最早的數(shù)目觀念

吳文俊

數(shù)目觀念是在人們長期實踐的基礎(chǔ)上逐漸形成的.最初形成的無疑應(yīng)是基數(shù)而不是序數(shù).

原始社會的人對數(shù)目的認(rèn)識，從“一”和“多”開始，后來才逐漸對“二”“三”有了認(rèn)識，但只是作為一些物體的個數(shù)而反映在人的頭腦中.因此，最初的數(shù)目都和具體對象聯(lián)系在一起，如一只羊、兩根木棒等.在通常情況下，人們可以通過手指、石子等簡單的方式“數(shù)”出物體的個數(shù).

數(shù)目觀念的發(fā)展經(jīng)過了一個漫長的過程，由一、二等到十幾、幾十個數(shù)目可能要上萬年甚至幾萬年.舊石器時代的人在骨器、石器上刻劃數(shù)字.在石器上不易留下較細(xì)小的刻痕，但是陶器則便于反映數(shù)目.從出土的文物中我們就可以發(fā)現(xiàn)，在許多方面反映出新石器時代以后人們對數(shù)目的認(rèn)識.如河姆渡出土的大量骨耜有兩個穿繩的孔，半坡出土的尖底陶器有兩個耳，由此圖1河姆渡陶器上的四葉紋可判斷，當(dāng)時人們一定知道“二”.在許多地方出土的陶器是三個足的，當(dāng)時人們不僅知道這樣做的陶器具有穩(wěn)定性，而且應(yīng)該知道“三”這個數(shù)目.在河姆渡出土的陶器上刻有四葉紋（如圖1）.雖然這是孤例，但結(jié)合當(dāng)時河姆渡人的整體認(rèn)知水平來看，完全能認(rèn)識“四”，而且所知的數(shù)目要比這大得多.在半坡出土的一些陶器上有排列整齊的點，由一個到八個（如圖2），可以說這是“八”的反映.

計（或記）數(shù)的方法有許多種，有記載的有兩種.一是結(jié)繩，一是刻劃.《易·系辭》上說：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”.至于這兩種方法起源于何時，我們很難找到準(zhǔn)確的答案.有些古籍上說，從軒轅（黃帝）到伏羲、神農(nóng)等的很長一段歷史時期都是“民結(jié)繩而用之”，或說伏羲“結(jié)繩而治”.三國時虞翻在所著《易九家義》中引東漢鄭玄的話說“事大，大結(jié)其繩;事小，小結(jié)其繩.結(jié)之多少，隨物眾寡”，這里把結(jié)繩的用法和表示數(shù)目的意思說得比較清楚.這些記載雖然很晚，但是在原始社會結(jié)繩無疑是普遍使用的記數(shù)方法，而且延續(xù)了很長時間，甚至直到很晚以后還有些民族仍在使用.可是結(jié)繩用的材料麻、毛、草等都不易長期保存，所以現(xiàn)在想找到四、五千年以前原始社會的結(jié)繩實物無法辦到.

刻劃與結(jié)繩完全不同，刻劃所用的材料骨、石、陶器等都能長期保存，甚至幾萬年都沒有問題.目前所見的早期的刻劃記數(shù)實物主要是骨質(zhì)的.根據(jù)考古發(fā)現(xiàn)，可以說明中國對數(shù)目的認(rèn)識相當(dāng)早.1963年在山西朔縣峙峪村北出土了約二萬八千年前的許多獸骨，其中不少的骨片上留有數(shù)目不等的刻劃，五以內(nèi)的斜紋較多，這表明當(dāng)時人們已經(jīng)知道這些簡單的數(shù)目并能運用.其中一個刻劃的“普氏小羚羊”圖上的角是兩個，而不是一個或三個.經(jīng)顯微觀察發(fā)現(xiàn)：普氏小羚羊腹下另加了四道淺劃，表示羚羊的腿是四個而不是一個.這也許是早期運用數(shù)目的實例之一吧.

