能源樁三維螺旋線熱源的瞬態(tài)傳熱模型

李慶文，鄭明陽，喬 蘭，隋智力

1) 北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083 2) 北京科技大學城市地下空間工程北京市重點實驗室，北京 100083 3) 中鐵第四勘察設計院集團有限公司，武漢 430061 4) 北京城市學院城市建設學部，北京 100083

能源樁是一種新型的地源熱泵系統(tǒng)，它是將換熱器埋于建筑結(jié)構(gòu)的混凝土樁基中，通過樁基礎(chǔ)與周圍土體進行換熱進而實現(xiàn)對建筑供暖或制冷的目的[1]. 在20世紀80年代，奧地利的學者創(chuàng)造性的將換熱系統(tǒng)埋于建筑結(jié)構(gòu)樁基中，利用樁基混凝土的高導熱性能和較大的換熱截面以強化換熱效率，這是有關(guān)能源樁的最早報道[2]，而后逐漸推廣到瑞士和德國[3]. 1994年，日本學者Morino正式提出了“能源樁”的概念[4]. 能源樁因為其節(jié)能環(huán)保，且較傳統(tǒng)的地源熱泵系統(tǒng)換熱效率更高、施工成本更低、服役時間更長等優(yōu)點而被廣泛應用[5]. 當前，在美國、澳大利亞和日本等發(fā)達國家，能源樁已被廣泛采用，并且在其埋管形式、換熱機制、熱力響應和實際應用等方面都取得了豐碩成果[6?11]. 在我國，能源樁研究起步較晚，但在國家重視地熱資源開發(fā)的大背景下，政府通過資金激勵和相關(guān)法規(guī)來鼓勵和扶持可再生能源開發(fā)與利用，我國的淺層地溫開發(fā)與利用得到了長足的發(fā)展，一系列行業(yè)規(guī)范和標準相繼出臺，如《地源熱泵系統(tǒng)工程技術(shù)規(guī)范》（GB 50366—2005）、《地熱能開發(fā)利用白皮書》和《樁基地熱能利用規(guī)范》（JGJ/T 438—2018）等. 大量使用能源樁的典型工程也相繼建設，如浙江溫州雙井小區(qū)、上海世博會城市最佳實踐區(qū)漢堡館、南京朗詩國際街區(qū)等[12].

目前普遍采用的能源樁埋管形式主要有U型、W型、螺旋埋管以及多種形式并聯(lián)等. 其中，U型埋管形式是從地源熱泵換熱體系過渡而來，但因樁基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)普遍不長，U型管路在樁體內(nèi)的換熱路徑不足導致?lián)Q熱效率偏低[13]. W型埋管在樁內(nèi)出現(xiàn)局部最高點，頂端容易集氣形成氣阻影響使用. 螺旋管換熱器可調(diào)節(jié)螺距，使樁基礎(chǔ)內(nèi)可利用埋管長度增加，使用安全、高效[14]. 因此螺旋埋管已逐步成為能源樁埋管的主要形式.

傳熱模型的研究一直是國內(nèi)外有關(guān)能源樁的研究的重點. Eskilsion和Claesson[15]基于線熱源模型提出Eskilsion模型. Kavanaugh[16]將豎直埋管換熱器看作圓柱體熱源而建立圓柱熱源模型，提高了模型計算的精確性. 國內(nèi)對能源樁的研究起步較晚但成果豐富，刁乃仁等[17]和曾義和等[18]提出豎直埋管換熱器的二維模型和三維模型；石磊等[19]和武丹[20]提出實心圓柱熱源模型，并分析了圓柱面熱源模型各自的適用性；李新等[21]針對螺旋埋管能源樁，提出線圈熱源模型；Man等[22]將單位樁長能源樁視為恒定熱源，提出螺旋埋管能源樁的溫度場解析解. 這些傳熱模型在其特定的能源樁結(jié)構(gòu)和工況下具有很好的適用性，但在普遍適用性上有待進一步發(fā)展與提高. 本文針對螺旋埋管能源樁，對熱源做更精確的簡化假設，以傅里葉變換矢量法瞬時溫度場解為基礎(chǔ)，運用格林函數(shù)和第一型曲線積分知識對三維螺旋埋管能源樁溫度場進行求解，以期求得精確的螺旋埋管能源樁溫度場解析解.

