借助數(shù)軸，顯現(xiàn)估算推理本質(zhì)

楊紅娟

摘 要：《用乘法估算解決問題》是本次優(yōu)質(zhì)課比賽課例，在研究中發(fā)現(xiàn)估算的取值和估算的區(qū)間范圍的確定是教學(xué)的難點，圍繞這兩個方面，利用數(shù)軸剖析難點，分成以下四個步驟：“數(shù)軸直觀顯示，區(qū)別乘法估算與加法估算”“數(shù)軸自主驗證，理清估算策略推理本質(zhì)”“數(shù)軸動態(tài)重合，直面估算區(qū)間的形成”“數(shù)軸判斷相同，結(jié)合數(shù)量關(guān)系判斷結(jié)論”。通過數(shù)軸的步步為營，解決了估算的策略選擇在于問題要求和比較數(shù)據(jù)，取值區(qū)間在于把估算數(shù)估成相鄰的整十?dāng)?shù)，突破區(qū)間尋找方法的缺失問題。

關(guān)鍵詞：乘法估算;數(shù)軸;估算策略;取值區(qū)間

在學(xué)習(xí)乘法估算解決問題之前，學(xué)生對估算具備一定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：了解近似數(shù)，會用“估算比答”進(jìn)行加減法的估算。因此本課的重點和難點在于，根據(jù)問題情境對估算數(shù)據(jù)進(jìn)行合理取值和確定估算的區(qū)間范圍。但是學(xué)生往往無法說清估算的策略選擇，且對估算取值的區(qū)間認(rèn)知模糊，缺失尋找區(qū)間的方法。根據(jù)學(xué)生已具備的用線段圖分析問題、解決問題的能力，筆者利用數(shù)軸（類同線段圖）的直觀性，幫助學(xué)生凸顯估算的推理過程，進(jìn)而判斷取值策略的正確性，確定估算準(zhǔn)確值的區(qū)間范圍。

一、數(shù)軸直觀顯示，區(qū)別乘法估算與加法估算

由于學(xué)生此前對估算的學(xué)習(xí)是在加減法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此學(xué)生會把這個方法遷移到本課的估算中，往往會把所有數(shù)據(jù)全部估大或者全部估小，導(dǎo)致估算結(jié)果過大而無法做出正確的判斷。筆者分別在爾儀小學(xué)302班和303班（共計：81人）試教過程中，以人教版數(shù)學(xué)三年級上冊第六單元的例7為例：三（1）班29個學(xué)生去參觀航天航空展覽，門票8元/人，帶250元買門票夠嗎？學(xué)生估算的具體數(shù)據(jù)情況如表1：

從統(tǒng)計表中可知，有[13]的學(xué)生出現(xiàn)了加減法估算方法的負(fù)遷移，做判斷時出現(xiàn)兩種情況：一是根據(jù)估算數(shù)據(jù)結(jié)果，得出250元不夠的結(jié)論;二是根據(jù)數(shù)感，忽略估算結(jié)果，認(rèn)為250元足夠了。前后試教過程，筆者在反饋學(xué)生作品做出不同的安排：第一次沒有加入數(shù)軸，第二次加入了數(shù)軸。這凸顯了乘法估算和加法估算的區(qū)別。

【前期試教片段一】

1. 呈現(xiàn)例題

2. 學(xué)生獨立估算。師：請你估一估、算一算，寫在學(xué)習(xí)單上。

3. 學(xué)生反饋作品

作品一：

估：29≈30

算：30×8=240（元）

比：29×8<240<250

答：250元買門票夠了。

（1）學(xué)生匯報，規(guī)范估算表達(dá)的語言。

（2）認(rèn)識“≈”，區(qū)分“≈”和“=”的不同點。

小結(jié)：所以可以知道29×8肯定小于240元，也就小于了250元。

作品二：

估：29<30，8<10

算：30×10=300（元）

比：29×8<300（元）

答：250元不夠。

請仔細(xì)閱讀作品二，你認(rèn)為正確么？理由是什么？

小結(jié)：把29×8，如果估算29成30，8估算成10，確定小于300元，但29×8在250元的左邊還是右邊呢？無法判斷29×8和250元的關(guān)系，也就無法解決問題。