在北京房山縣周口店有一萬多年前的舊石器時代遺址，考古學(xué)者把那處遺址命名為山頂洞“. 山頂洞人”對數(shù)目的認(rèn)識也有較高水平.在那處遺址中出土了四個骨管，可能是刻劃記數(shù)的實物標(biāo)本.這四個骨管上都有橫向磨制的符號，形狀多是圓點，有兩個長圓形（如圖3）.其中有一個長圓形圍著骨管半圈，展開成平面，就是個長條.和骨管A相對的兩個側(cè)面分別有一個圓點和兩個圓點，共三個圓點;和骨管 B 相對的兩個側(cè)面，一面有三個圓點，另一面有兩個圓點，共五個圓點;和骨管C相對的兩個側(cè)面，一面有兩個圓點，一面有一個，在另外一個側(cè)面有一個長圓點，共四個點;骨管D只有一個長條形符號.從這些符號的排列方式，可以初步推測出“山頂洞人”對于數(shù)目的觀念.他們用一個圓點表示一，兩個圓點并列表示二，三個圓點并列表示三;把五個圓點排成兩排，合起來是五個，是表示二加三等于五;一個加兩個等于三個.長圓形可能表示“十”.如果把這些骨管都展開成平面，上面的符號排列就像圖 4 那樣，它們應(yīng)分別代表“三”“五”“十”和“十三”，是一種十進(jìn)制思想。

根據(jù)上述情況來看，舊石器時代末期的刻劃記數(shù)反映出當(dāng)時的人們已經(jīng)有了較高的數(shù)學(xué)水平.

到了新石器時代，人們的數(shù)學(xué)水平又有了提高，表現(xiàn)在不斷有新的記數(shù)方法出現(xiàn).青海樂都柳灣的刻痕記數(shù)就是其中之一.

1974 年至 1978 年，在青海樂都縣柳灣發(fā)掘了1500座新石器時代末期基葬，共出土3萬余件各種文化遺物，這些文化遺物屬于馬廠、半山、齊家和辛店四種文化類型.在前兩種文化中出土了許多帶刻口的小骨片：半山類型的一批1000多枚，其中帶刻口的一類為長方形，大小差不多，長約2～2.4厘米，寬約0.5～1厘米，厚約0.1厘米.在長邊上有的一邊有刻口，有的兩邊有刻口，少者有1個刻口，多者有8個刻口，有兩件的正面還刻有“×”形紋.器形整齊規(guī)則，磨制精致（如圖5）.

馬廠類型的長方形帶刻口的骨片共48枚，均長2.3厘米，分三型：在一條長邊上有一個刻口;在一條長邊上有一個刻口，另一條長邊上有兩個刻口;在兩條長邊上分別各有兩個和三個刻口（如圖6）.

這些骨片的用途是什么呢？有人認(rèn)為馬廠類型的這些骨片大約是用作記事、記數(shù)或通訊聯(lián)絡(luò)的.這種說法是有道理的，但還應(yīng)作進(jìn)一步的解釋.每一個刻口都表示“一”，五個刻口累加起來就是“五”，……用累加的方法可以表示較大的數(shù)，例如1+3+5=9.馬廠類型刻口骨片中涉及的最大數(shù)為五.半山類型的刻口骨片最大數(shù)為八，每個骨片所能表示的數(shù)均不超十，與十進(jìn)制相符.我們有理由認(rèn)為，那時已有了加法運算和十進(jìn)制，如果和舊石器時代末期的數(shù)學(xué)水平相比較，這個認(rèn)識是理所當(dāng)然的.

對于柳灣出土的刻口骨片，還有另一種理解，就是作為交換用的原始貨幣，刻口是“面值”.墓主人保存的具有“面值”的骨片相當(dāng)于一筆財富，很可能是用某些物品交換回來的.這樣理解，同樣有記數(shù)（或計數(shù)）的意義，就像現(xiàn)代人所理解的錢數(shù)那樣.至于帶“×”形刻劃的骨片，也許是表示“大面值”，這尚需進(jìn)一步研究.

原始社會的人對數(shù)目的認(rèn)識還表現(xiàn)在符號記數(shù)方面.符號記數(shù)和刻劃記數(shù)是兩回事，后者比前者原始，但毫無疑問，前者是從后者演變來的.就是說把某些刻劃固定下來，有的稍加改造就變成數(shù)字符號了.這個演變過程是從什么時代開始的，持續(xù)了多長時間，現(xiàn)在還不能肯定地回答.從目前已掌握的情況來看，大約開始于舊石器時代末和新石器時代初（即約1萬年前后），新石器時代前期就應(yīng)當(dāng)有固定的數(shù)字符號，到新石器時代中期已經(jīng)演變完了，再往后就是數(shù)字符號本身的變化，與原來的刻劃完全分離.

在西安半坡、姜寨到青海柳灣、山東城子崖等新石器時代中晚期遺址中出土的物品上的數(shù)學(xué)符號，最后基本上和后來甲骨文中的數(shù)目字相銜接，從中我們大體上能看出字形演變的過程.

