地球衛(wèi)星動力學定軌中攝動模型的選取

張 峰 張香莎 高旭東

1.火箭軍工程大學導彈工程學院，西安 710025

2.黃河交通學院汽車工程系，河南 焦作 454950

0 引言

航天領域的發(fā)展越來越成為世界各國綜合國力的體現(xiàn)，而航天器的在軌運行情況無疑是航天領域中最為重要的環(huán)節(jié)之一。幾十年來，世界各國科學家在航天器在軌運行方面付出了巨大努力，力求得到最逼近于實際情況下的航天器在軌運行狀態(tài)[1-3]。

在動力學定軌中，衛(wèi)星動力學模型的準確與否直接影響導航精度。衛(wèi)星動力學模型中包含了最基本的二體模型以及各種攝動模型，但是各種攝動模型對于不同軌道衛(wèi)星的影響量級不同。針對不同軌道及定軌精度要求，需要選取不同的攝動模型。特別是隨著我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)的全面組網(wǎng)運行，不少學者研究動力學定軌中的攝動模型[4-7]。

在動力學定軌的攝動模型研究中，文獻[1]主要針對低軌衛(wèi)星星座精度定軌及運行控制進行了綜述；文獻[2]針對太陽攝動的真實力學模型下地月系平動點的不穩(wěn)定性進行研究；文獻[3]主要驗證了不同重力場的適用范圍，從計算精度和效率兩方面制定了優(yōu)化的定軌策略；文獻[4,6]主要考慮太陽光壓對定軌影響；文獻[5]設計的歷書擬合模型主要適用于地球靜止軌道和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星。目前，關于衛(wèi)星定軌研究多是從某一方面建模分析，系統(tǒng)性的建模分析研究較少。

本文對地球軌道衛(wèi)星動力學模型的地球非球形攝動、大氣阻力攝動、太陽光壓攝動和日月引力攝動等4個主要攝動因素進行了建模及仿真，計算了各種攝動模型下低軌和高軌衛(wèi)星的星歷，并由星歷反求出其在二體模型下的軌道六根數(shù)，進而分析各攝動項對不同軌道高度衛(wèi)星的影響；最后給出了三種軌道的攝動模型星歷與其二體模型星歷的最大標量誤差[8-10]。

1 二體模型及軌道六根數(shù)

如圖1所示，在討論二體模型之前，先建立一個慣性坐標系，將在此坐標系下，對質量為m的衛(wèi)星和質量為M的地球的運動狀態(tài)進行分析[11-13]。

圖1 二體模型

圖中E表示地球，S表示衛(wèi)星，rE是地球位置在O-XiYiZi坐標系中的矢量表示，rs是衛(wèi)星位置的矢量表示，r是衛(wèi)星相對于地球的位置。

在此坐標系中，以地球為中心天體，忽略衛(wèi)星質量，對衛(wèi)星進行受力分析，進而得到衛(wèi)星相對于地球的運動方程：

(1)

其中，μ=GM是地球引力常數(shù)，e是由地球指向衛(wèi)星的單位向量。對二體模型下衛(wèi)星的運動方程求解，可以得到軌道六根數(shù)。

軌道六根數(shù)如圖2所示，半長軸決定了衛(wèi)星軌道的大小；偏心率決定了衛(wèi)星軌道的形狀；軌道傾角和升交點赤經(jīng)Ω共同決定了衛(wèi)星軌道平面相對與地球赤道平面的位置；近地點幅角ω決定了衛(wèi)星在其軌道平面內軌道的走向；飛行器過近地點的時刻、初始時刻的真近點角以及初始時刻的平近點角則給出了衛(wèi)星在軌道內的相對位置[14]。

圖2 軌道六根數(shù)示意圖

本文仿真使用的衛(wèi)星軌道參數(shù)如表1所示。

表1 軌道參數(shù)

2 攝動模型對軌道參數(shù)影響分析

2.1 地球非球形攝動

地球非球形攝動主要影響衛(wèi)星軌道平面傾角，使其逐漸減小，并使衛(wèi)星軌道平面產(chǎn)生一種被稱為軌道面進動的長期變化[15]。此外還會對衛(wèi)星運動引起其它的攝動，這些攝動將會影響衛(wèi)星軌道根數(shù)的變化，尤其對低軌衛(wèi)星的影響較為顯著。

在地固坐標系中，地球引力勢和引力導致的加速度的表達式為：

(2)

(3)

式中：

(4)

將地固坐標系下的加速度通過轉換矩陣轉為地心慣性系下的加速度：

(5)

本文在20×20引力場模型(J20.20)下進行了衛(wèi)星星歷計算，并反求出衛(wèi)星每個時刻星歷所對應的二體模型下的六根數(shù)，仿真結果如圖3～4所示。

可以看出，地球非球形攝動使低軌衛(wèi)星軌道發(fā)生了旋轉，如圖3(a)所示，這種變化稱之為軌道面進動；低軌衛(wèi)星運動一天的時間內其軌道傾角隨時間的變化最大可達1.2×10-2°，升交點赤經(jīng)變化最大可達1°，如圖3(b)、(c)所示。這些變化是導致衛(wèi)星軌道面進動的直接原因。

