基于改進(jìn)Logistic 映射的混沌圖像加密算法

曾祥秋，葉瑞松

（汕頭大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 概述

在大數(shù)據(jù)時(shí)代，信息具有極大的價(jià)值，圖像是承載信息的一個(gè)重要載體，某些圖像隱含的信息至關(guān)重要。因此，必須保證數(shù)字圖像的傳輸、存儲、訪問等過程安全可靠。圖像加密技術(shù)能夠保障多媒體數(shù)據(jù)的隱私和保密性，是目前保護(hù)圖像安全最有效的方法之一，在許多應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，如軍事圖像數(shù)據(jù)庫、付費(fèi)電視、保密視頻會議、健康管理系統(tǒng)、在線私人相冊等［1］。

常見的圖像加密方案主要有2 種策略：一類重點(diǎn)關(guān)注加密系統(tǒng)中隨機(jī)序列的生成方式；另一類關(guān)注加密算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。在第一類圖像加密策略中，隨機(jī)序列的生成方式大部分基于混沌系統(tǒng)，在基于混沌序列的圖像加密方案中，研究人員大多關(guān)注混沌映射的構(gòu)造，原因是加密系統(tǒng)的安全性依賴其所使用的混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性。現(xiàn)有的混沌映射具有周期性短、點(diǎn)分布不均勻、控制參數(shù)受限等缺點(diǎn)，因此，有很多學(xué)者針對混沌系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，以獲得更好的安全性。文獻(xiàn)［2］以混沌系統(tǒng)的初始值和參數(shù)作為密鑰，采用改進(jìn)Joseph 遍歷的方法對圖像進(jìn)行加密。文獻(xiàn)［3］利用2 個(gè)現(xiàn)有混沌映射作為種子映射，將余弦變換作為框架，從而生成一種新的混沌映射，并將其應(yīng)用于所設(shè)計(jì)的圖像加密算法中。文獻(xiàn)［4］提出一種基于比特反轉(zhuǎn)的增強(qiáng)型數(shù)字混沌映射，其可以有效增強(qiáng)密鑰流的混沌特性。高維混沌映射比一維混沌映射更具安全性，前者經(jīng)常直接被用于加密系統(tǒng)中：文獻(xiàn)［5］直接利用二維Logistic 映射進(jìn)行圖像加密；文獻(xiàn)［6-7］分別利用二維和三維可逆模塊化混沌映射加密灰度圖像和彩色圖像，它們有效增大了密鑰空間；文獻(xiàn)［8］將Logistic 映射和sine 映射相耦合，將一維映射擴(kuò)展到二維并用于圖像加密以獲得更快的速度和更好的性能。在關(guān)注加密算法結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的圖像加密策略中，利用DNA 運(yùn)算和比特層次進(jìn)行加密是常見的做法［9-10］。文獻(xiàn)［11］利用DNA序列實(shí)現(xiàn)多圖像加密中基于索引的置亂和擴(kuò)散操作。文獻(xiàn)［12］提出一種結(jié)合纏繞Logistic 映射、動態(tài)DNA 編碼與運(yùn)算的彩色圖像加密算法。文獻(xiàn)［13］利用比特替換的方法將混沌映射置亂后的圖像序列融合為2 組混沌序列，從而產(chǎn)生中間密文并有效隱藏明文信息。文獻(xiàn)［14］提出基于PWLCM 混沌映射、交叉替換和循環(huán)移位以實(shí)現(xiàn)比特級加密的圖像加密算法。

在上述2 類圖像加密策略的啟發(fā)下，本文改進(jìn)傳統(tǒng)的一維Logistic 映射，提出一種同時(shí)進(jìn)行置亂與擴(kuò)散的加密算法。通過增加模運(yùn)算使傳統(tǒng)Logistic映射的混沌參數(shù)范圍變大，參數(shù)范圍突破（0，4］的限制，利用該混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)的加密系統(tǒng)的密鑰空間也將擴(kuò)大。為了使改進(jìn)Logistic 映射在原有參數(shù)范圍（0，4］中所生成的序列具有更好的混沌特性，本文對改進(jìn)映射所生成的序列進(jìn)行比特重排，以使序列具有更好的混沌特性、遍歷性、初值敏感性、偽隨機(jī)性。利用改進(jìn)Logistic 映射生成混沌序列用于預(yù)加密以及置亂-擴(kuò)散階段的加密。為了抵抗已知明文攻擊或者選擇明文攻擊，加密算法的密鑰流設(shè)計(jì)不僅與密鑰有關(guān)，同時(shí)還和明文圖像信息相關(guān)聯(lián)。

