàn)?zāi)M進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)性雙寡頭市場(chǎng)內(nèi)生時(shí)機(jī)研究，他的研究是利用納什均衡，給出了雙寡頭模型解(均衡點(diǎn))的存在性證明及其平衡穩(wěn)定性的分析，特別是對(duì)連續(xù)雙寡頭模型的非線性穩(wěn)定性研究中證明了模型常數(shù)階的穩(wěn)定性。Agliari等[4]研究的具有差異化產(chǎn)品的古諾雙寡頭博弈的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，采用梯度學(xué)習(xí)機(jī)制來調(diào)整市場(chǎng)上個(gè)產(chǎn)品銷售的數(shù)量，也就是利用了市場(chǎng)的時(shí)間記憶來調(diào)節(jié)產(chǎn)量，分析了模型穩(wěn)定和不穩(wěn)定時(shí)的產(chǎn)量情況對(duì)利潤(rùn)的影響，得出了調(diào)整產(chǎn)品的產(chǎn)量結(jié)構(gòu)時(shí)，產(chǎn)量結(jié)構(gòu)越豐富，模型越不穩(wěn)定。學(xué)者們還將雙寡頭模型的研究推廣到了離散雙寡頭經(jīng)濟(jì)模型，并對(duì)其進(jìn)行了時(shí)間的定性分析，得出了從離散模型到連續(xù)模型，恒定的穩(wěn)態(tài)不變的結(jié)論。

隨著中國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家、學(xué)者也不斷研究寡頭模型，比如雷勇等[5]分析了寡頭廠商的博弈情況，馬軍海等[6]分析了延遲決策對(duì)寡頭博弈的影響，張雅慧[7]分析了半合作模式下兩階段雙寡頭博弈模型，并對(duì)其進(jìn)行了復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分析，徐峰等[8]研究了雙寡頭廣告博弈模型的影響因素，分析了廣告投入與其帶來的利潤(rùn)關(guān)系。這些學(xué)者們的研究都是對(duì)不同的寡頭模型進(jìn)行了均衡性分析，并從不同的角度對(duì)均衡點(diǎn)的存在給出理論證明，分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài)，以及各模型參數(shù)下系統(tǒng)的均衡態(tài)趨勢(shì)。

價(jià)格模型的研究是在產(chǎn)量模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它以調(diào)節(jié)價(jià)格為主，以價(jià)格作為競(jìng)爭(zhēng)手段，是產(chǎn)量模型的一種推廣。比如Bester[9]基于消費(fèi)者偏好的橫向差異化，研究了雙寡頭壟斷中Bertrand價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的穩(wěn)定性，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)存在價(jià)格博弈均衡。吳險(xiǎn)[10]在Bertrand模型的基礎(chǔ)上，在分析“伯特蘭德悖論”的解決方法時(shí)，進(jìn)一步說明了模型穩(wěn)定性是可以達(dá)到的。胡玉鳳、張晨義[11]同樣基于Bertrand模型和產(chǎn)品差異化思想，建立定價(jià)博弈模型，對(duì)擴(kuò)展的Bertrand模型進(jìn)行研究，分析了競(jìng)爭(zhēng)者數(shù)量和產(chǎn)品替代率對(duì)均衡價(jià)格的影響。綜上所述，寡頭博弈模型的穩(wěn)定性影響因素復(fù)雜多樣，并且在有限條件下是能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的，通過對(duì)均衡點(diǎn)的求解，可以找到均衡點(diǎn)或均衡局域?qū)δＰ偷姆€(wěn)定性進(jìn)行研究。