4. 對比：對比兩幅學(xué)生作品，你發(fā)現(xiàn)了什么？

小結(jié)：選擇數(shù)據(jù)估算的時候，要根據(jù)問題的要求，有時候可以兩個數(shù)據(jù)都估算，有時候只能估算一個數(shù)據(jù)。

在本次試教過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然知道不能將估算得到的300元和問題的250元進(jìn)行比較，但是對其中的推理過程依然不明就里，因此筆者在第二次試教過程中，在兩次作品反饋之后，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行了推理驗證。

【定稿教學(xué)片段一】

前面教學(xué)內(nèi)容與試教內(nèi)容一致，在后面加入數(shù)軸驗證環(huán)節(jié)。

1. 作品一的數(shù)軸驗證

小結(jié)：從這幅數(shù)軸圖中可以看出29×8肯定小于240元，也就小于了250元。

2. 作品二的數(shù)軸驗證

小結(jié)：從數(shù)軸圖來看，把29×8，如果估算29成30，8估算成10，確定小于300元，但29×8和250都在300的左邊，因此無法判斷29×8和250元的關(guān)系，也就無法解決問題。

追問：什么樣的問題，兩種做法都可以解決呢？（帶300元買門票夠嗎？）

通過線段圖對比，讓學(xué)生感悟選擇數(shù)據(jù)估算，有時候要選擇一個，有時候要選擇兩個，這是由問題決定的。

二、數(shù)軸自主驗證，理清估算策略推理本質(zhì)

由于第一個環(huán)節(jié)學(xué)生已經(jīng)通過估大的策略確定了帶250元購買門票夠了，接下來以“那150元錢夠買門票嗎？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用估小策略解決問題。

【前期試教片段二】

反饋學(xué)生的作品

作品一：

估：29≈20

算：20×8=160（元）

比：29×8>160>150<250（元）

答：150元買門票不夠。

作品二：

估：29≈30

算：30×8=240（元）

比：29×8<240（元）

答：150元買門票不夠。

小結(jié)：乘法估算的時候要把數(shù)據(jù)估算的結(jié)果盡量靠近比較的數(shù)值，以比較的數(shù)值為目標(biāo)問題的要求合理選擇估算的策略。

在教學(xué)過程中，先通過學(xué)生獨立估算。但由于第一環(huán)節(jié)的影響，部分學(xué)生依然會用估大的策略來解決，然后對估大策略和估小策略辨析判斷，反饋中，學(xué)生感受到了語言表達(dá)估算推理的困難。因此，筆者結(jié)合學(xué)生作品，引入數(shù)軸，讓學(xué)生自己在數(shù)軸上擺一擺每個數(shù)或者算式的位置，理清估算策略中蘊含的推理本質(zhì)。

【定稿教學(xué)片段二】

前面教學(xué)內(nèi)容于試教內(nèi)容一致，在后面加入數(shù)軸驗證環(huán)節(jié)。

生1：第一幅線段圖的29×8大于160元，在160元的右邊，也就在150元的右邊，所以帶150元肯定不夠。

生2：第二幅線段圖的29×8小于240元，在240元的左邊，但是無法判斷29×8和150元的關(guān)系，所以不知道帶150元到底夠不夠。

小結(jié)：乘法估算的時候要把數(shù)據(jù)估算的結(jié)果盡量靠近比較的數(shù)值，以比較的數(shù)值為目標(biāo)問題的要求合理選擇估算的策略。

因為學(xué)生感受到用語言表達(dá)推理過程的困難，因此順理成章的用數(shù)軸的直觀性來幫助辨析和判斷，進(jìn)而理清估算策略推理本質(zhì)。最后通過數(shù)軸的對比分析得出估算的小竅門：把數(shù)據(jù)估算的結(jié)果盡量靠近比較的數(shù)值。同時估算策略選擇的方法：以比較的數(shù)值為目標(biāo)和問題的要求合理選擇估算的策略。

