預(yù)制裝配式架橋機(jī)的起重小車復(fù)合滑模同步控制

韓林山， 劉 耀， 遲 明， 唐明昊

(華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院， 鄭州 450045)

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，城市高架路的建設(shè)迫在眉睫，預(yù)制裝配式架橋機(jī)[1]的設(shè)計(jì)是為了解決傳統(tǒng)架橋機(jī)存在的架設(shè)周期長(zhǎng)，占地面積大等問(wèn)題。然而，現(xiàn)有的架設(shè)墩柱方法依然是采取“一步一?！钡姆绞?，嚴(yán)重影響了架設(shè)的精度和效率。目前，中外主要通過(guò)改進(jìn)架橋機(jī)結(jié)構(gòu)來(lái)提高架設(shè)速度，還未有學(xué)者考慮閉環(huán)控制系統(tǒng)對(duì)提高架設(shè)速度與精度的影響。而架橋機(jī)墩柱的架設(shè)需要后起重小車走行電機(jī)與升降電機(jī)的同步協(xié)調(diào)配合，對(duì)于同步協(xié)調(diào)問(wèn)題，現(xiàn)已有很多研究，包括耦合控制[2-3]和非耦合控制[4-5]兩大類，其中耦合控制中的交叉耦合控制在雙軸系統(tǒng)中的同步控制精度較高，適用于所研究的系統(tǒng)。但是交叉耦合控制策略在一軸受到擾動(dòng)后，另一軸也會(huì)失穩(wěn)，因此必須搭配新的控制策略來(lái)提高其穩(wěn)定性。許多學(xué)者將同步控制與跟蹤控制相結(jié)合，提出了粒子群優(yōu)化比例積分微分(proportion integral differential，PID)控制[6]、基于TSK型遞歸模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(TSK-type recurrent fuzzy neural network，TSKRFNN)控制[7]、動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制[8]、魯棒控制[9]等，都取得了不錯(cuò)的控制效果。滑?？刂朴捎诰邆渌惴ê?jiǎn)單、抗干擾能力強(qiáng)以對(duì)及建模參數(shù)變化不敏感等特點(diǎn)受到了廣泛的重視，并應(yīng)用在很多領(lǐng)域。然而滑模控制需要較大的切換增益來(lái)增強(qiáng)其魯棒性，隨之而來(lái)的是抖振的產(chǎn)生，文獻(xiàn)[10]使用飽和函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的切換面，并與模糊控制相結(jié)合來(lái)解決了系統(tǒng)參數(shù)不確定性問(wèn)題，但同時(shí)會(huì)削弱系統(tǒng)的抗攝動(dòng)性。文獻(xiàn)[11]采用變邊界層技術(shù)，折中了誤差與抖振的問(wèn)題，并使用參數(shù)自整定的方法來(lái)消除擾動(dòng)。

眾所周知，滑模面的品質(zhì)對(duì)趨近速度的影響較大。文獻(xiàn)[12]將雙環(huán)積分項(xiàng)加入滑模面的設(shè)計(jì)中，使控制系統(tǒng)響應(yīng)更快、無(wú)超調(diào)、魯棒性更強(qiáng)，但積分項(xiàng)的引入存在控制輸入變大以及收斂速度變慢的問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]引入時(shí)變參數(shù)從而改變滑模面的斜率，使系統(tǒng)始在滑動(dòng)階段，進(jìn)而提高了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[14]提出了將自適反推互補(bǔ)的滑?？刂撇呗耘c質(zhì)量辨識(shí)觀測(cè)器結(jié)合來(lái)抑制擾動(dòng)，取得了較好的全局控制效果，但設(shè)計(jì)的控制器較為復(fù)雜，在復(fù)雜環(huán)境下的應(yīng)用難度較大。

