以抽象函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題再探究

福建省廈門(mén)雙十中學(xué) (361015) 梁瑩瑩

以抽象函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題，既能綜合考查函數(shù)的求導(dǎo)法則、圖像與性質(zhì)，又能考查學(xué)生轉(zhuǎn)化變形與聯(lián)想構(gòu)造的思維能力，因此備受命題專(zhuān)家的青睞，常在客觀壓軸題的位置出現(xiàn).就此類(lèi)難點(diǎn)問(wèn)題主要有結(jié)構(gòu)化、同構(gòu)化、特殊化三種破解策略[1]，本文例析對(duì)該問(wèn)題的進(jìn)一步拓展探究.

1.在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)模塊中的縱向延伸

例1 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x<1時(shí)，(x-1)[f(x)+(x-1)f′(x)]>0，則不等式xf(x+1)>f(2)的解集為.

解法1：(結(jié)構(gòu)化策略)當(dāng)x<1時(shí)，x-1<0，條件不等式轉(zhuǎn)化為f(x)+(x-1)f′(x)<0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=(x-1)f(x)，則F′(x)=(x-1)f′(x)+f(x)<0?F(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，因f(x)和x-1的圖像都是關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，則F(x)=(x-1)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1軸對(duì)稱(chēng)，故F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，由此可知G(x)=F(x+1)=xf(x+1)為偶函數(shù)，目標(biāo)不等式變形為G(x)>G(1),綜合單調(diào)性和奇偶性可得|x|>1?x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

解法2：(特殊化策略)構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)的一個(gè)特殊函數(shù)f(x)=x-1，也滿(mǎn)足當(dāng)x<1時(shí)，f(x)+(x-1)f′(x)=2(x-1)<0，所以目標(biāo)不等式xf(x+1)>f(2)可化為x(x-1+1)>1，易求得解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).

例2 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),f(x)不是常數(shù)函數(shù)，且(x+1)f(x)+xf′(x)≥0，對(duì)x∈[0,+∞)恒成立，則下列不等式一定成立的是( ).

A.f(1)<2ef(2) B.ef(1)

C.f(1)<0 D.ef(e)<2f(2)

解法1：(結(jié)構(gòu)化策略)原式等于xf(x)+f(x)+xf′(x)=xf(x)+[xf(x)]′≥0，設(shè)F(x)=ex[xf(x)]，那么F′(x)=ex[xf(x)]+ex[xf(x)]′=ex[xf(x)+[xf(x)]′]≥0，所以函數(shù)F(x)=ex[xf(x)]是單調(diào)遞增函數(shù)，F(xiàn)(1)

解法2：(特殊化策略)不妨設(shè)f(x)=x，則(x+1)f(x)+xf′(x)=(x+1)x+x=x(x+2)>0對(duì)x∈[0,+∞)恒成立，則f(1)=1,f(2)=2,f(e)=e，代入四個(gè)選項(xiàng)，可得(A)1<4e，(B)e<2，(C)1<0，(D)e2<22，可用排除法快速選出正確答案為A.

總結(jié)反思：本題的難點(diǎn)是條件中(x+1)f(x)+xf′(x)≥0這個(gè)不等式的復(fù)雜性，它并不滿(mǎn)足前面總結(jié)的那些結(jié)構(gòu)類(lèi)型，但是對(duì)此不等式展開(kāi)變形得到xf(x)+f(x)+xf′(x)≥0，其中先對(duì)后面兩項(xiàng)做處理xf(x)+f(x)+xf′(x)=xf(x)+[xf(x)]′≥0，再把xf(x)看成一個(gè)整體函數(shù)，比如設(shè)g(x)=xf(x)，則g(x)+g′(x)≥0?exg(x)+(ex)′g(x)=[exg(x)]′≥0，因此構(gòu)造函數(shù)F(x)=ex[xf(x)]，這種“嵌套式”兩次構(gòu)造函數(shù)的方法運(yùn)用了整體思想，對(duì)學(xué)生提出更高的能力要求.而用特殊化策略，構(gòu)造簡(jiǎn)單的具體函數(shù)f(x)=x，則大大降低了問(wèn)題的難度，化解了難點(diǎn).

例3 定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(0)=0，若對(duì)任意x∈R，都有f(x)>f′(x)+1，則使得f(x)+ex<1成立的x的取值范圍為( ).

A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.(-1,+∞) D.(-∞,1)

2.與其他知識(shí)模塊的橫向聯(lián)系

例4 設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足xf′(x)-2f(x)>0，若A,B,C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，則( ).

A.f(sinA)sin2B>f(sinB)sin2A

B.f(sinA)sin2B

C.f(cosA)sin2B>f(sinB)cos2A

D.f(cosA)sin2B

解法2：(特殊化策略)不妨設(shè)f(x)=-1，則xf′(x)-2f(x)=2>0恒成立，則A，B選項(xiàng)具體化為-sin2B>(或<)-sin2A，C，D選項(xiàng)具體化為-sin2B>(或<)-cos2A，由cosA

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