1 基于改進(jìn)Logistic 映射的混沌系統(tǒng)

本文對經(jīng)典的一維Logistic 混沌映射進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)的Logistic 映射構(gòu)造一個(gè)新的混沌系統(tǒng)。用分叉圖、Lyapunov 指數(shù)圖以及SP800-22Rvlla 的15 標(biāo)準(zhǔn)檢測對照改進(jìn)前后混沌系統(tǒng)所生成序列的混沌特性，結(jié)果表明，改進(jìn)后的混沌映射比傳統(tǒng)Logistic 映射具有更好的混沌特性和更大的參數(shù)范圍。

一維Logistic 映射［15］的數(shù)學(xué) 表達(dá)式如式（1）所示：

其中：μ為控制參數(shù)，μ∈(0,4]，只有當(dāng)3.569 945 627 ≤μ≤4 時(shí)，序列Xn才處于混沌狀態(tài)。

為在一維Logistic 映射的基礎(chǔ)上解決控制參數(shù)范圍受限、點(diǎn)分布不均等問題，本文對傳統(tǒng)的Logistic 映射進(jìn)行改進(jìn)，具體如下：

其中：r≠0 為控制參數(shù)；Xn∈(0,1)；模函數(shù)mod(s,t)表示取模，返回余數(shù)。顯然，式（2）是式（1）的推廣。雖然增加模運(yùn)算會提高運(yùn)算量以及加密系統(tǒng)的時(shí)耗，但是增加模運(yùn)算可以使得式（2）中參數(shù)r的范圍突破（0，4］的限制，從而擴(kuò)大系統(tǒng)的混沌區(qū)域以及加密系統(tǒng)的密鑰空間。為了使式（2）在參數(shù)范圍（0，4］中所生成的序列具有更好的混沌特性，本文對式（2）所生成的序列進(jìn)行比特重排，此時(shí)式（2）生成序列的具體步驟如下：

1）將r和初始值X0代入式（2）得到新的X1，再將X1化為L位的二進(jìn)制形式。例如，假設(shè)X1為0.75，把0.75 寫成L位的二進(jìn)制形式，L可以取任意的正整數(shù)，假設(shè)L=16，則有0.75→0.1100000000000000。

2）將小數(shù)點(diǎn)后的二進(jìn)制序列進(jìn)行比特重排，將奇數(shù)位比特值倒序排在前半部分，將偶數(shù)位比特值倒序排在后半部分，得到一個(gè)新的數(shù)，如圖1 所示。

圖1 比特重排示意圖Fig.1 Bit rearrangement diagram

3）將第2 步中得到的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，作為新的初始值X1，代入式（2）得到下一個(gè)值，如此重復(fù)第2 步和第3 步，得到一個(gè)長度為n的混沌序列。

比特重排能夠提升序列的混沌性能，當(dāng)系統(tǒng)初值和系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小改變時(shí)，在剛開始的混沌過渡態(tài)中2 個(gè)軌道的點(diǎn)差別十分小，意味著過渡態(tài)中的序列值改變不大，將這樣的點(diǎn)列量化為整數(shù)，將大概率出現(xiàn)相同的整數(shù)值。對所生成的差異小的點(diǎn)列進(jìn)行比特重排，可以使得重排后的2 個(gè)更新點(diǎn)列的差異變大，從而使更新序列具有更好的敏感依賴性、偽隨機(jī)性、遍歷性等混沌特性。圖2 分別為Logistic映射和基于改進(jìn)Logistic 映射進(jìn)行比特重排的新混沌映射的分岔圖，從中可以看出，本文改進(jìn)的混沌映射比傳統(tǒng)Logistic 映射具有更大的混沌參數(shù)范圍，新混沌系統(tǒng)在（0，4］范圍內(nèi)具有更好的混沌特性，其對所有參數(shù)所生成的序列均遍歷整個(gè)（0，1）狀態(tài)空間，并且具有更好的分布均勻性。

圖2 2 種映射的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagrams of two kinds of maps