為此，首次將閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用在架橋機(jī)的起重小車上，通過(guò)分析架橋機(jī)起重小車實(shí)際架設(shè)墩柱過(guò)程，計(jì)算出走行電機(jī)與起升電機(jī)同步運(yùn)動(dòng)角位移關(guān)系式；然后建立起重小車起升與走行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)上述文獻(xiàn)的比較與啟發(fā)，基于交叉耦合控制策略，提出了一種新的時(shí)變參數(shù)滑模面；為了抑制控制器的抖振，設(shè)計(jì)新的變?cè)鲆婊Ｚ吔桑挥捎谄鹬匦≤囏?fù)載大，擾動(dòng)大，為提高起重小車在各種工況下的適應(yīng)性與抗擾動(dòng)性，設(shè)計(jì)一種新的時(shí)變擾動(dòng)滑模觀測(cè)器，以便有效估計(jì)并補(bǔ)償擾動(dòng)；最后對(duì)本文方法進(jìn)行穩(wěn)定性證明并使用數(shù)值仿真驗(yàn)證其有效性。

1 問(wèn)題描述

1.1 起重小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

起重小車架設(shè)墩柱如圖1所示，前后起重小車首先同步走行到架設(shè)區(qū)域，也就是圖中墩柱水平狀態(tài)，此時(shí)為初始位置。后起重小車在靠近前起重小車的同時(shí)需要起升電機(jī)降下吊具，因此，后起重小車的起升機(jī)構(gòu)與走行機(jī)構(gòu)需要符合一定的同步運(yùn)動(dòng)關(guān)系，才能保證架橋機(jī)在墩柱架設(shè)過(guò)程中的穩(wěn)定性。起重小車的走行與吊具的升降都是由電機(jī)來(lái)完成，起升電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩通過(guò)軸與減速器傳遞給卷筒從而控制吊具升降，走行電機(jī)同樣也是將轉(zhuǎn)矩輸出到車輪從而控制起重小車走行。

圖1 架橋機(jī)起重小車架設(shè)墩柱簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of erecting pier column by bridge erecting machine lifting trolley

1.2 同步運(yùn)動(dòng)關(guān)系

兩電機(jī)的運(yùn)動(dòng)比例關(guān)系分析如圖2所示。兩電機(jī)角位置關(guān)系可表示為

L為兩吊耳間距離；y1為起重小車走行距離，y1=θ1r1； y2為吊具下降距離，y2=θ2r2圖2 架橋機(jī)起重小車架設(shè)墩柱模型Fig.2 Model of pier column erected by crane trolley of bridge erecting machine

(1)

1.3 后起重小車動(dòng)力學(xué)模型

后起重小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)模型如圖3所示，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)的物理特性，并且考慮電機(jī)的非線性特性、干擾以及所施加的負(fù)載，起重小車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

G為吊具與重物的總重力圖3 后起重小車運(yùn)行系統(tǒng)模型Fig.3 Model of rear crane trolley running system

ui(t)-τi(t)

(2)

在電機(jī)模型的參數(shù)變化、摩擦力及各種擾動(dòng)的存在下，式(2)控制器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，由于滑?？刂频聂敯粜?，改寫(xiě)動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

τi(t)]

(4)

(5)

2 控制算法設(shè)計(jì)

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在各種擾動(dòng)存在的情況下系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)給定位置的準(zhǔn)確跟蹤和兩電機(jī)在整個(gè)吊裝過(guò)程中的同步。定義吊具與起重小車跟蹤誤差為

ei=xid-xi

(6)

定義同步誤差為

(7)

定義兩電機(jī)的交叉耦合誤差為

(8)

式(8)中：αi>0為同步誤差積分項(xiàng)系數(shù)。

取滑模面為

(9)

式(9)中：c1為時(shí)變滑模面參數(shù)；c2、c3、c4>0為滑模面系數(shù)；a>0為指數(shù)項(xiàng)參數(shù)。

c1(t)的表達(dá)式為

c1(t)=(φ1+φ2e-μt2)m

(10)

式(10)中：φ1、φ2>0為滑模面調(diào)整參數(shù)；m為指數(shù)項(xiàng)參數(shù)；μ>0為指數(shù)項(xiàng)參數(shù)；1