在半坡出土的陶器上有許多刻劃符號，其中被辨認(rèn)出來的數(shù)字符號有“×”（五）、“A”（六）、“+”（七）、“）（”（八）、“1”（十）和“”（二十）等六個.在姜寨出土的陶器上也有數(shù)字符號，比半坡多“—”（一）和“Ⅲ”（三十），而少“）（”（八）.雖然這些數(shù)字符號不連續(xù)（如九尚未被辨認(rèn)出來），但是我們可以根據(jù)推理補上一些，如下：

這套數(shù)字是十進(jìn)制的.由于這些符號沒有連接在一起，所以是否有非十的倍數(shù)的兩位數(shù)就無法斷定.由此推之，當(dāng)時人們肯定知道如十一、二十四等數(shù)目，很可能是分兩次記錄，即如“|一”“”等.后來演變成合書.

柳灣出土的彩陶上有彩繪符號，其中有的應(yīng)是數(shù)目字（圖7）.從個數(shù)來看，比半坡、姜寨的要多些，有些字形也有變化，有的數(shù)目有好幾種寫法.大于九的數(shù)字明顯增加，很可能有了十位數(shù)與個位數(shù)的合書.但有些符號的意義還不很明確，在下面的表中把這些符號的數(shù)字加上問號“？”.

和柳灣同時代的山東城子崖、上海馬橋等新石器時代末期的遺址所出土的陶器上都有數(shù)字符號.馬橋的陶器符號中有“”“+”和“|”，分別是五、七和十，五的這種寫法是首次出現(xiàn)在馬橋陶器上的數(shù)字符號，較為重要.在城子崖出土的雖然只有相當(dāng)于七、十、十二、二十和三十等五個數(shù)目的符號，但是在寫法上更為明確，如圖8.

通過上述事實，可以大體上看出一些數(shù)目字的演變過程.演變的原因大致有兩個：其一是為了簡化;其二是避免混淆.最初的數(shù)目用刻劃方法表示，要刻好多劃，如六就要刻六劃，九要刻九劃，……太麻煩，人們必須要改變，因而從五起就不用一道一道地去刻，而是改用兩劃、把排列方向改變，這就有×、A、+、）（、九，簡單多了.合書也是一種簡化.當(dāng)“=”與“||”，“”與“|”、“=”與“”，“×”與“+”等中的某個符號獨立出現(xiàn)在一個陶片上，而這陶片又無法判斷上下（即器口和器底）時，便不能分清它是哪一個數(shù)字，所以就在“×”的上下加橫而變?yōu)椤啊?，在“|”“||”“”底下加橫，而變?yōu)椤啊薄啊薄啊?，寫快了就成為“”“”“?這樣一來，就不會出現(xiàn)混淆了，不過對“—”與“|”仍然沒有辦法嚴(yán)格區(qū)別，這個問題直到西周時期才解決.

數(shù)目字的出現(xiàn)和演變時期，和一些與數(shù)學(xué)有關(guān)的歷史傳說基本相符.流傳最廣的是“隸首造數(shù)”說，據(jù)記載：“黃帝時隸首作數(shù)”“隸首，黃帝之臣，一說隸首善算者也……”又有記載說：“自伏羲畫八卦，由數(shù)起，至黃帝、堯、舜而大備.”這里的傳說人物伏羲、黃帝、隸首、堯、舜等的時代都在新石器時代中晚期，伏羲最早，相當(dāng)于仰韶文化時期;其余則屬于馬家窯、齊家、大汶口等文化時期，與柳灣、城子崖等遺址的時代一致.李儼認(rèn)為伏羲“是歷史傳說中最先知算的人物”.伏羲的傳說活動地點在今甘肅省天水市一帶，那里有后人修的伏羲廟.天水縣西北秦安縣大地灣新石器遺址初步反映出來的高文化水平，與有關(guān)伏羲的傳說正好相吻合.還有一種傳說：垂（亦作垂）是黃帝時代（又有說是堯時代）人，“為規(guī)矩、準(zhǔn)繩，使天下仿焉”.這個傳說和前述對圖形的繪制和已具備的幾何知識相一致.

根據(jù)上述事實，我們認(rèn)為有關(guān)早期數(shù)學(xué)的傳說，不是無稽之談.至于是否真有那些人物，這是無關(guān)緊要的，可以將其理解為那個時代有關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展的人物的象征.

——摘自《中國數(shù)學(xué)史大系·第一卷》