基于核心素養(yǎng)的概率與統(tǒng)計深度學(xué)習(xí)體驗、評價及反思

王彪 羅中武

摘要：學(xué)習(xí)體驗有鞏固性的完善與引申，有拓展性的辨析與爭鳴，有研究性的猜想與論證，給學(xué)生提供學(xué)習(xí)機(jī)會[1]. 經(jīng)歷課堂實踐、評價、反思，促進(jìn)師生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)體驗;設(shè)計評價;教學(xué)反思;深度學(xué)習(xí);核心素養(yǎng)

一、學(xué)習(xí)體驗

高三一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，在數(shù)學(xué)老師的引導(dǎo)下，我通過查閱資料、獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)等方式，完成了數(shù)學(xué)課外作業(yè)變式設(shè)計，具體設(shè)計如下：

引題：摸球游戲：一個口袋內(nèi)有12個大小一樣、編號不一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中任取6個球，求既有紅球又有黑球的概率。（注：摸球游戲每一次摸一個球，變式中要求一樣）

設(shè)計意圖：本題以摸球游戲為背景，利用我們熟悉的情境設(shè)置問題，主要涉及互斥事件及其對應(yīng)概率模型問題，契合實際，作為引題，難度適中，能為解決變式問題營造輕松氛圍。變式1一個口袋內(nèi)有12個大小一樣、編號不一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。求甲、乙兩人分別摸到編號為2的黑球的概率。

設(shè)計意圖：變式1借助引題情境，設(shè)問過渡自然，主要考查摸到指定編號球的概率，即獨(dú)立事件積的概率模型問題，實際上是12人進(jìn)行抽簽的問題，抽簽的順序與抽簽到指定某一個簽的概率無關(guān)，但有一定跳躍性，目的是讓我們“墊墊腳，摘得著”。

變式2一個口袋內(nèi)有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中任取6個球，求既有紅球又有黑球的概率。

設(shè)計意圖：變式2在引題情境下，進(jìn)一步要求我們對問題實質(zhì)的理解，即取出的球與球的編號無關(guān)，只與取出的球的顏色有關(guān)，取消球的編號后，實則與引題是同樣的概率模型問題，與引題聯(lián)系緊密。

變式3一個口袋內(nèi)有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中不放回地任取6個球，求第四次摸到黑球的概率。

設(shè)計意圖：變式3在引題情境下，以不放回的摸球游戲為載體，涉及互斥事件和的概率模型問題，滲透分類討論思想。

變式4一個口袋內(nèi)有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中有放回地任取6個球，求第四次摸到黑球的概率。

設(shè)計意圖：變式4以引題為背景，以有放回的摸球游戲為載體，體現(xiàn)多種情況下互斥事件概率模型求解問題，與變式3形成對比，但通過演算，發(fā)現(xiàn)有放回和不放回摸球的概率是一樣的，進(jìn)而引發(fā)我們深思、質(zhì)疑、論證，提升我們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，起到變式訓(xùn)練的功效，也達(dá)到設(shè)問的目的。滲透分類討論思想，提升我們數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等能力。

變式5一個口袋內(nèi)有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中不放回地摸球，若摸到黑球，則停止摸球，若第三次摸不到黑球，同樣停止摸球。記摸球的次數(shù)為隨機(jī)變量h，求η的數(shù)學(xué)期望。

設(shè)計意圖：變式5在引題情境下，借助變式3不放回摸球游戲概率模型，涉及數(shù)學(xué)期望的求解，讓我們走出情境，進(jìn)入關(guān)聯(lián)新情境，搞清問題的本質(zhì)，進(jìn)而提升我們綜合解決問題能力。

變式6一個口袋內(nèi)有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。摸到一個紅球得1分，摸到一個黑球的2分，從中摸出6個球，記得到的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量h，求η的數(shù)學(xué)期望。

設(shè)計意圖：變式6在引題情境下，引入摸球記分環(huán)節(jié)，借助組合概率模型等，綜合考查數(shù)學(xué)期望的求解，與變式5既有區(qū)別又有聯(lián)系，讓我們從不同角度展望數(shù)學(xué)期望。

變式7一個口袋內(nèi)有同樣大小紅球和黑球，第一次從中摸出紅球或黑球的概率均為;若上一次摸出的是紅球，則下一次摸出紅球的概率為，摸出黑球的概率為;若上一次摸出的是黑球，則下一次摸出紅球的概率為，摸出黑球的概率為。設(shè)Pn表示第n次摸出黑球的概率。

試寫出P1，P2;

試寫出Pn與Pn?1的關(guān)系式，并求Pn。

設(shè)計意圖：變式7在引題情境下，呈現(xiàn)新的問題情境，設(shè)問反差大，主要涉及概率模型與數(shù)列模型交匯的綜合問題，目的是要讓我們“跳一跳，摸得著”。很好的滲透學(xué)生分類討論思想，可展現(xiàn)我們數(shù)學(xué)計算、邏輯推理等能力，促使我們數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成。