1 傅里葉變換矢量法中的瞬時點熱源溫度場

2 螺旋埋管能源樁傳熱模型

2.1 模型假設條件

綜合考慮能源樁樁基的空間位置、能源樁的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、能源樁的工作環(huán)境和工作時間等因素，提出傳熱解析模型的假設條件如下：（1）能源樁周圍巖土體或回填材料為半無限大均勻傳熱介質(zhì)，初始溫度場為均布溫度場，令其值為 θ0，能源樁鉆孔周圍介質(zhì)的熱物性為常物性，不受時間、溫度等參數(shù)的影響. （2）能源樁處于自然地面以下一定深度處，因此視能源樁上土體溫度不變，恒等于初始溫度 θ0. （3）將螺旋埋管簡化為一個均勻發(fā)熱的螺旋線熱源與一個均勻發(fā)熱的直線熱源. 加熱時間從 τ =0開始. （4）不考慮地下水滲流的影響. （5）能源樁傳熱涉及交換液、混凝土和巖土體等多種介質(zhì)，為簡化計算，取統(tǒng)一的熱物性參數(shù)進行計算.

2.2 幾何模型及數(shù)學推導

考慮能源樁工作環(huán)境，結(jié)合3.1節(jié)中所述假設條件，將能源樁簡化為如圖1（a）所示的工作系統(tǒng).并以樁頂截面中心為原點，能源樁軸線為z軸，埋深方向為正方向建立柱坐標系，其中A1和A2為線熱源上的任意點，如圖1（b）所示.

圖1 計算的幾何模型示意圖Fig.1 Schematic of a geometric used in calculation

2.3 溫度響應時間效應

為了便于分析，下文中取 α =0，在螺旋熱源qc的作用下，樁體和土體溫度響應會隨時間改變，該效應反映了時間效應. 取L=30且n=10，距離樁軸線 3倍半徑，Z=2，5，10，15和 20 處溫度如圖2（a）所示. 取L=30，Z=15，n=10，得到半徑為R=2，3，4，5 處溫度如圖2（b）所示.

圖2 溫升隨時間變化曲線Fig.2 Rise in temperature curves for different time periods

圖2顯示，能源樁時間效應表現(xiàn)為：隨能源樁工作時間增加，溫度隨之迅速上升. 當工作時間增長至特定值后，溫度的增長速率變緩至趨于穩(wěn)態(tài).這個時間稱之為穩(wěn)態(tài)初始時間tou，換言之，當ttou，溫度響應變化速率極小，能源樁溫度場近似視為穩(wěn)態(tài).

2.4 溫度響應空間分布

2.4.1 能源樁樁體溫度場分布

當R∈[0,1]且Z∈[0,L]時，溫度場T表征的是能源樁樁體溫度場，取L=30，n=10，t=1，10 和300，R=0，0.5，能源樁樁體溫度如圖3所示.

圖3 能源樁樁體溫升曲線Fig.3 Temperature rise curves of an energy pile

由圖3可知，能源樁樁體溫度隨時間逐漸上升；地面邊界以及樁埋深以下部分對能源樁溫度場衍化也會產(chǎn)生影響，地面邊界與空氣流體直接接觸，熱通量大. 埋深以下部分巖土體能為換熱介質(zhì)提供的散熱空間大，熱流更高，導致能源樁樁體溫度場分布為兩端溫度低，樁身中部位置溫度高；在樁軸線位置上，溫度函數(shù)在埋深方向分布較均勻，在1/2半徑處，即R=0.5位置處，溫度繞樁軸線處溫度值呈類三角函數(shù)波動，波峰數(shù)和螺旋熱源轉(zhuǎn)數(shù)相等. 說明能源樁樁體溫度場受埋管形式的影響，其分布方式與埋管形勢具有關(guān)聯(lián)性. 具體表現(xiàn)為，在能源樁軸線以外位置處能源樁樁身的溫度場分布不均，受到熱源形狀的影響.