對初始值的敏感依賴性是一個(gè)可以清晰表達(dá)動力系統(tǒng)混沌性質(zhì)的重要屬性，該性質(zhì)可以用Lyapunov 指數(shù)來刻畫，利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算得到的Lyapunov 指數(shù)若是正值，說明系統(tǒng)具有混沌性，Lyapunov 數(shù)值越大，系統(tǒng)的混沌性越強(qiáng)。圖3 所示為Lyapunov 指數(shù)圖，其中：圖3（a）為經(jīng)典Logistic 映射的Lyapunov 指數(shù)圖，參數(shù)范圍為（0，4］，混沌區(qū)域?yàn)?.569 945 627 ≤μ≤4；圖3（b）為對Logistic 映 射進(jìn)行模運(yùn)算之后的新Logistic 映射的Lyapunov 指數(shù)圖，其混沌參數(shù)范圍更大，但不是所有參數(shù)對應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)都是正值；圖3（c）是對新Logistic 映射進(jìn)行比特重排之后得到的改進(jìn)Logistic 映射的Lyapunov 指數(shù)圖，所有參數(shù)對應(yīng)的系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)均是正值，并且較大，達(dá)到21 以上，遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)混沌映射的Lyapunov 指數(shù)。從圖3 可以看出，在改進(jìn)Logistic 映射中，所有參數(shù)對應(yīng)的系統(tǒng)均具有正值的Lyapunov 指數(shù)并且數(shù)值相對較大，說明本文所提改進(jìn)Logistic 映射具有更好的混沌性能。

圖3 3 種映射下的Lyapunov 指數(shù)情況Fig.3 The case of Lyapunov exponent under three kinds of maps

通過檢測序列在2 個(gè)不同時(shí)刻的相關(guān)程度，可以進(jìn)一步刻畫序列的偽隨機(jī)性。將控制參數(shù)r和初始值X0分別設(shè)置為0.23 和3.98，分別將這2 個(gè)參數(shù)進(jìn)行微小的改變，改變量均為10-14，得到2 個(gè)新序列，將新序列和原序列進(jìn)行互相關(guān)系數(shù)計(jì)算。圖4（a）、圖4（b）分別是由改進(jìn)前后混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生混沌序列的自相關(guān)系數(shù)圖，圖4（c）～圖4（f）為混沌序列互相關(guān)系數(shù)圖，圖4（c）、圖4（d）是改進(jìn)前混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生序列的互相關(guān)系數(shù)圖，圖4（e）、圖4（f）是改進(jìn)后混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生序列的互相關(guān)系數(shù)圖。

圖4 混沌序列的自相關(guān)和互相關(guān)系數(shù)圖Fig.4 Coefficient diagram of autocorrelation and cross correlation of chaotic sequences

SP800-22Rvlla 標(biāo)準(zhǔn)由美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所（NIST）提出，專門用于對密碼應(yīng)用中的隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的二進(jìn)制隨機(jī)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)測試。SP800-22Rvlla測試給出了15種測試方法［1］，通過每種測試計(jì)算一個(gè)p值并與給定的顯著性水平作比較，從而判斷被測試的比特序列是否具有隨機(jī)性。將混沌序列轉(zhuǎn)化為比特序列的具體方法是將混沌序列值轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制形式，然后取小數(shù)點(diǎn)后的前52位比特值組成比特序列。利用SP800-22Rvlla 來測試比特重排前后的混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列是否具有隨機(jī)性，設(shè)置比特序列長度為106，顯著性水平為0.01，當(dāng)測試p值大于顯著性水平時(shí)，檢驗(yàn)通過，測試結(jié)果如表1～表3所示。

表1 SP800-22Rvlla 測試結(jié)果Table 1 SP800-22Rvlla test results

表2 隨機(jī)旅行測試結(jié)果Table 2 Random travel test results

表3 隨機(jī)旅行變種測試結(jié)果Table 3 Random travel variant test results

從表1～表3 可以看出，比特重排后的混沌系統(tǒng)所生成的比特序列可以通過15 個(gè)子測試，而重排前的混沌系統(tǒng)所生成的比特序列只能通過15 個(gè)子測試中的一部分，說明由新混沌系統(tǒng)所生成的序列具體更好的隨機(jī)性。