由于起升機(jī)構(gòu)與走行機(jī)構(gòu)的同步運(yùn)動(dòng)存在式(1)的位置比例關(guān)系，因此式(7)需要設(shè)計(jì)中間變量zi，從而保證同步誤差選取的準(zhǔn)確性。

c1(t)控制系統(tǒng)的收斂速度，但c1(t)的增大會(huì)使控制力也急劇增大，因此設(shè)計(jì)式(10)的時(shí)變參數(shù)，使系統(tǒng)在初始時(shí)刻有較大的值，隨著時(shí)間的變化會(huì)逐漸減小。c4的選取與初始時(shí)刻有關(guān)，取值盡量使系統(tǒng)在初始時(shí)刻位于滑模面附近，這樣可以提高控制器的魯棒性。

為了減弱控制器的抖振現(xiàn)象，設(shè)計(jì)趨近律為

(11)

q(s)=k(1-e-δ|s|)

(12)

式(12)中：k、δ>0為調(diào)整參數(shù)。

由式(12)可知，當(dāng)系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)離滑模面，即|s|增大時(shí)，q(s)趨近于k，當(dāng)系統(tǒng)誤差接近滑模面時(shí)，q(s)將逐漸趨向于零，從而使設(shè)計(jì)的控制器在不降低收斂速度的同時(shí)減弱抖振。

結(jié)合式(9)和式(11)可得控制力表達(dá)式為

(13)

證明建立Lyapunov函數(shù)：

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行求導(dǎo)，得

(15)

將式(13)代入式(15)得

(16)

2.2 擾動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了使系統(tǒng)適應(yīng)各種工況和擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了一種新的時(shí)變滑模擾動(dòng)觀測(cè)器，通過(guò)將實(shí)際系統(tǒng)與建立的擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行誤差比對(duì)，估計(jì)出擾動(dòng)，進(jìn)而反饋到實(shí)際系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)誤差的補(bǔ)償。

改寫(xiě)式(5)，將di記作系統(tǒng)的狀態(tài)變量，可得

(17)

(18)

(19)

式(19)中：βp、α>0為調(diào)整參數(shù)。

滑模擾動(dòng)觀測(cè)器的收斂速度與λp(t)有關(guān)，當(dāng)參數(shù)λp(t)越大時(shí)，收斂越快，λp(t)的設(shè)計(jì)是為了避免當(dāng)狀態(tài)觀測(cè)器的初值與原系統(tǒng)的初值不同時(shí)而產(chǎn)生的峰值現(xiàn)象，從而對(duì)觀測(cè)器的收斂效果產(chǎn)生影響。

將式(17)與式(18)相減得到誤差方程，可表示為

(20)

新的控制力可表示為

(21)

證明建立Lyapunov函數(shù)：

(22)

對(duì)式(22)進(jìn)行求導(dǎo)，并將式(20)代入得

(23)

若要使上式小于零，需滿足：

(24)

式(24)中：h為滑模安全因子，h>1 。

綜上所述，在滿足式(24)的參數(shù)選取原則下，式(18)所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器將在有限時(shí)間收斂到零。所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示。

w31、w32分別為起升電機(jī)和走行電機(jī)的干擾估計(jì)值圖4 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of control system

3 數(shù)值仿真

利用MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)，對(duì)所需要設(shè)計(jì)的復(fù)合滑?？刂破鲾?shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真,以此驗(yàn)證它們的控制特性。

起升電機(jī)各項(xiàng)參數(shù)為：J1=0.075 kg·m2，B1=0.02 N·ms/rad，L=8 000 mm，r1=300 mm，α1=30，φ1=3，φ2=3，μ=2，m=5/3，c2=1，c3=15，c4=-98，a=8，k1=0.8，k2=10，r=0.85，k=15，δ=0.8。