2 模型的建立

本文研究?jī)蓚€(gè)廠商的產(chǎn)量博弈，根據(jù)已有的文獻(xiàn)，以企業(yè)自身的產(chǎn)量對(duì)自身的產(chǎn)品產(chǎn)量的影響作為一個(gè)因素，以競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)品產(chǎn)量對(duì)自身的產(chǎn)品產(chǎn)量的影響作為一個(gè)因素，建立產(chǎn)量模型。考慮到時(shí)間的記憶性會(huì)對(duì)決策產(chǎn)生影響，因此引入分?jǐn)?shù)階理論，研究時(shí)間記憶對(duì)寡頭博弈過程中模型的穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。模型建立在古諾假設(shè)的基礎(chǔ)上，只考慮企業(yè)自身產(chǎn)量和競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手產(chǎn)量對(duì)產(chǎn)量的影響，且認(rèn)為市場(chǎng)總?cè)萘勘３植蛔儯瑹o政策及其他外界因素干擾。模型的影響因素主要有廠商i(i=1，2)的互相影響作用γ，廠商i(i=1，2)對(duì)自身產(chǎn)量的影響作用Li，廠商i(i=1，2)的最大產(chǎn)量θi，連續(xù)的時(shí)間尺度u和v，企業(yè)產(chǎn)量的調(diào)整速度a和ν，廠商i產(chǎn)品生產(chǎn)的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)α。

當(dāng)廠商1生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量達(dá)到一定數(shù)額后將會(huì)出現(xiàn)利潤(rùn)下降，此時(shí)廠商i對(duì)自身的產(chǎn)量產(chǎn)生影響，設(shè)影響因數(shù)為L(zhǎng)i，建立模型為

∏(u,v)=θ1-γv-L1u

(1)

∏(u,v)=θ2-γu-L2v

(2)

根據(jù)式(1)、式(2)得到關(guān)于u和v的非線性連續(xù)系統(tǒng)，即

(3)

(4)

對(duì)應(yīng)的預(yù)期為

(5)

(6)

3 實(shí)證分析

下面通過具體的實(shí)例對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，在不同的分?jǐn)?shù)階條件下，利用wolfram alpha求解模型的均衡點(diǎn)、模型的特征矩陣、特征根以及特征根的幅角，分析均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先介紹階數(shù)為1時(shí)系統(tǒng)均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析方法，為后面分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分析做理論鋪墊。

3.1 階數(shù)為1時(shí)的分析

對(duì)式(3)關(guān)于u、v分別求偏導(dǎo)得

(7)

(8)

線性化得

(aθ1-aγv-2aL1u)u-aγuv

(9)

對(duì)式(4)關(guān)于u、v分別求偏導(dǎo)得

(10)

(11)

線性化得

-νvγu+(νθ2-νγu-2νL2v)v

(12)

當(dāng)所有的特征值λ的實(shí)部小于0時(shí)，系統(tǒng)的均衡點(diǎn)穩(wěn)定，特征值λ的實(shí)部大于0時(shí)，系統(tǒng)的均衡點(diǎn)非穩(wěn)定。

根據(jù)已有的文獻(xiàn)，設(shè)θ1=0.5，θ2=1，γ=1，L1=3，L2=2，a=1.5，ν=2.5，此時(shí)的產(chǎn)量模型為

∏(u,v)=0.5-v-3u

(13)

∏(u,v)=1-u-v

(14)

由上面的分析知，α=1時(shí)，關(guān)于u和v的非線性連續(xù)系統(tǒng)為

(15)

(16)

在滿足預(yù)期時(shí)，解得模型的均衡點(diǎn)為(0,0),(0,0.5),(0.167,0)。

在(0，0)處，特征值為0.75和2.5，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值為0和-2.5，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處，特征值為-0.75和2.08，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

此結(jié)果說明，當(dāng)階數(shù)為1時(shí)，系統(tǒng)易受外界因素的干擾，即廠商i(i=1，2)的產(chǎn)量易受到其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手產(chǎn)量的影響，也容易受到自己上一期產(chǎn)量的影響。

3.2 階數(shù)小于1時(shí)的分析

與階數(shù)為1時(shí)的分析過程相同。

當(dāng)α=0.2時(shí)：在(0，0)處，特征值為-0.5和3.75，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值為0和3.75，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處特征值為3.555和-1.055，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)α=0.5時(shí)：在(0，0)處，特征值為2.5和0.75，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值為0和0.75，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處特征值為0和2.5，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)α=0.8時(shí)：在(0，0)處，特征值為-0.59-0.59i，-0.59+0.59i，-1.39i，1.39i和0.59-0.59i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值-0.47-0.47i，-0.47+0.47i，-1.47i，1.47i，和0.47-0.47i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處特征值為-0.72-0.72i，-0.72+0.72i，-1.37i，1.37i和0.72-0.72i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3.3 階數(shù)大于1時(shí)的分析