由混沌系統(tǒng)的分岔圖、Lyapunov 指數(shù)圖以及SP800-22Rvlla 標(biāo)準(zhǔn)測試實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，比特重排后得到的改進(jìn)混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性能優(yōu)于比特重排前系統(tǒng)，前者所產(chǎn)生序列的混沌性能更優(yōu)。

2 圖像加密算法

2.1 加密系統(tǒng)密鑰

在整個(gè)加密過程中使用的密鑰包括6 個(gè)部分，分別為X1、r1、X2、r2、L、Z，前5 個(gè)分別是2 個(gè)新混沌映射的初始值和系統(tǒng)參數(shù)值以及將混沌序列轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制形式時(shí)所取小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)，Z是與明文相關(guān)的量，其目的是提高加密系統(tǒng)的明文敏感性，計(jì)算如式（3）所示：

其中：f表示輸入的明文圖像，大小為M×N。

2.2 圖像加密過程

本文加密算法采用預(yù)加密、置亂與擴(kuò)散同時(shí)進(jìn)行的結(jié)構(gòu)，以對灰度圖像進(jìn)行加密，算法流程如圖5所示。

圖5 加密算法流程Fig.5 The procedure of encryption algorithm

將大小為M×N的灰度圖像作為輸入，加密算法的具體步驟如下：

步驟1產(chǎn)生混沌序列K。利用密鑰X1、r1、L、Z以及第2 節(jié)提出的新混沌系統(tǒng)，迭代Z次，跳過混沌系統(tǒng)的過渡態(tài)，再迭代n次，生成長度為n的混沌序列K=(k1,k2,…,kn)，n=M×N。

步驟2生成隨機(jī)矩陣F。將步驟1 中得到的序列K進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)化為與明文圖像大小相同的隨機(jī)矩陣F=mod(floor(K×108),256)，其中，函數(shù)floor(x)返回不大于x的最大整數(shù)。

步驟3預(yù)加密。將隨機(jī)矩陣F與明文圖像P進(jìn)行比特異或操作，得到新的圖像PC：PC=PC⊕F。

步驟4分塊。將PC分成大小均等的4 個(gè)部分，每個(gè)塊大小均為M1×N1。

步驟5分塊同時(shí)進(jìn)行置亂與擴(kuò)散操作，具體流程如圖6 所示。

圖6 置亂與擴(kuò)散同時(shí)操作的流程Fig.6 The operation process of scrambling and diffusion is carried out simultaneously

圖6 所示流程具體步驟如下：

1）將每個(gè)矩陣塊按行優(yōu)先原則轉(zhuǎn)換為一維數(shù)組，數(shù)組長度為n1，n1=M1×N1。

2）產(chǎn)生2 個(gè)待置換的位置D1、D2。位置D1為順序位置m（m從第一個(gè)位置開始順序往后取）。位置D2由第2 節(jié)所提混沌系統(tǒng)及式（4）計(jì)算得到：首先利用密鑰X2、r2、L以及新混沌系統(tǒng)迭代一次得到一個(gè)數(shù)d，再利用式（4）計(jì)算位置D2。

3）判斷位置D1、D2是否被重復(fù)選取。如果D1、D2中有一個(gè)被重復(fù)選取，則跳過該位置。若順序位置D1被重復(fù)選取，則D1向后順延一位，D1=m+1；若隨機(jī)位置D2已被選取過，則D2向后順延一位，即D2=D2+1。

4）利用比特平面翻轉(zhuǎn)和動態(tài)異或擴(kuò)散位置D1、D2處的像素值：

（1）比特平面翻轉(zhuǎn)。將位置D1、D2處的像素值PCD1、PCD2分解為8 個(gè)比特平面，高4 位比特平面和低4 位比特平面翻轉(zhuǎn)交換，然后合成得到新的灰度值PCZ1、PCZ2。

（2）動態(tài)異或。Y由位置D1、D2動態(tài)生成，Y=mod(D1×D2,256)，然后將灰度值PCZ1、PCZ2分別與Y進(jìn)行動態(tài)異或，Z1=PCZ1⊕Y，Z2=PCZ2⊕Y，得到Z1、Z2。

5）交換D1、D2位置處的像素值。

6）利用X2=mod(d×D2,1)生成新的初始值X2，代入混沌系統(tǒng)生成新的d后，代入式（4），產(chǎn)生新的隨機(jī)位置D2，順序位置D1=m+1。