走行電機(jī)各項(xiàng)參數(shù)為：J2=0.007 kg·m2，B2=0.002 N·ms/rad，r2=200 mm，α2=30，φ1=3，φ2=3，μ=2，m=5/3，c2=1，c3=20，c4=-380，a=8，k1=0.8，k2=10，r=0.85，k=10，δ=0.8。

仿真1在無(wú)擾動(dòng)的情況下，驗(yàn)證控制器收斂速度，以及抑制抖振能力。起升電機(jī)目標(biāo)位置為x1d=5 rad，擾動(dòng)d=0，仿真時(shí)間為5 s，其結(jié)果如圖5所示。

圖5 無(wú)擾動(dòng)時(shí)仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results without disturbance

跟蹤誤差如圖5(a)、圖5(b)所示，所設(shè)計(jì)的控制器可以使吊具在0.8 s到達(dá)規(guī)定位置；電機(jī)控制力如圖5(c)、圖5(d)所示，抖振得到了很好的抑制；從圖5(e)可以看出，兩電機(jī)的同步誤差極小(0.06 rad)，并且誤差的收斂速度也很快(0.8 s)。

仿真2在仿真1的基礎(chǔ)上，施加常值擾動(dòng)d=1 N·m，并在3 s時(shí)刻加入突變擾動(dòng)d=2 N·m，所得結(jié)果如圖6所示。

圖6 常值擾動(dòng)仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of constant disturbance

結(jié)果顯示，在常值擾動(dòng)下，圖6(a)在3 s時(shí)幾乎看不出突變擾動(dòng)，圖6(b)是在3 s時(shí)的局部放大圖，可以看出，系統(tǒng)的同步誤差收斂速度幾乎沒(méi)有受到影響，在加入突變擾動(dòng)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)同步精度的影響極小(0.000 3 rad)，并且在很短的時(shí)間收斂。

仿真3在仿真1的基礎(chǔ)上加入擾動(dòng)干擾觀測(cè)器，施加持續(xù)時(shí)變擾動(dòng)d=2sint，控制器參數(shù)為：β1=15，β2=120，β3=300，α=10。

結(jié)果如圖7所示，估計(jì)誤差曲線與實(shí)際誤差曲線幾乎重合，表明觀測(cè)器的估計(jì)精度較高，將觀測(cè)器估計(jì)出的擾動(dòng)及時(shí)反饋到滑?？刂葡到y(tǒng)中，可以有效地補(bǔ)償擾動(dòng)，從而提升了系統(tǒng)的魯棒性。

圖7 時(shí)變擾動(dòng)仿真結(jié)果Fig.7 Time varying disturbance simulation results

4 結(jié)論

根據(jù)160 t全預(yù)制裝配式架橋機(jī)實(shí)際架設(shè)墩柱過(guò)程，分析了起升電機(jī)與走行電機(jī)同步運(yùn)動(dòng)角位移關(guān)系式，并結(jié)合交叉耦合控制策略，設(shè)計(jì)了在有一定比例關(guān)系的同步運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中的同步誤差獲取方法，避免了兩電機(jī)在耦合過(guò)程中存在控制參數(shù)紊亂的問(wèn)題。并設(shè)計(jì)了時(shí)變參數(shù)滑模面，提升了系統(tǒng)的魯棒性。接著設(shè)計(jì)了變?cè)鲆孚吔桑Y(jié)果顯示系統(tǒng)的收斂速度較高，抖振抑制效果明顯。然后為了提高系統(tǒng)在各工況下的適應(yīng)能力，設(shè)計(jì)了一種擾動(dòng)滑模觀測(cè)器，結(jié)果顯示，觀測(cè)器的估計(jì)性能較高，穩(wěn)定性較強(qiáng)。通過(guò)Lyapunov理論證明了上述方法可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂。最后通過(guò)數(shù)值仿真證明了整個(gè)系統(tǒng)具有較快的收斂速度與較高的精度和抗干擾能力，為架橋機(jī)提升架設(shè)速度與精度提供了一種可靠的方案。