二、教師點(diǎn)評

王彪同學(xué)通過對《概率與統(tǒng)計》模塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)體驗，在老師的引導(dǎo)下完成給同學(xué)們課外變式作業(yè)設(shè)計。他站在學(xué)生的立場，借助摸球游戲的熟悉情境，從問題出發(fā)，以“變式”演變展開，呈現(xiàn)出各種情境下概率求解問題。其中有一般變式，如古典概率模型、互斥事件和獨(dú)立事件概率模型，也有較深層次變式，如利用期望公式求解以及借助概率與數(shù)列遞推關(guān)系綜合設(shè)問，作業(yè)設(shè)計貼近學(xué)生生活實際，充分體現(xiàn)了能力立意的特點(diǎn)。變式間既有聯(lián)系，又有差異。變式設(shè)計逐級遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣、拾級而上，找到了問題的核心，能表達(dá)同學(xué)們的“心聲”，能很好的體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想及能力，也能促使學(xué)生核心素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成?？梢娫谠O(shè)計過程中是付諸行動、花了心思的，相信這是一次不錯的學(xué)習(xí)成長歷練，也將會是一次美好的學(xué)習(xí)回憶。

設(shè)計體驗中有的地方還可以更具體些，如不放回摸球問題實際是排列與組合問題，有放回摸球問題實際上是條件概率問題，求數(shù)學(xué)期望實際上是求加權(quán)平均數(shù)等;也可增加個別深度變式，讓同學(xué)們“助跑跳，觸得著”。

總之，王彪同學(xué)整體設(shè)計是比較完整的，瑕不掩瑜，是值得稱道的。該設(shè)計作為一種復(fù)習(xí)課后的作業(yè)模式，可不斷嘗試，逐步完善，以便為教學(xué)提供參考。

三、教學(xué)反思

（1）善選題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)均以問題為中心，“題”成為數(shù)學(xué)學(xué)與教的關(guān)鍵詞。選擇一道適合學(xué)生的題，可以讓學(xué)生理清基本知識、掌握基本技能、領(lǐng)悟基本思想方法、收獲基本活動經(jīng)驗，進(jìn)而聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。善于“選”題是數(shù)學(xué)學(xué)與教的一種必備能力，好題可以撥動學(xué)生的心弦，敞開學(xué)生的心扉，彈奏出動人的音符，回味無窮。一道好題，眾里尋它千百度，它不僅可以啟迪學(xué)生思維，還可以一題通關(guān)，正所謂“一題抵萬題”。

（2）巧變題

變式學(xué)習(xí)、教學(xué)是一種數(shù)學(xué)學(xué)與教的方式。茫茫題海，并非每題都適合我們的學(xué)生，巧妙的變化，方能事半功倍。因此，教師要會巧“變”題，通過變化試題情境、條件、設(shè)問、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等，進(jìn)而演變成符合學(xué)生實際的問題，有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)體驗中有獲得感。選好題，通過變式形成“變題鏈”，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識并非單一化，而是“網(wǎng)絡(luò)化”，感受到數(shù)學(xué)知識是有廣度、有深度、有底蘊(yùn)、有生長點(diǎn)、有靈魂，精彩繽紛的，猶如夢境般美好！

（3）好練題

教學(xué)活動中，選題僅僅是教學(xué)的良好開端，而真正讓學(xué)生獲得知識的途徑是好“練”題，即認(rèn)真做題、評價、不斷總結(jié)反思。只有通過“練”題，練習(xí)一定量的題，才能體會“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”。理解題的“源頭”與“流向”，掌握基本知識、技能和方法，獲得經(jīng)驗。同時，通過適度量的“變題鏈”練習(xí)，讓學(xué)生體驗“變中求不變，以不變應(yīng)萬變”，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，才能融會貫通，從而舉一反三，真正讓學(xué)生“練”在題中，學(xué)在題中，樂在題中。

（4）試編題

好練題，巧變題，不一定會編題，編高質(zhì)量的題。每年高考結(jié)束，老師們都迫不及待的想知道，今年高考中命制了哪些好題。好的高考試題是專家命題組集體智慧的結(jié)晶，感嘆之余，我們也可嘗試“編”題。在教學(xué)活動中，教師對于課本例題、習(xí)題等做適當(dāng)?shù)母木?，?jīng)歷改編過程，不斷探索，提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時，也可讓學(xué)生體驗“編”題，啟迪學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，快速成長，提升學(xué)生解決問題的能力。

（5）會品題

經(jīng)歷“善選題、巧變題、好練題、試編題”，可感受到登“題”山之巔，一覽眾山小。作為教師，還要學(xué)會“品”題，“品”題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，“品”題中的豐富多彩，“品”題中的韻味無窮。教學(xué)活動中，賦予學(xué)生契合實際的好題應(yīng)成為教師根本任務(wù)，讓學(xué)生體驗好題，培養(yǎng)高階思維能力，提升綜合解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，進(jìn)而“題”出精彩，“題”出人生。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.零距離數(shù)學(xué)交流——體驗與探究[M]. 廣西教育出版社，2003.

*本文系銅仁市課題“基于核心素養(yǎng)的概率與統(tǒng)計深度學(xué)習(xí)案例研究”（課題編號：2020SX034）的階段研究成果之一.