步驟6在同時(shí)進(jìn)行置亂與擴(kuò)散操作后，將所有的塊合并成一塊，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再重復(fù)一次置亂與擴(kuò)散操作，得到新圖像PZ。

步驟7將PZ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到PZ1，重復(fù)1 輪上述操作，得到密文圖像C。

本文所提加密算法的解密過程是加密的逆過程，進(jìn)行反向操作即可無失真地還原明文圖像，本文不再詳述。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及安全性分析

為了驗(yàn)證本文加密方案的性能，采用標(biāo)準(zhǔn)256×256 的Lena、Clock 和Walter Cronkite 灰度圖 像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，加密系統(tǒng)的密鑰設(shè)置為：X1=0.76，r1=17.92，X2=0.21，r2=0.35，L=56。3 張圖像的加密結(jié)果如圖7 所示，其中：圖7（a）、圖7（b）分別為Lena 的明文和密文圖像；圖7（c）、圖7（d）分別為Lena 的明文和密文圖像的直方圖；圖7（e）、圖7（f）分別為Clock 的明文和 密文圖像；圖7（g）、圖7（h）分別為Walter Cronkite 的明文和密文圖像。

圖7 本文方案的加密結(jié)果Fig.7 The encryption results of this scheme

3.1 密鑰空間

基于改進(jìn)Logistic 映射的混沌圖像加密系統(tǒng)的密鑰包括X1、X2、r1、r2、L、Z，其中：X1、X2的取值范圍在0～1 之間；r1、r2可取任意非零的數(shù)值；X1、X2、r1、r2的步長均為10-14。因此，密鑰空間大小為1056，大于2100，即所提加密系統(tǒng)的密鑰空間足夠大，可以有效抵抗窮舉密鑰攻擊。

3.2 密文統(tǒng)計(jì)特性分析

3.2.1 直方圖分析

利用直方圖可以直觀地看出一幅圖像的像素值分布特征，為了進(jìn)一步從客觀上說明直方圖的均勻性，本文利用χ2檢驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。取常用的顯著性水平α=0.05，臨界值為χ2(255,0.05)=293.25。通過計(jì)算，Lena、Clock、Walter Cronkite 的密文圖像χ2統(tǒng)計(jì)量分別 為273.14、252.66、197.91，均 比χ2(255,0.05)小，即在顯著性水平為0.05 的情況下，可以認(rèn)為密文圖像直方圖呈現(xiàn)均勻分布。

3.2.2 相鄰像素相關(guān)性

明文圖像在水平、垂直、對角方向上的相鄰像素之間相關(guān)性都較強(qiáng)，理論上而言，通過加密系統(tǒng)加密后的密文圖像在各個(gè)方向上的相關(guān)性很弱才表明加密系統(tǒng)的加密效果理想。為了測試密文圖像的相鄰像素相關(guān)性，在密文圖像各個(gè)方向上隨機(jī)選取2 000個(gè)相鄰像素值，通過式（5）、式（6）計(jì)算相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表4 所示。

表4 相鄰像素相關(guān)性系數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 4 Statistical results of correlation coefficient of adjacent pixels

從表4 可以看出，明文圖像在各個(gè)方向上的相鄰像素相關(guān)性很強(qiáng)，而密文圖像在各個(gè)方向上的相鄰像素相關(guān)性很弱。與文獻(xiàn)［16-17］算法相比，本文算法可以降低相鄰像素的相關(guān)性。

3.3 敏感性分析

敏感性包括密鑰敏感性、明文敏感性等，是指密鑰或者明文發(fā)生微小改變時(shí)加密后得到的2 幅密文圖像是否有顯著差別。衡量2 幅圖像的差別主要有定性方式和定量方式2 種方法：定性方式直接顯示2 幅圖像的差異；定量方式主要通過計(jì)算像素變化率（NPCR）和歸一平均變化強(qiáng)度（UACI）進(jìn)行衡量。NPCR 和UACI 的計(jì)算公式分別為式（7）和式（8），其中，函數(shù)D用來比較2個(gè)數(shù)值是否相等，當(dāng)C1(i,j)=C2(i,j)，D(C1(i,j),C2(i,j))=0；否則，D(C1(i,j),C2(i,j))=1。

