充分理解算理合理優(yōu)化算法

孫艷君

【摘要】掌握算法和探究算理是計(jì)算教學(xué)的兩大任務(wù)，算法本身雖易掌握，但其背后的算理卻不簡單.本文以小數(shù)除法為例，以分析學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)為基礎(chǔ)，使用多種方法促進(jìn)學(xué)生理解算理，借助數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生突破知識難點(diǎn)，對比多種算法之間的聯(lián)系，通過知識的遷移幫助學(xué)生在優(yōu)化算法的同時理清除法的知識脈絡(luò).

【關(guān)鍵詞】算理;算法;小數(shù)除法

一、理解學(xué)習(xí)目標(biāo)

小學(xué)階段的除法知識共包括三個部分：整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法，其中小數(shù)除法是除法計(jì)算教學(xué)中的難點(diǎn)和易錯點(diǎn).根據(jù)除數(shù)的不同，小數(shù)除法分為除數(shù)是整數(shù)、除數(shù)是小數(shù)兩部分.小數(shù)除以整數(shù)是小數(shù)除法的起始課，由于除數(shù)是小數(shù)的除法要通過商不變的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法來計(jì)算，所以小數(shù)除以整數(shù)是學(xué)習(xí)小數(shù)除法計(jì)算的基礎(chǔ).除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，其豎式算法和整數(shù)除法基本相同，只要將商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊就行了.豎式算法本身雖簡單，其背后的算理卻不簡單.

本節(jié)課是小數(shù)除法的第一課時，如何幫助學(xué)生把整數(shù)除法的算理和計(jì)算方法遷移到小數(shù)除法上來，并在學(xué)生頭腦中形成除法的知識脈絡(luò)是這節(jié)課的關(guān)鍵，如何幫助學(xué)生理解商的小數(shù)點(diǎn)定位的緣由是這節(jié)課的重點(diǎn)及難點(diǎn).

二、分析學(xué)習(xí)起點(diǎn)

學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法最直接的知識基礎(chǔ)是整數(shù)除法，在計(jì)算的過程中還會涉及元角分與小數(shù)、小數(shù)的意義、小數(shù)的加減法、小數(shù)乘法等.筆者在上課前做了一個問卷調(diào)查：“9.2÷4你會計(jì)算嗎？如果會算，把你的方法寫在下面.”

9.2÷4，這個算式你能算出得數(shù)嗎？在符合情況的括號里打“”.

A.能（）B.不能（）

如果會算，請你把計(jì)算的方法寫在下面，會幾種就寫幾種.

方法一：[]

方法二：[]

方法三：[]

方法四：[]

方法五：

在符合情況的括號里打“”.

A.這樣的算式你在課外班學(xué)過.（）

B.這樣的算式你的父母教過你.（）

C.這樣的算式你以前沒學(xué)過，是現(xiàn)在自己想出來的.（）

分析學(xué)生的問卷之后，筆者發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生選擇用豎式解決問題，原因是豎式算法的簡捷給學(xué)生留下了深刻印象，列豎式已經(jīng)成為學(xué)生的習(xí)慣算法.

一部分學(xué)生用商的變化規(guī)律把被除數(shù)擴(kuò)大到原數(shù)的10倍，再把商縮小到原數(shù)的1[]10來做，其原因是四年級學(xué)生正是由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時期，更多的學(xué)生喜歡用較高級的抽象邏輯思維解決問題.

一少部分學(xué)生選擇用單位換算的方法，其原因與學(xué)生三年級時學(xué)習(xí)的元角分與小數(shù)的關(guān)系有關(guān)，但由于隔的時間相對長一些，這個知識不容易被遷移過來.

極少學(xué)生用分方格圖的方法，其原因：一是學(xué)生不習(xí)慣用小數(shù)的意義解決問題;二是有的時候形象思維比抽象思維更難;三是學(xué)生沒有積累畫圖經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)教材的設(shè)計(jì)和安排，畫圖一般是由教師呈現(xiàn)幫助學(xué)生理解抽象的算理的.學(xué)生認(rèn)知的軌跡是由直觀到抽象、由已知到未知、由簡單到復(fù)雜，循著這一軌跡，教師可創(chuàng)設(shè)活動、設(shè)計(jì)教學(xué)、引領(lǐng)生成，凸顯數(shù)學(xué)思想中的“轉(zhuǎn)化”“類推”，以簡馭繁，建構(gòu)算法.