2.4.2 能源樁樁周巖土體溫度場分布

當R?[0,1]或者當R∈[0,1]且Z?[0,L]時，此時溫度函數(shù)表征的是能源樁回填巖土體的溫度場.如圖4 所示，圖4（a）為L=30，n=10，t=300 時，半徑R=2，3，4，5位置處溫度隨樁埋深Z變化曲線圖.圖4（b）為L=30，n=10，t=5，10，50，300 時R=2 位置的溫度隨埋深Z變化曲線圖.

圖4（a）顯示，與樁體溫度場分布相似，相同半徑處，能源樁周圍巖土體的溫度隨著埋深先增大，后減?。皇苋S螺旋熱源的影響，巖土體溫度沿埋深方向上也呈現(xiàn)出螺旋狀分布，為方便說明，將這種現(xiàn)象稱為形狀效應；并且，圖4（a）中顯示，這種效應隨半徑增大逐漸減小直到消失；同時，圖4（b）顯示，隨著時間的積累，相同半徑位置處巖土體的溫度持續(xù)上升，但是始終保持螺旋狀分布，說明時間對形狀效應的影響很小. 綜合以上結(jié)果，可以推斷：在其他條件都保持不變的前提下，形狀效應存在固定的影響范圍. 即在這個空間范圍內(nèi)，能源樁的溫度場受到能源樁埋管形狀的影響；在此空間范圍之外，埋管形狀對溫度場的影響可以忽略不計.

圖4 巖土體溫升曲線Fig.4 Temperature rise curves of a rock mass

根據(jù)式（13）可知，當能源樁結(jié)構(gòu)設計參數(shù)L、n、工作時間t已經(jīng)確定的情況下，巖土體中一點的溫度與半徑R呈雙射關(guān)系. 取L=30，n=10，t=300，Z分別取2，5，15和25. 計算得到溫度隨半徑變化曲線圖如圖5所示.

圖5 溫升隨半徑變化曲線Fig.5 Temperature rise curves plotted against the radius

圖5顯示，在其他條件保持不變時，巖土體內(nèi)部的溫升都隨半徑的增大而減小，最終趨近于0.這表明能源樁對巖土體原始溫度場的影響范圍是有限的. 為了界定溫度場的作用范圍，根據(jù)公式（14）給出的溫升表達式，通過計算對于溫升值小于10%最大溫升值的土體范圍認定為能源樁溫度響應場半徑，用Rm表示. 如：取L=30，t=200，n=10，代入式（14）得溫度場分布如圖6.

圖6 能源樁溫度場Fig.6 Temperature field of an energy pile

從圖5中可知，最大溫升值TMax為25，根據(jù)圖6計算的能源樁溫度場，取臨界溫升值Tδ=2.43，黏土導熱系數(shù) 1.3 W?m?1?K?1，單位螺旋管熱源值5 W?m?1，換算為開氏溫度為 0.82 K，在溫度場圖中找到值為2.43的等溫線，作其平行于橫軸線的切線與縱軸交點的縱坐標值即為能源樁作用半徑Rm，在圖6工況下，能源樁溫度場作用半徑約為13.5倍的樁體半徑.

3 數(shù)值模擬與解析驗證

3.1 數(shù)值模擬分析參數(shù)設置

為了驗證解析模型的準確性，本文采用COMSOL Multiphysics三維模型對螺旋埋管能源樁的溫度場做模擬分析. 模擬中，假定巖土體的初始溫度場是均勻溫度場，初始溫度設為288.15 K；地面邊界為虛擬熱匯，設為Dirichlet邊界條件，地面邊界為恒溫邊界，側(cè)面邊界和底面邊界為恒熱流密度邊界.熱物理參數(shù)如表1所示.