圖3 地球非球形攝動下低軌衛(wèi)星仿真結果

高軌衛(wèi)星運動一天的時間內其軌道傾角隨時間變化的最大值只有2.5×10-5°，升交點赤經(jīng)變化最大值不到2×10-2°，如圖4(b)、(c)所示。高軌衛(wèi)星軌道如圖4(a)所示，與圖3(a)相比較，地球非球形攝動對高軌衛(wèi)星的影響較小，這是由于引力與距離的二次方成反比關系，軌道越高，影響越小。

圖4 地球非球形攝動下高軌衛(wèi)星仿真結果

2.2 日、月引力攝動

如圖5所示，衛(wèi)星在軌運動時，不僅受到地球對其的引力，同時太陽和月球也會對其有引力作用，并且太陽和月球還會對地球有引力作用，二者作用力之差，便是日、月引力攝動。

圖5 三體模型

由衛(wèi)星、地球、日月的幾何關系對衛(wèi)星進行受力分析，得到衛(wèi)星的加速度表達式：

(6)

其中，S、M分別表示太陽和月球；MS,MM分別表示太陽和月球的質量；Δrj是攝動體到衛(wèi)星的中心距離，Δrj=r-rj，r,rj是衛(wèi)星和攝動體在地心慣性系中的位置矢量。

由式(6)可以看出，只要求出攝動體在地心慣性系中的位置矢量，便可以得到衛(wèi)星的加速度。在實際應用中，由于日、月引力遠小于地球對衛(wèi)星的引力，因此在計算日、月攝動下的衛(wèi)星加速度無需知道日、月的精確坐標。多數(shù)情況下，使用低精度的日、月坐標就可以使計算精度達到0.1%～1%[17]。

太陽引力攝動的仿真結果如圖6和圖7所示。在太陽引力攝動下，低軌衛(wèi)星軌道的形狀與二體軌道形狀相似，都呈現(xiàn)出一個光滑的橢圓形，如圖6(a)所示；低軌衛(wèi)星軌道半長軸隨時間變化的最大變化值僅有8×10-4，軌道傾角變化的最大值只有不到6×10-5°，如圖6(b)、(c)所示。

圖6 太陽引力攝動下低軌衛(wèi)星仿真結果

高軌衛(wèi)星軌道的形狀基本無變化，如圖7(a)所示；同時從圖7(b)、(c)中可以看出，太陽引力攝動下高軌衛(wèi)星軌道半長軸隨時間變化的值不超過1，軌道傾角變化最大不到3.5×10-4°。由上述分析可知，太陽引力攝動對高軌衛(wèi)星和低軌衛(wèi)星的影響都比較小，但是對高軌衛(wèi)星的影響要大于低軌衛(wèi)星，這是由于太陽引力與距離的二次方成反比，日地距離過遠導致的。

圖7 太陽引力攝動下高軌衛(wèi)星仿真結果

月球引力攝動的仿真結果如圖8和圖9所示。在月球引力攝動下，低軌衛(wèi)星軌道的形狀與二體軌道形狀相似，如圖8(a)所示；低軌衛(wèi)星軌道半長軸隨時間變化的量最大僅有大約1.6×10-3，軌道傾角變化的最大值不到3×10-4°，如圖8(b)、(c)所示。

圖8 月球引力攝動下低軌衛(wèi)星仿真結果

月球引力攝動下，高軌衛(wèi)星的軌道有明顯的“折痕”，圖9(a)所示；高軌衛(wèi)星軌道半長軸隨時間變化最大可達1左右，軌道傾角變化最大可達9×10-4°，如圖9(b)、(c)所示。由上述分析可知，由于月球引力與距離的二次方成反比，月球引力攝動對高軌衛(wèi)星的影響比較明顯，對低軌衛(wèi)星影響甚微。

圖9 月球引力攝動下高軌衛(wèi)星仿真結果

2.3 太陽光壓攝動

太陽光壓是太陽光粒子流沖擊衛(wèi)星表面產(chǎn)生的壓力，太陽光壓攝動對于面質比較大、軌道高度較高的衛(wèi)星影響較大。同時衛(wèi)星運動時，太陽光會被地球或者月球遮擋，還有地球的反光等因素，所以太陽光壓攝動情況相當復雜[18-19]。

首先已知在距離太陽1AU處，太陽流量為φ≈1367W·m-2，太陽輻射壓P的大小則是由太陽流量大小來決定的：

(7)

其中，c是光速，假設所有撞擊衛(wèi)星表面的光子都垂直射入并全部被吸收。

考慮太陽光照射衛(wèi)星表面有全反射、全吸收以及太陽光被遮擋等情況，引入太陽光壓系數(shù)CR和陰影函數(shù)υ，給出太陽光壓引起的衛(wèi)星加速度：

