例談求線面角的兩種思路

李晨

立體幾何中的線面角問題是高中數(shù)學中“老生常談”的一類問題.此類問題側(cè)重于考查同學們的空間想象和運算能力.解答這類問題的思路一般有兩種：借助直接法和向量法.本文以一道典型題目為例談一談解答立體幾何中線面角問題的思路.

例題：

要解答本題，我們需先結(jié)合圖形找出對應的邊、角及其關(guān)系，然后結(jié)合直線與平面所成的角的定義找出對應的線面角以及線面角所在三角形的邊長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義求得直線 VB 與平面 CMN 所成角的正弦值.有如下兩種思路.

思路一、采用直接法

直接法是解答高中數(shù)學問題的基本方法，是指根據(jù)題意，靈活運用相關(guān)的公式、定義、定理等進行求解的方法.該方法一般適用于較為簡單的題目.要求得直線 VB 與平面 CMN 所成角的正弦值，我們需先根據(jù)直線與平面所成角的定義找到 VB 在平面 CMN 內(nèi)的射影，而該射影很難直接找到，可利用等體積法，求得 B 到平面 CMN 的距離，構(gòu)造出直角三角形，再運用正弦函數(shù)的定義求得結(jié)果.

解：

思路二、借助空間向量

運用空間向量解答立體幾何中的線面角問題，要先根據(jù)已知的空間位置和邊角關(guān)系建立合適的空間直角坐標系，然后用向量表示出各個點、線段、平面，通過空間向量運算求得所求直線的方向向量與平面的法向量，運用公式即可求得線面角的余弦值.

解：

在建立空間直角坐標系后，通過空間向量運算便可求得 VB 的方向向量以及平面 CMN 的法向量，運用公式即可解題.

上述兩種思路都是解答立體幾何中線面角問題的重要思路.同學們在解題時還應注意直線與平面所成角的范圍為[0， ]，確保其正余弦值都為正數(shù)，避免出現(xiàn)不必要的錯誤.

（作者單位：遼寧省遼陽市第一高級中學）