超空泡航行體H2/H∞狀態(tài)反饋魯棒控制

何昱霖，韓云濤，郭 浩

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引言

超空泡航行體相較于傳統(tǒng)的水下航行體在速度上有著極大的提升，使其具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。但是，在運(yùn)動(dòng)過程中超空泡航行體將會(huì)產(chǎn)生大的非線性滑行力。滑行力產(chǎn)生的原因是高速運(yùn)動(dòng)過程中航行體尾部與空泡壁接觸，由此為航行體建模和機(jī)動(dòng)控制帶來了極大的困難[2]。對(duì)超空泡航行體建模的研究，研究人員提出了不同的建模方法[3-5]。其中文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]建立了一種以空化器和尾舵作為控制輸入的控制模型，被學(xué)術(shù)界廣泛引用[7-9]。

超空泡航行體在縱平面運(yùn)動(dòng)的過程中會(huì)受到強(qiáng)非線性滑行力和外界干擾的影響，進(jìn)而會(huì)導(dǎo)致航行體不穩(wěn)定。因此魯棒穩(wěn)定性能和干擾抑制性能成為了控制器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。H∞控制對(duì)解決魯棒穩(wěn)定性能有良好的作用，H2控制方法對(duì)于處理隨機(jī)噪聲、干擾等很有效果。于是結(jié)合H∞控制和H2控制的優(yōu)點(diǎn)，使系統(tǒng)同時(shí)具有良好的魯棒穩(wěn)定性能和干擾抑制性能的H2/H∞控制方法被越來越多的研究人員關(guān)注[10-13]。因此，考慮超空泡航行體縱平面運(yùn)動(dòng)時(shí)存在的外界干擾為噪聲干擾時(shí)，提出了一種H2/H∞狀態(tài)反饋魯棒控制器。

2 超空泡航行體建模

2.1 航行體數(shù)學(xué)模型

本文選用文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]所提出的控制模型。該模型表示如下

(1)

(2)

(3)

R′=(Rc-R)/R；浸入角α和浸入深度h′分別為

(4)

(5)

其中，空泡收縮率為

(6)

2.2 模型變換

航行體控制模型狀態(tài)空間表達(dá)式可描述為

(7)

通過滑行力機(jī)理可知，縱向速度w是唯一對(duì)其產(chǎn)生影響的狀態(tài)變量，為了將系統(tǒng)模型(7)轉(zhuǎn)換成LPV系統(tǒng)

(8)

圖1 p(w)和w的關(guān)系

(9)

考慮噪聲干擾，系統(tǒng)(9)又可寫為

(10)

B1∈R4為噪音干擾矩陣；w為噪聲干擾。

(11)

(12)

由于系統(tǒng)矩陣是關(guān)于時(shí)變參數(shù)p(w)的，且p(w)有界，因此可以將LPV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成多胞LPV系統(tǒng)，其中多胞系統(tǒng)矩陣如下

(13)

3 H2/H∞控制器設(shè)計(jì)

由式(12)和選擇的被調(diào)輸出，則航行體系統(tǒng)描述如下H2/H∞

(14)

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)H2/H∞狀態(tài)反饋控制器K(w)，即

(15)

將上式代入(14)中，得閉環(huán)系統(tǒng)

(16)

圖2 H2/H∞控制框圖

其中，Acl=A(w)+B2K(w)，C1cl=C1+D12K(w)，C2cl=C2+D22K(w)。

系統(tǒng)(16)具有以下性質(zhì)：

1)Acl是二次穩(wěn)定的；

定理1[14]：對(duì)于閉環(huán)LPV系統(tǒng)(16)，給定γ>0，則以下條件是等價(jià)的：

2)存在對(duì)稱正定矩陣P，滿足以下線性矩陣不等式

P=PT>0

(17)

證明 對(duì)式(17)的矩陣分別左乘和右乘diag{γ1/2I，γ1/2I，γ-1/2I}，令L=γP，易得當(dāng)存在對(duì)稱矩陣P>0，使得式(17)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱矩陣L>0，使得

(18)

(19)

根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)，式(19)等價(jià)于

(20)

對(duì)任意T>0，考慮

(21)

在零初始狀態(tài)即V(xe(0))=0的條件下

(22)

由式(20)可得

(23)

進(jìn)一步由零初始條件，可得

(24)

(25)

將式(17)展開有

(26)