表1 數(shù)值模型參數(shù)Table 1 Parameters of numerical simulation

3.2 數(shù)值分析與數(shù)學模型結(jié)果對比分析

通過數(shù)值模擬計算，L=30，t=200，n=10 時能源樁溫度場分布云圖如圖7（a）所示. 模擬結(jié)果顯示能源樁溫度場范圍隨距離的逐步擴大并逐漸趨于穩(wěn)定；距離能源樁較近的區(qū)域，溫度沿埋深方向呈螺旋分布，即存在形狀效應，這與數(shù)學模型的結(jié)果一致. 同等工況下能源溫度場的解析模型如圖7（b）所示. 通過對比分析可知，數(shù)值模型與數(shù)學模型計算得到的能源樁準穩(wěn)態(tài)溫度場分布形狀大致相同，數(shù)值模型與數(shù)學模型結(jié)果基本一致.

圖7 數(shù)值解與解析解對比圖. （a）數(shù)值模擬結(jié)果；（a）解析解結(jié)果Fig.7 Comparison between the numerical and analytical solutions: (a) numerical result; (b) analytical result

為了驗證解析模型在分析溫度隨時間變化規(guī)律時的準確性，本文同樣采用上述數(shù)值模型，對Z=15，R=2和3的溫度?時間規(guī)律進行了模擬分析，數(shù)值模擬提取出的溫度?時間曲線與解析計算給出同工況下的溫度?時間曲線如圖8所示. 由圖8可以看出，數(shù)值模型和解析模型計算得出溫度?時間的變化規(guī)律大致相同，溫度都是隨時間增加先快速增加，而后增速逐漸變緩直至趨于穩(wěn)定；因解析計算中未考慮溫度變化對材料熱阻變化的影響，解析解結(jié)果值略大于數(shù)值結(jié)果，但保持在10%誤差范圍以內(nèi)，表明了數(shù)學模型的解算精度比較符合螺旋形能源樁溫度場的實際.

圖8 溫度隨時間變化曲線Fig.8 Temperature curves for different time periods

4 結(jié)論

（1）螺旋型埋管能源樁換熱結(jié)構(gòu)復雜，而現(xiàn)有的溫度場解析模型因簡化過多導致分析準確性受限，為此文章將螺旋埋管等效為三維螺旋線熱源，運用格林函數(shù)和第一型曲線進行積分，推導給出了螺旋埋管能源樁的溫度場解析解，建立高精度三維螺旋埋管能源樁的傳熱模型.

（2）通過模型分析得到關(guān)于時間、空間位置、埋管參數(shù)以及巖土體熱物理性質(zhì)相關(guān)的螺旋埋管能源樁的瞬態(tài)溫度場. 采用上述四個因素所對應的參數(shù)或變量就能夠計算分析能源樁的溫度場特征. 并驗證了能源樁穩(wěn)態(tài)初始時間tou概念，并給出其判定方法. 當t>tou，溫度場趨于穩(wěn)態(tài)，意味著溫度場所激發(fā)的溫度應力場也趨于穩(wěn)定，是能源樁承載力設計時的重要依據(jù).

（3）分析得到能源樁作用半徑Rm概念和定義，并提出了其判定方法. 給出了螺旋埋管能源樁單樁溫度場的最大作用半徑與其求解方法，同時給出了其判別的圖解方法. 研究結(jié)果可為能源的溫度場影響范圍和接下來的能源樁的布樁間距等提供參考.

（4）采用COMSOL軟件建立了螺旋埋管能源樁的數(shù)值模型，并對螺旋線熱源模型解析解進行了驗證，驗證結(jié)果表明：數(shù)值仿真模擬結(jié)果與螺旋線熱源模型解析解結(jié)果相對誤差小于10%，說明所建立的數(shù)學模型解算精度符合螺旋形能源樁溫度場的實際.