帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的“三線”問題

陳偉平

靜電場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的“三線”（電場(chǎng)線、等勢(shì)線和運(yùn)動(dòng)軌跡）問題，是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以比較帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度、速度、動(dòng)能、電勢(shì)能、電勢(shì)、機(jī)械能變化的題目呈現(xiàn)，此類問題涉及電場(chǎng)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系和能量守恒等知識(shí)的綜合應(yīng)用。

一、方法與思路

1. 判斷運(yùn)動(dòng)方向：可以根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)軌跡上某一點(diǎn)的切線方向確定物體在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。要注意的是，在力相同時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)都是可逆的。

2. 判斷電場(chǎng)力方向：僅受電場(chǎng)力作用下的帶電粒子，所受的電場(chǎng)力指向帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)。

3. 判斷場(chǎng)強(qiáng)方向：正電荷所受電場(chǎng)力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相同;負(fù)電荷所受電場(chǎng)力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相反。

4. 判斷電場(chǎng)力做功的正負(fù)及電勢(shì)能的增減：在初始位置畫出速度方向與電場(chǎng)力方向，根據(jù)它們的夾角分析。若運(yùn)動(dòng)方向與電場(chǎng)力方向成銳角，則電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小;若電場(chǎng)力與速度方向成鈍角，則電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加。

5. 判斷電勢(shì)高低：沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低，電勢(shì)降低最快的方向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)方向。

6. 判斷電勢(shì)能大小：根據(jù)公式Ep=qφ（代入正負(fù)號(hào)）判斷電勢(shì)能大小。

7. 判斷加速度大?。焊鶕?jù)電場(chǎng)線或等差等勢(shì)面疏密判斷加速度大小，電場(chǎng)線越密集，場(chǎng)強(qiáng)越大，加速度越大。

8. 在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，可定性地列出軌跡方程分析有關(guān)物理量。

9. 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與電場(chǎng)線（等勢(shì)面）關(guān)系圖：

二、試題精練

【例1】（2021 · 廣東高考題）如圖1 是某種靜電推進(jìn)裝置的原理圖，發(fā)射極與吸極接在高壓電源兩端，兩極間產(chǎn)生強(qiáng)電場(chǎng)，虛線為等勢(shì)面，在強(qiáng)電場(chǎng)作用下，一帶電液滴從發(fā)射極加速飛向吸極，a、b 是其路徑上的兩點(diǎn)，不計(jì)液滴重力，下列說法正確的是（ ）

A. a 點(diǎn)的電勢(shì)比b 點(diǎn)的低

B. a 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度比b 點(diǎn)的小

C. 液滴在a 點(diǎn)的加速度比在b 點(diǎn)的小

D. 液滴在a 點(diǎn)的電勢(shì)能比在b 點(diǎn)的大

【解題思路】

根據(jù)高壓電源與兩極的連接情況，可知電場(chǎng)線由a 指向b，而沿著電場(chǎng)線電勢(shì)逐漸降低，可知a 點(diǎn)的電勢(shì)比b 點(diǎn)的高，即φa>φb，故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;由圖1 中等勢(shì)面的分布得電場(chǎng)線的分布情況如圖2 所示，可知a 點(diǎn)電場(chǎng)線密集，場(chǎng)強(qiáng)大，即Ea>Eb，故選項(xiàng)B 錯(cuò)誤;液滴的重力不計(jì)，根據(jù)牛頓第二定律可知，液滴的加速度為a= ，因Ea>Eb，可得加速度aa>ab，故選項(xiàng)C 錯(cuò)誤;電場(chǎng)力向右對(duì)液滴做正功，液滴電勢(shì)能減小，故液滴在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的電勢(shì)能大，即Epa>Epb，故選項(xiàng)D 正確。

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】正常情況下，在電場(chǎng)中畫出的等勢(shì)面一般為等差等勢(shì)面，因此本題所給三個(gè)等勢(shì)面可默認(rèn)為是等差等勢(shì)面。等差等勢(shì)面的疏密反映場(chǎng)強(qiáng)的大小，由圖1 可知a 處的等勢(shì)面較密，因此a 處的電場(chǎng)強(qiáng)度較強(qiáng)。

【例2】（2021 · 天津高考題）兩個(gè)位于紙面內(nèi)的點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的等勢(shì)面如圖3 中實(shí)線所示，相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差相等。虛線MPN 是一個(gè)電子在該電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，軌跡與某等勢(shì)面相切于P 點(diǎn)。下列說法正確的是（ ）

