素數(shù)的魅力

2018 年 3 月 20 日挪威科學(xué)與文學(xué)院宣布，將該年度阿貝爾獎（挪威設(shè)立的數(shù)學(xué)大獎）授予美籍加拿大數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands），以表彰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所作出的終身成就.他提出的最終以他名字命名的數(shù)學(xué)理論“朗蘭茲綱領(lǐng)”（Langlands program），通過與素數(shù)的共同聯(lián)系將幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)等概念結(jié)合起來，在數(shù)學(xué)的眾多分支領(lǐng)域之間架起了“橋梁”.

當(dāng)時挪威國王為朗蘭茲頒獎，致敬這項最新的科研成果.素數(shù)，可以說是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最龐大、最古老的數(shù)集，數(shù)學(xué)家們歷經(jīng) 2300 年的努力一直在不斷探索它的奧秘.那么是什么吸引無數(shù)杰出的數(shù)學(xué)家，數(shù)千年來前仆后繼地投身于素數(shù)研究中？

為了研究素數(shù)，數(shù)學(xué)家們利用素數(shù)篩選算法，將正整數(shù)進(jìn)行篩選，并將僅剩的素數(shù)保留下來.在 19 世紀(jì)，用試除法來篩選獲得了數(shù)百萬以內(nèi)的素數(shù)列表.當(dāng)然，現(xiàn)代計算機可以在不到一秒鐘的時間內(nèi)找出數(shù)十億以內(nèi)的素數(shù)，但所用篩法的核心思想 2000 年來從未改變.

公元前 300 年，亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家歐幾里得描述到：“素數(shù)是只能用 1 來計數(shù)的數(shù).”這意味著素數(shù)不能被除了 1 以外的任何小于自身的數(shù)整除.并且為了保證整數(shù)的唯一分解，數(shù)學(xué)家們并不把 1 看作素數(shù).此外，歐幾里得還證明了素數(shù)的個數(shù)是無限的、沒有窮盡.

公元前 200 左右，古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出了素數(shù)的快速篩選法，這是一種簡單且古老的篩法，用來找出一定范圍內(nèi)所有的素數(shù).

埃拉托斯特尼素數(shù)篩法的思路是這樣的：首先，留下 2 ，把 2 的倍數(shù)都劃掉;2 后面第一個沒劃去的數(shù)是 3 ，留下 3 ，把 3 的倍數(shù)都劃掉;然后留下 5 ，把 5 的倍數(shù)都劃掉;再留下 7 ，把 7 的倍數(shù)都劃掉.如此這般，將最小的四個質(zhì)數(shù)——2，3，5，7——的倍數(shù)依次篩掉.此時，下一個未被篩掉 11 的平方已經(jīng)大于 100，所以停止.這樣在 2 到 100 之間的整數(shù)只執(zhí)行這 4 次篩選，最終只留下了素數(shù)集合.

從 1 ～ 100 之間的數(shù)字中篩除 2， 3， 5 和 7 的倍數(shù)，留下就是素數(shù)再通過8次篩選，可以分離出 400 以內(nèi)的全部素數(shù).通過 168 次篩選，可以分離出 100 萬以內(nèi)的全部素數(shù).這便是埃氏篩法的強大之處.

為素數(shù)制表的早期代表人物是英國數(shù)學(xué)家約翰·佩爾（John Pell），他致力于將有用的數(shù)字制成表格.其研究動力來源于對古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantos） 所提出的古老算術(shù)問題的研究熱情，還來自于對數(shù)學(xué)真理進(jìn)行系統(tǒng)整合的個人追求.由于他的不懈努力，在 18 世紀(jì)早期 10 萬以內(nèi)的素數(shù)得以廣泛傳播.截止 1800 年，各種獨立的研究項目列出了百萬以內(nèi)的全部素數(shù).

為了將這項繁瑣的篩選工作自動化，德國數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！づd登堡 （Carl Friedrich Hindenburg）使用一種可調(diào)節(jié)的滑塊，一次性排除整張紙上的所有倍數(shù).另一種技術(shù)含量低卻高效的方法是使用模板來定位特定素數(shù)的倍數(shù).到19世紀(jì)中葉，奧地利數(shù)學(xué)家雅各布·庫利克（Jacob Kulik）開展了一個項目：找出 1 億以內(nèi)的所有素數(shù).但直至庫利克逝世，這些工作還沒有完成，不過已經(jīng)找出來的素數(shù)填滿了4212頁表格.