之后在練習(xí)中再次呈現(xiàn)不同情境下的類似估算策略選擇問題，并用數(shù)軸再次驗證估算推理的本質(zhì)。

【定稿教學(xué)片段三】

過渡：已經(jīng)確定了宇航員模型的價格在300和360元之間，那么帶360元肯定是夠的，但是估算的過程應(yīng)該是怎樣呢？

1. 請仔細(xì)閱讀，思考選擇A還是B，并想一想、說一說你的理由。

例1：火箭模型的價錢是54元，宇航員模型的價錢是火箭模型的6倍，小明帶了360元錢，買一個宇航員模型，夠嗎？（A）

A：

估：54≈60

算：60×6=360（元）

比：54×6<360

答：360元夠了。

B：

估：54≈50

算：50×6=300（元）

比：54×6>300

答：360元夠了。

2. 用線段圖來驗證。

生1：第一幅線段圖的54×6小于360元，所以帶360元肯定夠了。

生2：第二幅線段圖的54×6大于300元，在300元的右邊，但是無法判斷54×6和360元的關(guān)系，所以就不知道到底帶360元夠不夠。

3. 小結(jié)：比較的數(shù)值為目標(biāo)進(jìn)行估算，但是也要考慮問題的要求，合理選擇估算的策略。

這一點是本課的重點之一，在練習(xí)題中讓學(xué)生以選擇題的形式選擇合適的估算策略，然后用數(shù)軸解釋所選擇估算策略的推理過程，證明估算策略選擇的正確性。

三、數(shù)軸動態(tài)重合，直面估算區(qū)間的形成

學(xué)生分別經(jīng)歷了估大和估小策略，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行對比，對比的作用有兩個：一是學(xué)生感悟的問題情境不一樣，要解決的問題不一樣，選擇估算的策略也不一樣，有時候估大、有時候估小。二是把線段圖通過課件動態(tài)演示重合在一起，讓學(xué)生直面估算的取值區(qū)間，即在150到250之間，也在通過估算得到的160到240之間。

【定稿教學(xué)片段四】

1. 對比，感悟合理選擇估大或者估小的策略。

三（1）班有29名同學(xué)去參觀航天航空展覽，門票8元/人。

帶了250元買門票夠嗎？

估：29≈30

算：30×8=240（元）

比：29×8<240<250

答：帶250元買門票夠了。

帶了150元買門票夠嗎？

估：29≈20

算：20×8=160（元）

比：29×8>160>150

答：帶150元買門票不夠。

師：這兩道題目和解題方法有什么不一樣的地方？（一個估大，一個估?。?/p>

小結(jié)：所以我們在用估算解決問題的時候，要認(rèn)真分析具體問題和數(shù)據(jù)，合理選擇估大或者估小的策略。

2. 重合線段，感悟估算的取值區(qū)間。

師：請仔細(xì)看，兩幅線段圖合成了一幅線段圖，看合成的線段圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：29×8在150元和250元之間，就是灰色部分。

生2：29×8在160元和240元之間，就是白色部分。

小結(jié)：是的，通過估算把29估大成30得到了240元，29估小成20得到了160元，就確定29×8的取值區(qū)間，即在150到250之間，更在160到240之間。

線段圖的動態(tài)重合，直觀呈現(xiàn)了區(qū)間的產(chǎn)生過程，把原本模糊的取值區(qū)間明朗化，一下子呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，通過觀察直接得出了29×8的取值區(qū)間是怎么來的，是把29估大成30得到240元，29估小成20得到160元，得到區(qū)間在160到240之間，完全不需要教師的介入講解尋找估算取值區(qū)間的方法。