A. 兩點(diǎn)電荷可能是異種點(diǎn)電荷

B. A 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度比B 點(diǎn)的大

C. A 點(diǎn)的電勢(shì)高于B 點(diǎn)的電勢(shì)

D. 電子運(yùn)動(dòng)到P 點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小

【解題思路】

根據(jù)電荷間等勢(shì)面的分布情況可知兩點(diǎn)電荷帶同種電荷，又根據(jù)電子在該電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡可判斷電子一直受到排斥的力，故可知兩點(diǎn)電荷為同種負(fù)電荷，故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;根據(jù)等差等勢(shì)面的疏密程度可以判斷A 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度比B 點(diǎn)的小，故選項(xiàng)B 錯(cuò)誤;因?yàn)閮牲c(diǎn)電荷是同種負(fù)電荷，電場(chǎng)線指向負(fù)電荷，可知A 點(diǎn)的電勢(shì)高于B 點(diǎn)的電勢(shì)，故選項(xiàng)C 正確;根據(jù)電子的運(yùn)動(dòng)軌跡和電場(chǎng)線的方向可知由M到P 電場(chǎng)力做負(fù)功，由P 到N 電場(chǎng)力做正功，由M 到P 動(dòng)能減小，由P 到N 動(dòng)能增加，故電子運(yùn)動(dòng)到P 點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小，故選項(xiàng)D 正確。

【答案】CD

【點(diǎn)評(píng)】電場(chǎng)線與軌跡問題的判斷需要注意“三不知”，一不知電荷帶電性，二不知電場(chǎng)方向，三不知運(yùn)動(dòng)方向。若已知其中一個(gè)，便可以分析判斷各待求量;若三個(gè)量都不知，則需要在題目中使用假設(shè)法。

【例3】（2018 · 天津高考題）如圖4 所示，實(shí)線表示某電場(chǎng)的電場(chǎng)線（方向未標(biāo)出），虛線是一帶負(fù)電的粒子只在電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)M 點(diǎn)和N 點(diǎn)的電勢(shì)分別為φM、φN，粒子在M 和N 時(shí)加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢(shì)能分別為EpM、EpN.下列判斷正確的是（ ）

【解題思路】

電場(chǎng)線越密，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，同一個(gè)粒子受到的電場(chǎng)力越大，根據(jù)牛頓第二定律可知其加速度越大，故有aM

若粒子從M 運(yùn)動(dòng)到N，則速度方向如圖v1 所示，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增大，動(dòng)能減小，即vM>vN，EpMφN;若粒子從N運(yùn)動(dòng)到M，則速度方向如圖v2 所示，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，即vM>vN，EpMφN。故選項(xiàng)D 正確。

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查帶電粒子在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題的突破口是根據(jù)粒子做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力指向軌跡的內(nèi)側(cè)，從而判斷出電場(chǎng)力方向與速度方向的夾角關(guān)系，進(jìn)而判斷出電場(chǎng)力做功情況。

【例4】（2021 · 全國高考乙卷）四個(gè)帶電粒子的電荷量和質(zhì)量分別（+q，m）、（+q，2m）、（+3q，3m）、（-q，m），它們先后以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x 軸正方向射入一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)方向與y 軸平行，不計(jì)重力。如圖6 所示，下列描繪這四個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圖像中，可能正確的是（ ）

【解題思路】

因?yàn)椋?q，m） 粒子與（+3q，3m） 粒子的比荷相同，所以偏轉(zhuǎn)角相同，軌跡相同，四個(gè)帶電粒子只能顯示出三個(gè)軌跡，故選項(xiàng)C 錯(cuò)誤;由于（+q，2m） 粒子的比荷比（+q，m）、（+3q，3m） 兩個(gè)粒子的比荷小，因此（+q，2m） 粒子比（+q，m）、（+3q，3m） 粒子的偏轉(zhuǎn)角小，“彎曲程度”更小，但都帶正電，偏轉(zhuǎn)方向相同，故選項(xiàng)B 錯(cuò)誤;由于（+q，m）、（+3q，3m）、（-q，m） 三個(gè)粒子比荷均相同，偏轉(zhuǎn)角相同，但（-q，m） 粒子與前兩個(gè)粒子的偏轉(zhuǎn)方向相反，故其軌跡關(guān)于x 軸對(duì)稱。故選項(xiàng)AD 均有可能。

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，需要考生利用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律推導(dǎo)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡方程，再由題給條件逐一判斷。本題主要考查模型建構(gòu)能力，體現(xiàn)了科學(xué)思維的核心素養(yǎng)，突出了基礎(chǔ)性的考查要求。

對(duì)于帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋問題，要注意帶電粒子的偏轉(zhuǎn)方向，本題只強(qiáng)調(diào)勻強(qiáng)電場(chǎng)方向與y 軸平行，故電場(chǎng)方向可能沿y 軸正方向，也可能沿y 軸負(fù)方向。