對(duì)式(26)分別左乘和右乘矩陣diag{P-1，I，I}，并令X1=P-1和W=KX1可得

(27)

定理 2[14]對(duì)于閉環(huán)LPV系統(tǒng)(16)，給定η>0，則以下條件是等價(jià)的

2)存在對(duì)稱正定矩陣X2和Z，使得

(28)

(29)

Trace(Z)<η2

(30)

證明：假定系統(tǒng)(16)中的輸入w是獨(dú)立零均值的白噪聲過程。因此在零初始條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)方差矩陣為

(31)

因此

(32)

當(dāng)D22=0時(shí)，輸出方差為

(33)

(34)

(35)

Trace[(C2+D22K)X2(C2+D22K)T]<η2

(36)

引入對(duì)稱矩陣Z，若

(C2+D22K)X2(C2+D22K)T

(37)

則式(36)等價(jià)于

Trace(Z)<η2

(38)

利用Schur補(bǔ)性質(zhì)整理式(36)和(37)，定義W=KX2，則

(39)

(40)

由式(42)、(43)和(44)可得定理結(jié)論。證畢。

為了使系統(tǒng)(16)同時(shí)具有H2/H∞的性能指標(biāo)，則定理1和定理2需同時(shí)滿足，即同時(shí)滿足式(27)、(38)、(39)和(40)。在以上4式中，有兩個(gè)不同的Lyapunov矩陣X1和X2。而且這兩個(gè)矩陣耦合在一起，為求解帶來了極大的困難。因此為方便求解，令X=X1=X2。

根據(jù)多面體理論，若式(27)、(38)、(39)和(40)成立，則下列各式也成立。

(41)

(42)

(43)

Trace(Z)<η2

(44)

定義J=αγ+βη，其中α和β為設(shè)定的權(quán)值，通過求解以下凸優(yōu)化過程，最終得到滿足要求的控制器

s.tto(45)-(48)

(45)

4 仿真分析

則仿真中控制器為

在本文所設(shè)計(jì)的H2/H∞狀態(tài)反饋控制器下，圖3～6為系統(tǒng)各狀態(tài)變量零初始狀態(tài)下跟蹤期望值的響應(yīng)曲線，圖7～8為跟蹤期望值時(shí)，空化器及尾舵偏轉(zhuǎn)角的響應(yīng)曲線。圖9為整個(gè)仿真過程中，滑行力的響應(yīng)曲線。其中實(shí)線表示響應(yīng)曲線，虛線表示期望值曲線。

圖3 航行體深度響應(yīng)曲線

圖4 縱向速度響應(yīng)曲線

圖5 俯仰角響應(yīng)曲線

圖6 俯仰角速度響應(yīng)曲線

圖7 空化器偏轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線

圖8 尾舵偏轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線

圖9 滑行力響應(yīng)曲線

從圖7和圖8可以看出，仿真開始時(shí)，空化器和尾舵的偏轉(zhuǎn)角是飽和的，但在短時(shí)間內(nèi)能夠恢復(fù)到正常幅值內(nèi)。仿真過程中，系統(tǒng)各狀態(tài)變量均能快速跟蹤期望值的響應(yīng)曲線。穩(wěn)態(tài)時(shí)，空化器最大偏轉(zhuǎn)角為-9度，尾舵最大偏轉(zhuǎn)角為28度，均滿足執(zhí)行器的限幅要求。如圖9所示，整個(gè)仿真過程中，滑行力均為零，這表明了在縱平面運(yùn)動(dòng)過程中，航行形體尾部沒有擺動(dòng)出空泡內(nèi)部，因此并沒有和空泡壁有接觸，沒有出現(xiàn)尾拍現(xiàn)象。

5 結(jié)論

本文針對(duì)超空泡航行體的強(qiáng)非線性滑行力及外部噪聲干擾等問題，通過將基準(zhǔn)控制模型轉(zhuǎn)換成LPV模型，結(jié)合H2和H∞控制的優(yōu)點(diǎn)提出了一種H2/H∞從仿真結(jié)果來看，本文所設(shè)計(jì)的H2/H∞控制器在超空泡航行體縱平面運(yùn)動(dòng)時(shí)存在噪聲干擾的情況下，依然可以快速、準(zhǔn)確地跟蹤期望值信號(hào)，且響應(yīng)時(shí)間短，同時(shí)具有良好的魯棒穩(wěn)定性能和干擾抑制性能。