如果不是"數(shù)學(xué)王子"高斯（Carl Friedrich Gauss）決定對素數(shù)自身進(jìn)行分析整理，這樣一套“大數(shù)據(jù)”的結(jié)果可能也僅限于用作素數(shù)參考表.

17 世紀(jì)，對數(shù)表的誕生大大推動了天文、航海的蓬勃發(fā)展.一本作為給高斯生日禮物的對數(shù)工具書后附錄了一張300萬以內(nèi)的素數(shù)表，這個在旁人看起來無實際用途的表格卻激發(fā)了他的強烈興趣.他開始著手進(jìn)行數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計工作.

他每次以 1000?個數(shù)為一組，分別計數(shù)這一范圍內(nèi)素數(shù)的個數(shù).先計數(shù) 1000 以內(nèi)素數(shù)的個數(shù)，接著是 1001 到 2000 之間，然后是 2001 到 3000 之間，以此類推，高斯開始探索這個在旁人看來毫無樂趣的素數(shù)列表.

高斯發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)值增大，素數(shù)出現(xiàn)的頻率會逐漸降低，遵循“反對數(shù)”定律.雖然高斯的素數(shù)分布定理并沒有算出素數(shù)數(shù)目的精確值，但他給出了一個非常好的近似值.例如，根據(jù)素數(shù)定理預(yù)測在 1000000 到 1001000 之間存在 72 個素數(shù)，而正確結(jié)果是 75，誤差在 4% 左右.由此，他提出一個猜想：?π（x）≈x/lnx，其中?π（x）為不大于 x 的素數(shù)個數(shù).也就說當(dāng) x 趨近無限時，有下式成立：.

而在這個猜想提出一個世紀(jì)之后，這個稱之為素數(shù)定理（prime number theorem）才得到了證明.

隨著素數(shù)計數(shù)范圍越來越大，估計值與真實值的相對誤差將趨近于 0.懸賞百萬獎金、位列當(dāng)今數(shù)學(xué)界七大難題之一的黎曼猜想（Riemann hypothesis），也描述了高斯定理估算的精確程度.

素數(shù)定理和黎曼猜想已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注，但它們在早期，都是從枯燥的素數(shù)表數(shù)據(jù)分析開始的.現(xiàn)在，我們獲取數(shù)據(jù)的方式都來自于計算機程序的運算，不再需要手算篩選，但數(shù)學(xué)家們?nèi)栽趯ふ已芯克財?shù)的新模式.除了 2 和 5 之外，所有素數(shù)都以 1，3，7 或 9 結(jié)尾.19 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)這幾個末位數(shù)字在素數(shù)中存在相同的出現(xiàn)頻率.換句話說，如果你計數(shù)到 100 萬，25%的素數(shù)末位為 1，25% 末位為 3，25% 末位為 7，25% 末位為 9.

除了 2 和 5 之外，所有素數(shù)都以 1，3，7 或 9 結(jié)尾.19 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)這幾個末位數(shù)字在素數(shù)中存在相同的出現(xiàn)頻率.末位為1，3，7，9的素數(shù)出現(xiàn)的頻率

幾年前，斯坦福大學(xué)的數(shù)論學(xué)家萊姆克·奧利弗（Lemke Oliver） 和坎南·桑德拉賈恩（Kannan Soundararajan）在實驗中觀察素數(shù)及下一個相鄰素數(shù)的末位數(shù)字規(guī)律，意外發(fā)現(xiàn)了一個問題.例如，23 之后的素數(shù)是 29，它們的末位數(shù)字是前 3 后 9.那么，相鄰兩個素數(shù)的末位數(shù)字，是前 3 后 9 常見，還是前 3 后 7 常見呢？

數(shù)論學(xué)家們預(yù)計這些數(shù)據(jù)會存在一些差異，但實驗結(jié)果遠(yuǎn)超出預(yù)期.將相鄰素數(shù)末位數(shù)字對按照間距不同進(jìn)行分組，譬如，23 與 29 間距為 6.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，像 23 和 29 這樣前 3 后 9 的素數(shù)對的占比，超過先 7 后 3 的素數(shù)對占比，盡管這兩種相鄰素數(shù)對的間距都6.雖然數(shù)學(xué)家們很快給出了一種較為可信的解釋，但是，當(dāng)研究連續(xù)素數(shù)時，大部分的數(shù)學(xué)家還局限在分析數(shù)據(jù)進(jìn)而尋找合理解釋的階段，距離揭示真相的唯一標(biāo)準(zhǔn)——數(shù)學(xué)上的證明，似乎還需要很長一段路要走.