求二面角的方法

陳秀林

空間角主要包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.求二面角的大小是一類常見的問題.本文重點(diǎn)介紹求二面角大小的四種方法：定義法、向量法、面積投影法、三垂線定理法.

一、定義法

過二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小時(shí)，我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義來求解.首先在二面角的棱上選取一點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則兩條垂線的夾角，即為二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.

例題：

解：

利用定義法求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角.在作圖的過程中要充分利用題目條件中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形三線合一的性質(zhì)、菱形或正方形的對(duì)角線相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在構(gòu)造二面角的平面角時(shí)，常用的方法還有垂面法，即經(jīng)過兩個(gè)面的垂線的平面與兩個(gè)平面的交線所夾的角即為二面角的平面角.

二、三垂線法

三垂線法是指利用三垂線定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角時(shí)，需過其中一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，再經(jīng)過垂足作棱的垂線，連接該點(diǎn)與棱上的垂足，進(jìn)而構(gòu)造出與二面角的平面角相關(guān)的角，再結(jié)合圖形中的垂直關(guān)系求得二面角的大小.以上述例題為例.

解：

此法與定義法的不同之處是將所求二面角的相關(guān)角置于直角三角形中，從而使解題的過程更加簡(jiǎn)潔.

三、向量法

向量法是通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將所求的二面角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角的方法.解題的思路是通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出夾角，再利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系來確定二面角的大小.值得說明的是，二面角的平面角與法向量的夾角的關(guān)系是相等或互補(bǔ).以上述例題為例.

解：

向量的引入降低了立體幾何問題的難度，但對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力提出了更高的要求.求法向量的原則是先找后求，即如果存在一條已知的直線與二面角的某一個(gè)平面垂直，則該直線的方向向量即可視為此平面的法向量.

四、投影法

投影法，即為構(gòu)造出二面角的兩個(gè)平面中的一個(gè)平面在另外一個(gè)平面內(nèi)的投影，從而利用此平面與其投影的夾角θ來判斷所求二面角的大小的方法.若該平面與其投影的面積分別為 S1，S2，則與所求二面角的關(guān)系有兩種，即相等或互補(bǔ).以上述例題為例.

解：

在本題中，三角形 ECB 與其在面上的投影 EOC 的夾角即為所求二面角的補(bǔ)角，而兩角互補(bǔ)，則其正弦值相等，所以可直接利用投影法來求解.

一般地，求二面角的問題主要有兩類，即求有棱二面角的大小和無棱二面角的大小，雖然圖形有所不同，但解題的方法基本上一致.同學(xué)們?cè)诮忸}的過程中要注意仔細(xì)審題，擇優(yōu)而用.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）