3.3.1 密鑰敏感性

密鑰敏感性強(qiáng)是指在加密或解密過程中，密鑰發(fā)生微小的變化，在加密同一個(gè)明文圖像得到的2 個(gè)密文圖像或者解密同一個(gè)密文圖像得到的2 個(gè)明文圖像之間有巨大差異。對于密鑰X1、X2、r1、r2、L，每次實(shí)驗(yàn)改變其中一個(gè)密鑰值，其他保持不變，分析2 個(gè)密文圖像之間的差異。利用Lena、Clock 和Walter Cronkite 圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，計(jì)算所得密文圖像的NPCR 和UACI 值，計(jì)算結(jié)果如表5 所示。從表5 可以看出，本文加密系統(tǒng)具有很好的密鑰敏感性。部分解密結(jié)果如圖8 所示，解密系統(tǒng)同樣具有良好的密鑰敏感性。

表5 加密過程的密鑰敏感性Table 5 Key sensitivity of encryption process %

圖8 部分解密結(jié)果Fig.8 Partial decryption results

3.3.2 明文敏感性

擁有良好明文敏感性的加密算法可以有效抵抗差分攻擊。使用同一密鑰對差別微小的2 個(gè)明文圖像進(jìn)行加密，得到的2 幅密文圖像相差較大，即說明加密系統(tǒng)具有明文敏感性。隨機(jī)改變明文圖像的一個(gè)位置像素值或一個(gè)灰度級來產(chǎn)生具有微小差別的2 幅明文圖像，重復(fù)隨機(jī)選取像素位置100 次，經(jīng)過相同密鑰加密后得到2 幅密文圖像，計(jì)算2 幅密文圖像之間的NPCR 和UACI 值。100 個(gè)NPCR 和UACI值的平均結(jié)果如表6 所示，從表6 可以看出，本文方案的NPCR 和UACI 值接近NPCR 和UACI 的數(shù)學(xué)期望值（99.609 4%和33.463 5%），說明本文加密系統(tǒng)具有很好的明文敏感性，與文獻(xiàn)［18-19］算法相比，本文算法在抵御差分攻擊上具有更好的性能。

表6 明文敏感性對比結(jié)果Table 6 Plaintext sensitivity comparison results %

3.4 信息熵分析

信息熵可以反映圖像的隨機(jī)性或不確定性。如果一幅圖像隨機(jī)性越強(qiáng)，那么其信息熵越接近于數(shù)學(xué)理論值［20］。信息熵的計(jì)算公式為：

其中：T是灰度等級數(shù)；p(i)表示灰度值i出現(xiàn)的概率。對于T=256 的灰度隨機(jī)圖像來說，H的理論值為8。各個(gè)明文圖像和密文圖像的信息熵結(jié)果如表7 所示，從表7 可以看出，密文圖像的信息熵接近于理想值，與文獻(xiàn)［18-19］算法相比，本文算法信息熵結(jié)果更優(yōu)，其可以更好地抵御信息熵攻擊。

表7 信息熵對比結(jié)果Table 7 Information entropy comparison results

4 結(jié)束語

本文對經(jīng)典Logistic 映射進(jìn)行改進(jìn)，添加模運(yùn)算并對所生成的序列進(jìn)行比特重排，使得新混沌映射所生成的序列具有更好的混沌特性，并利用改進(jìn)混沌系統(tǒng)所生成的序列設(shè)計(jì)一個(gè)包含預(yù)加密且同時(shí)進(jìn)行置亂與擴(kuò)散操作的圖像加密方案。在預(yù)加密階段對圖像像素進(jìn)行預(yù)處理，擴(kuò)散圖像的像素值，然后利用改進(jìn)Logistic 映射隨機(jī)不重復(fù)生成置亂-擴(kuò)散的像素位置，其中，由簡單的交換實(shí)現(xiàn)置亂，對像素的比特平面進(jìn)行翻轉(zhuǎn)和動態(tài)異或完成擴(kuò)散。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該圖像加密方案具有較高的安全性，可以抵抗暴力攻擊、差分攻擊、統(tǒng)計(jì)攻擊、明文攻擊等。本文是對標(biāo)準(zhǔn)256×256 灰度圖像進(jìn)行加密與解密研究，下一步考慮將加密方案推廣到彩色圖像領(lǐng)域，同時(shí)在加密性能與加密時(shí)間2 個(gè)方面進(jìn)行折中以獲得更好的加密效果。