當(dāng)α=1.5時(shí)：在(0，0)處，特征值為-0.78-1.35i，-0.78+1.35i，0.39-0.69i，0.39+0.69i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值為-0.84-1.45i，-0.84+1.45i，0.29+0.51i和0.29-0.51i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處特征值為-0.76-1.32i，-0.76-1.32i，0.51-0.88i和0.51+0.88i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)α=2.1時(shí)：在(0，0)處，特征值為-1.05-0.16i，-1.05+0.16i，-0.97+2.77×10-16i，0.95-0.46i和-0.95+0.46i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值為-0.83-1.45i，-0.83+1.45i，0.29+0.51i和0.29-0.51i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處特征值為-1.05-0.16i，-1.05+0.16i，-1.003+3.05×10-16i，-0.96-0.29i和-0.96+0.29i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)α=3.6時(shí)：在(0，0)處，特征值為-1.01-0.37i，-1.01+0.37i，-0.95-0.17i，-0.83-0.48i和-0.95+0.17i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0，0.5)處，特征值為-1.02-0.37i，-1.02+0.37i，-0.9-0.16i，-0.9+0.16i，和-0.83-0.7i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在(0.167，0)處特征值為-1-0.37i，-1+0.37i，-0.99-0.17i，-0.99+0.17i和-0.87-0.5i，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

通過數(shù)值模擬及數(shù)學(xué)推算分析得出，當(dāng)0<α<1時(shí)，均衡點(diǎn)在不同的階數(shù)下均是不穩(wěn)定的，也即系統(tǒng)是易受干擾的。因此，當(dāng)時(shí)間記憶較短(小于1期)時(shí)，企業(yè)的產(chǎn)量決策極易受到影響。當(dāng)α>1時(shí)，均衡點(diǎn)在不同階數(shù)下依然是不穩(wěn)定的，因此，當(dāng)時(shí)間記憶較長(zhǎng)(大于1期)時(shí)，企業(yè)間的產(chǎn)量決策易受干擾。

考慮到時(shí)間成本、市場(chǎng)變化、產(chǎn)品更新等因素，建議企業(yè)在最短的時(shí)間周期做出合理的決策，減少外在負(fù)面影響，提高企業(yè)產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益。

4 結(jié)論

在對(duì)傳統(tǒng)模型的研究基礎(chǔ)上，考慮了時(shí)間的記憶性質(zhì)對(duì)決策的影響，引入分?jǐn)?shù)階理論，對(duì)雙寡頭市場(chǎng)上不同時(shí)間尺度下產(chǎn)量決策的穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行了分析。

為了便于分析，先對(duì)整數(shù)階(本文的1階)進(jìn)行了分析，得出了所建雙寡頭模型易受到研究因素的干擾從而不穩(wěn)定的結(jié)論。其次利用分?jǐn)?shù)階相關(guān)知識(shí)，對(duì)不同時(shí)間狀態(tài)下的模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,得出了不論在何種時(shí)間記憶下，模型都是非穩(wěn)定的。根據(jù)此次研究和經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)寡頭市場(chǎng)的已有研究，建議寡頭企業(yè)間可采取協(xié)議合同，在良性定價(jià)的基礎(chǔ)上，盡量在市場(chǎng)穩(wěn)定的條件下，根據(jù)理論計(jì)算結(jié)果(即達(dá)到產(chǎn)量均衡點(diǎn)時(shí))結(jié)合往期的市場(chǎng)產(chǎn)量進(jìn)行產(chǎn)品生產(chǎn)，做到雙方利潤(rùn)最大化，從而達(dá)到雙贏的結(jié)果。