(8)

r是衛(wèi)星與太陽的距離，eΘ為由衛(wèi)星指向太陽方向的單位矢量。對太陽光壓攝動的仿真結果如圖10～11所示。

太陽光壓輻射模型下低軌衛(wèi)星偏心率隨時間變化的最大變化值僅有2.5×10-8左右，軌道傾角隨時間變化的最大值僅有4×10-8°，如圖10(b)、(c)所示。

圖10 太陽光壓輻射攝動下低軌衛(wèi)星仿真結果

太陽光壓輻射模型下高軌衛(wèi)星偏心率隨時間變化最大可達2.5×10-7左右，軌道傾角隨時間變化最大不到8×10-7°，如圖11(b)、(c)所示。由上述分析可知，太陽光壓輻射攝動主要影響高軌衛(wèi)星的運動，對低軌衛(wèi)星的影響比高軌衛(wèi)星小一個量級，原因是太陽光到達地球附近時，其流量急劇減小。

圖11 太陽光壓輻射攝動下高軌衛(wèi)星仿真結果

2.4 大氣阻力攝動

大氣阻力會不斷消耗衛(wèi)星動能，減小衛(wèi)星速度，減小半長軸，降低偏心率，使衛(wèi)星軌道逐漸變?yōu)閳A形，最終使衛(wèi)星在濃密的大氣層中燃燒。但是由于大氣阻力方向始終與衛(wèi)星運動方向相反，所以大氣阻力只影響衛(wèi)星軌道的形狀，對于軌道傾角，基本沒有影響。

大氣阻力攝動產(chǎn)生的衛(wèi)星加速度為：

(9)

其中，CD是大氣阻尼系數(shù)，描述了大氣與衛(wèi)星表面材料的相互作用，一般為1.5～2.3；m為衛(wèi)星質量；ev是與相對速度方向相同的單位向量。

大氣阻力攝動影響下的衛(wèi)星運動仿真結果如圖12～13所示。大氣阻力使得低軌衛(wèi)星的軌道半長軸和偏心率隨時間變化不斷減小，如圖12(b)、(c)所示；但是由于大氣阻力方向始終與衛(wèi)星軌道在同一平面上，大氣阻力攝動下低軌衛(wèi)星軌道傾角隨時間變化最大值僅有2.5×10-7°，如圖12(d)所示，。

圖12 大氣阻力攝動下低軌衛(wèi)星仿真結果

由于在4萬公里高度處，地球大氣極其稀薄幾乎為0，大氣阻力攝動下高軌衛(wèi)星的各個參數(shù)均不隨時間變化，如圖13所示。由上述分析可知，大氣阻力攝動只對低軌衛(wèi)星有顯著影響，不會影響高軌衛(wèi)星的運動。

圖13 大氣阻力攝動下高軌衛(wèi)星仿真結果

3 攝動模型綜合影響分析

通過前面4個小節(jié)的建模與仿真，分析了不同軌道高度的衛(wèi)星在不同攝動模型下的軌道六根數(shù)的變化。本節(jié)則計算一段時間內，近地軌道、中軌軌道和同步軌道衛(wèi)星在不同攝動下的星歷與其在二體模型下的星歷之間的最大標量誤差。并以此為依據(jù)，進一步說明不同攝動項對不同軌道高度衛(wèi)星的影響，計算結果如表2所示。

表2 一段時間內星歷的最大標量誤差

可以看出，在一天的時間內，地球非球形攝動對近地軌道、中軌軌道、同步軌道的衛(wèi)星的影響是依次降低的，其量級分別為400km、300km和20km，因此，在衛(wèi)星軌道計算中所使用的動力學模型不可忽略地球非球形攝動的影響。日月引力對高軌衛(wèi)星的影響量級在千米以上，對低軌和中軌衛(wèi)星的影響在百米左右，所以在計算高軌衛(wèi)星軌道時其動力學模型中不可忽略日月引力攝動。太陽輻射壓對于高軌衛(wèi)星的影響量級在200m左右，對低軌和中軌衛(wèi)星只有幾十米。實際計算中，在精度要求不太高的情況下，可以忽略太陽輻射壓的影響。大氣阻力只對低軌衛(wèi)星有影響，對于高軌和中軌衛(wèi)星沒有影響[20]。

4 總結

根據(jù)衛(wèi)星精密定軌的需求，對二體模型和四種攝動模型進行了模型建立及仿真，分析了各種模型下對低軌和高軌衛(wèi)星的軌道影響。

根據(jù)仿真分析可知，在計算衛(wèi)星軌道的動力模型中，對低軌衛(wèi)星必須考慮地球非球形攝動和大氣阻力攝動，在精度要求不高的情況下可以忽略日月引力攝動和太陽輻射壓攝動；對中軌衛(wèi)星必須考慮地球非球形攝動，在精度要求不高的情況下，可以忽略其它攝動項；而對高軌衛(wèi)星必須考慮地球非球形攝動和日月引力攝動，在精度要求不高的情況下可以忽略太陽輻射壓攝動，大氣阻力攝動對高軌衛(wèi)星沒有影響。