例析數(shù)學(xué)思想在解答不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

候秀麗

不等式問(wèn)題的形式多種多樣，如解不等式、求參數(shù)的取值范圍、比較兩式的大小、證明不等式恒成立等.此類問(wèn)題側(cè)重于考查同學(xué)們的運(yùn)算能力和邏輯推理能力.而靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，能有效幫助我們快速求得問(wèn)題的答案.本文重點(diǎn)探討了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想在解答不等式問(wèn)題中的應(yīng)用.

一、靈活運(yùn)用函數(shù)思想

函數(shù)思想是指運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的思想.在解答不等式問(wèn)題時(shí)，我們可以將不等式進(jìn)行合理變形，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，然后借助函數(shù)的圖象來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、最值等，建立新關(guān)系式，從而證明不等式成立或者求得不等式的解.

例 1.

解：

我們首先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù) f（x）的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，根據(jù)不等式恒成立建立關(guān)于參數(shù) a 的不等式，解不等式即可求得 a 的取值范圍.

二、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是解答函數(shù)、不等式問(wèn)題的重要方法.在解題時(shí)，我們需先畫出相應(yīng)的圖形，通過(guò)分析圖形找出使不等式恒成立的極端情形，建立新關(guān)系式，便可求得不等式的解集或者參數(shù)的取值范圍.

例2.已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)c 的取值范圍是____.

解：

由圖象可知當(dāng)f（x）的值域?yàn)?/p>

解答本題，我們只需根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，然后結(jié)合圖象明確函數(shù)取得最值的情形，求出函數(shù)取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的 x 的值，即可求得 c 的取值范圍.

三、靈活運(yùn)用分類討論思想

分類討論思想是指把所有研究的問(wèn)題分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)求解的思想.在解答不等式問(wèn)題時(shí)，我們需要根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，把問(wèn)題進(jìn)行分類，可按照參數(shù)的取值來(lái)進(jìn)行分類，也可按照問(wèn)題的不同情況進(jìn)行分類，還可按照不等式成立的條件來(lái)分類，等等.在分類后，對(duì)各種情況逐一進(jìn)行研究、討論，最后綜合所得的結(jié)果即可.

例3.解不等式

解：將不等式變形可得

在本題中，a 為參數(shù)，而不等式的解受 a 影響，所以需對(duì)a進(jìn)行分類討論，可分為a >1、0

不等式問(wèn)題是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，在解題時(shí)我們不僅要熟練運(yùn)用相關(guān)的不等式知識(shí)類求解，還要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)輔助解題，這樣才能使解題變得更加高效.

（作者單位：山東省青島市即墨區(qū)第二中學(xué)）