三、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)及意圖

（一）通過多種方法鋪墊促進(jìn)學(xué)生理解算理

筆者把這節(jié)課的任務(wù)分為兩部分：一是先不用豎式，獨(dú)立探索11.5÷5的商是多少，二是用豎式計(jì)算11.5÷5.為什么要分開探究呢？原因是筆者第一次試講時是沒有分開的，學(xué)生選什么方法都可以，包括豎式的方法，但大多數(shù)學(xué)生直接選擇用豎式進(jìn)行探究，而這會淡化學(xué)生對算理的理解.故為了讓每個學(xué)生都能完整經(jīng)歷小數(shù)除法豎式的探究過程，筆者將任務(wù)分為兩部分，以借助多種方法使學(xué)生充分理解算理.

（二）借助數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生突破知識難點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合一直是學(xué)生理解算理的最佳途徑.一年級百以內(nèi)的加減法與實(shí)物圖、小棒圖的結(jié)合，二年級大數(shù)的加與減與計(jì)數(shù)器和方塊圖的結(jié)合，三年級小數(shù)的加與減與方格圖的結(jié)合，可以說，這些圖為學(xué)生理解抽象算理提供了直觀的模型.隨著年級的增高，這些圖本身也是由形象到具象，再到抽象.

教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，適時運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生直觀感知分方格的過程，明確商的小數(shù)點(diǎn)如此定位的緣由，使其真正理解算理.適時運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把豎式和前面分方格圖的方法聯(lián)系起來，能讓學(xué)生直觀感知分的過程，幫助學(xué)生理解算理.本節(jié)課是小數(shù)除法與方格圖的結(jié)合，通過分格子圖能讓抽象能力相對較弱的學(xué)生經(jīng)歷平均分的過程，并使他們深刻認(rèn)識到當(dāng)分到1.5不會分的時候，可以把1個正方形轉(zhuǎn)化成10個小條，和剩下的5個小條和在一起變成15個小條，這樣再平均分成5份，每份就是3個小條，這也為抽象能力強(qiáng)的學(xué)生提供了直觀的數(shù)學(xué)模型.

（三）通過對比疏通多種算法之間的聯(lián)系

在不用豎式計(jì)算環(huán)節(jié)，學(xué)生使用的方法主要是利用元角分的關(guān)系進(jìn)行單位換算、利用商的變化規(guī)律、分方格圖等.在學(xué)生分享了多種計(jì)算方法之后，教師引領(lǐng)其溝通了三種算法之間的聯(lián)系.

首先是單位換算方法和擴(kuò)大10倍方法之間的聯(lián)系.單位換算方法是通過1元=10角，把11.5 元轉(zhuǎn)化成115角來分，是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成了整數(shù)除法.商的變化規(guī)律的方法是通過擴(kuò)大10倍把11.5轉(zhuǎn)化成115，擴(kuò)大10倍方法也是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，發(fā)現(xiàn)這兩個方法的實(shí)質(zhì)是一樣的.

其次是分格子圖的方法和豎式方法的聯(lián)系.當(dāng)學(xué)生探究豎式遇到小數(shù)點(diǎn)該不該落的問題時，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分格子圖的方法，通過把1個一轉(zhuǎn)化成10個0.1，從而把1.5轉(zhuǎn)化成15個0.1，從而理解之所以小數(shù)點(diǎn)不落，是因?yàn)橐值倪@個數(shù)是15個0.1，而且只有這么分才好分.

這三個轉(zhuǎn)化的共通之處就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法.

（四）運(yùn)用遷移幫助學(xué)生優(yōu)化算法的同時理清除法的知識脈絡(luò)

在這之前，學(xué)生學(xué)習(xí)的是關(guān)于整數(shù)除法的知識，通過觀察比較129÷6和12.9÷6，學(xué)生可體會到其實(shí)整數(shù)除法和小數(shù)除法的算理是完全相同的，都是在一個大的計(jì)數(shù)單位不夠分的時候，將其轉(zhuǎn)化成下一個相對較小的計(jì)數(shù)單位接著分，只不過整數(shù)除法分到個位就停了，而學(xué)完小數(shù)之后，就可以把計(jì)數(shù)單位一分成若干個0.1后繼續(xù)分，還可以把計(jì)數(shù)單位0.1分成若干個0.01繼續(xù)分，直到全部分完為止.

孫曉天教授說過：如果把思想和經(jīng)驗(yàn)定為目標(biāo)，如果給學(xué)生留出充分的探究空間，如果教師在理解算理、發(fā)現(xiàn)合理簡捷的運(yùn)算方法方面多一些引導(dǎo)，那么運(yùn)算就會成為一塊孕育發(fā)現(xiàn)能力的富饒土壤.希望這節(jié)運(yùn)算課的學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)知識的真諦.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]馬曉鈺.小學(xué)生小數(shù)除法理解水平的調(diào)查研究[D].上海師范大學(xué)，2020.

[4]史寧中.關(guān)于除數(shù)是分?jǐn)?shù)或者小數(shù)的一個注[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（5）：1.