在此基礎(chǔ)上，直接進(jìn)行模擬練習(xí)。

【定稿教學(xué)片段五】

過渡：參觀途中，小明看到有關(guān)航天航空的模型售賣處，里面有什么呢？我們一起來看看。

選一選：火箭模型的價錢是54元，宇航員模型的價錢是火箭模型的6倍，下面哪個數(shù)軸能表示宇航員模型價格范圍（B）

（1）請你仔細(xì)閱讀，并想一想你選擇的理由。

（2）小結(jié)：把54估小成50得到300元，估大成60得到360元，所以可以確定它的積肯定在300到360之間。

取值區(qū)間的練習(xí)直接放在線段上選擇，這樣的形式鞏固了估算取值區(qū)間的尋找方法，同時對估算區(qū)間有了更加清晰的認(rèn)識

四、數(shù)軸判斷相同，結(jié)合數(shù)量關(guān)系判斷結(jié)論

數(shù)軸的應(yīng)用在很大的程度上幫助學(xué)生解決很多同類型的估算問題，但是最后教材中安排的“做一做”卻與例題的估算結(jié)論的判斷方法完全不同。在利用數(shù)軸幫助判斷不適用時，可以結(jié)合根據(jù)數(shù)量關(guān)系式來判斷得出結(jié)論。

【定稿教學(xué)片段六】

過渡：參觀結(jié)束了，大家準(zhǔn)備乘坐汽車返校了，在停車場，碰到了四年級的同學(xué)也要坐車回去。

例2：360名四年級學(xué)生準(zhǔn)備返校，一輛車最多能坐54人，6輛車坐得下四年級的學(xué)生嗎？

（1）學(xué)生獨立計算

估：54≈60

算：60×6=360（人）

比：54×6<360

答：坐不下360人。

（2）線段圖驗證

（3）小結(jié)：根據(jù)線段圖來看，54×6小于360人，在360人的右邊，人數(shù)大于汽車的座位數(shù)，所以360人肯定不坐不下。

對比：感悟結(jié)論的不一致

問題：請仔細(xì)對比例1和例2，有什么相同的地方和不同的地方？

相同點：同樣的數(shù)據(jù)：54、6、360，同樣的估算策略：都是估大。

不同點：問題情境不一樣，結(jié)論也不一樣。

小結(jié)：雖然數(shù)據(jù)一樣，估算策略一樣，但由于具體情境不一樣，得到的結(jié)論也不一樣，所以對于結(jié)論的判斷，要根據(jù)實際情況進(jìn)行判斷。

在對比中，相同的數(shù)據(jù)、相同的數(shù)軸，但得到的結(jié)論判斷完全不一樣，讓學(xué)生感受到有時候數(shù)軸不是萬能的，存在一定局限性。面對估算“每份數(shù)”和“份數(shù)”引起的估算結(jié)論判斷的不同，直面估算的難點。在例題的學(xué)習(xí)中，以估算“份數(shù)”為主，讓學(xué)生產(chǎn)生了“估小了不夠肯定不夠，估大了夠肯定就夠”的錯覺，而教材中安排的“做一做：估算‘每份數(shù)”就打破了這個錯覺。因此，筆者直擊這個矛盾點，用相同的數(shù)據(jù)，不同的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生感受估算“份數(shù)”和“每份數(shù)”，得出的結(jié)論完全相反。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生要根據(jù)問題的情境做出合理的判斷，實際情況實際分析。

五、結(jié)語

通過數(shù)軸的步步為營，從根本上讓學(xué)生感悟到估算的策略選擇要根據(jù)問題要求和比較數(shù)據(jù)來確定，取值區(qū)間的確定在于把估算數(shù)估成相鄰的整十?dāng)?shù)，并且利用數(shù)軸突破區(qū)間尋找方法的缺失問題。最后在面對估算“每份數(shù)”和“份數(shù)”引起的估算結(jié)論判斷的不同，直面估算的矛盾點，引發(fā)學(xué)生的思考，得出要根據(jù)問題的情境做出合理判斷的結(jié)論，給這節(jié)課畫下圓滿的句號。